Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
15) Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Рассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения M0 , где она имеет скорость , в положение М1 , где ее скорость равна .
Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную к траектории точки М,направленную в сторону движения, получим:
Стоящую слева величину касательного ускорения можно представить в виде
.
В результате будем иметь:
.
Умножив обе части этого равенства на ds, внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что где - элементарная работа силы Fk получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
.
Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M0 и M1, найдем окончательно:
.
Уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
16)Работа сил , приложенных к механической системе. Работа потенциальных сил. Потенциальная энергия . Работа сил над системой материальных точек определяется как сумма работ этих сил над каждой точкой (работы, совершённые над каждой точкой системы, суммируются в суммарную работу этих сил над системой). Даже если изначально тело не является системой дискретных точек, можно разбить его (мысленно) на множество бесконечно малых элементов (кусочков), каждый из которых считать материальной точкой, вычисляя работу в соответствии с определением выше. В этом случае дискретная сумма заменяется на интеграл.
Введем новую скалярную функцию координат точки, определяемую равенством П = -U + const, которая называется потенциальной энергией точки. Учитывая последнее равенство, выражаем работу потенциальной силы через потенциальную энергию:
(3) |
Постоянная в выражении потенциальной энергии зависит от того, какая точка поля выбрана за нуль потенциальной энергии, причем за нуль может быть выбрана любая точка поля. Выбирая за нуль потенциальной энергии начальное положение M0, из (49) получаем выражение, позволяющее выяснить физический смысл потенциальной энергии:
(4) |
то есть потенциальная энергия материальной точки равна работе потенциальной силы, приложенной к ней, но уже при переходе из текущего (или конечного) положения M в начальное положение M0. Поэтому потенциальную энергию часто называют запасенной работой или энергией.
Например, принимая за нулевой уровень потенциальной энергии пружины положение, когда она недеформирована и имеет длину l0, по формуле (20) имеем потенциальную энергию пружины или потенциальную энергию ее силы упругости:
(5) |
где Δ - текущая деформация пружины. Принимая за нуль потенциальной энергии силы тяжести начало системы координат на поверхности Земли получаем выражение потенциальной энергии силы тяжести:
(6) |
где h - текущая высота над поверхностью Земли.
…Следовательно, и работа потенциальных сил системы будет равна сумме работ потенциальных сил системы, вычисляемых по формуле (3), т.е.
(7) |
17) Кинетическая энергия механической системы и твердого тела . Теорема Кенига.
При выводе теоремы в интегральной форме мы определили кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий всех точек системы, то есть
(24) |
где скорости точек системы определяются в инерциальной системе координат, которую принимают за неподвижную, и кинетическая энергия, следуя понятиям сложного движения, вычисляется в абсолютном движении.
В силу того что кенигова система координат движется поступательно, переносные скорости всех точек системы одинаковы и равны скорости VC ее центра масс, то есть Vie = VC, а абсолютная скорость точки системы равна Vi = VC + Vir. Учитывая, что i2 = Vi2, подставляя выражение абсолютной скорости в (24), имеем
где выражение в скобках во втором слагаемом равно Qr = MVCr, так как является количеством движения системы в подвижной кениговой системе координат. Но центр масс находится в начале кениговой системы координат и относительно ее не перемещается, то есть его относительная скорость VCr= 0. Поэтому второе слагаемое равно нулю и выражение кинетической энергии принимает вид
(25) |
где TCr - кинетическая энергия относительного движении системы в кениговой системе координат, которую называют кинетической энергией движения системы относительно центра масс.
Уравнение (25) представляет собой математическую запись теоремы Кенига: кинетическая энергия системы материальных точек в ее абсолютном движении равна сумме кинетической энергии поступательного (переносного) движения системы вместе с центром масс, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.
18) Кинетическая энергия механической системы твердого тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях.
Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы
1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс. То есть, для любой точки
или
Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс. От направления движения значение Т не зависит.
2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Оz (см. рис.46), то скорость любой его точки , где - расстояние точки от оси вращения, а - угловая скорость тела. Подставляя это значение и вынося общие множители за скобку, получим:
Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, окончательно найдем:
т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. От направления вращения значение Т не зависит.
3.Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р . Кинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии ее при движении относительно координатных осей, поступательно движущихся вместе с центром масс.В общем случае движения тела, которое можно рассматривать как сумму двух движений (переносного поступательного вместе с центром масс С и относительного вращения вокруг точки С), по теореме Кенига (1) получим
или ,где Ix, Iy, Iz главные центральные оси инерции тела.
19)Теорема об изменении кинетической энергии механической системы и твердого тела.
Изменение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении:
. (7) Здесь T0 и T кинетическая энергия системы соответственно в начальном и конечном положении, и суммы работ соответственно всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.
Для механических систем, являющихся твердыми телами, или состоящих из твердых тел, связанных нерастяжимыми нитями или недеформируемыми связями, то есть таких систем, для которых расстояние между двумя любыми ее взаимодействующими точками не изменяется, , и теорема имеет вид: . (8)
Формулы для вычисляется кинетической энергии следующие.
Для точки: . (9)
Для тела, совершающего поступательное движение: , (10) где VC скорость центра масс тела.
Для тела, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси Oz: ,
20)Принцип Даламбера для механической системы. Главный вектор и главный момент сил инерции .Используют принцип Даламбера, как правило, для определения сил реакций внешних или внутренних связей движущейся системы тел.
С помощью принципа Даламбера можно решать и другие задачи. Как выяснится далее, принцип Даламбера - это просто иначе записанные две общие теоремы динамики - теорема о движении центра масс и теорема об изменении кинетического момента механической системы в движении относительно перемещающейся поступательно системы осей, связанной с её центром масс.
Рассмотрим сначала запись принципа Даламбера для несвободной материальной точки, выделив среди сил,действующих на точку, заданные силы и силы реакций связей.
Главный вектор .Система сил инерции твёрдого тела можно заменить одной силой, равной и приложенной в центре О, и парой с моментом, равным . Главный вектор системы сил, как известно, не зависит от центра приведения и может быть вычислен заранее. Т.к. , то
(2)
Следовательно, главный вектор сил инерции тела, совершающего любое движение, равен произведению массы тела на ускорение его центра масс и направлен противоположно этому ускорению. Прикладывается главный вектор к точке приведения, которую можно назначить в любом месте, т.е. он не зависит от выбора этой точки.Если ускорение разложить на касательное и нормальное, то вектор разложиться на составляющие
, .С определением главного момента сил инерции возникает немало сложностей. Рассмотрим несколько частных случаев. 1. Поступательное движение. В этом случае тело никакого вращения вокруг центра масс С не имеет. Отсюда заключаем, что , и равенство (1) даёт . Следовательно, при поступательном движении силы инерции твёрдого тела приводят к одной равнодействующей, равной и проходящей через центр масс тела. 2. Плоскопараллельное движение. Пусть тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно ей. Вследствие симметрии главный вектор и результирующая пара сил инерции, так же как и центр масс С тела, лежат в плоскости симметрии.
Тогда, помещая центр приведения в точке С, получим из равенства (1) . С другой стороны . Отсюда заключаем, что
Рис.54
(3)
Таким образом, в рассмотренном случае движение системы сил инерции приводится к результирующей силе, равной [формула (2)] и приложенной в центре масс С тела (рис.54), и к лежащей в плоскости симметрии тела паре, момент которой определяется формулой (3). Знак минус в формуле показывает, что направление момента противоположно направлению углового ускорения тела.
3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Пусть опять тело имеет плоскость симметрии, а ось вращения СZ перпендикулярна к этой плоскости и проходит через центр масс тела. Тогда данный случай будет частным случаем предыдущего. Но при этом , а следовательно, и .
Таким образом, в рассмотренном случае система сил инерции приводится к данной паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела, и имеющей момент
.
При решение задач по формулам (1) и (3) вычисляются модули соответствующих величин, а направление их указывают на чертеже.