реферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук Харків ~
Работа добавлена на сайт samzan.net:
28
ДЕРЖАВНИЙ КОМІТЕТ УКРАЇНИ З ПИТАНЬ ТЕХНІЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ТА СПОЖИВЧОЇ ПОЛІТИКИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ НАУКОВИЙ ЦЕНТР “ІНСТИТУТ МЕТРОЛОГІЇ”
Захаров Ігор Петрович
УДК 006.91:53.088
РОЗВИТОК ТЕОРІЇ ТА МЕТОДІВ ОЦІНЮВАННЯ ТОЧНОСТІ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ З УРАХУВАННЯМ КОНЦЕПЦІЇ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
Спеціальність 05.11.15 – метрологія та метрологічне забезпечення
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук
Харків –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України
Науковий консультант: доктор технічних наук, професор
Руженцев Ігор Вікторович, Харківський національний університет
радіоелектроніки, завідувач кафедри
“Метрологія та вимірювальна техніка”
Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор
Клейман Олександр Самуїлович,
Національний науковий центр
“Інститут метрології” Держспоживстандарту України, начальник лабораторії
доктор технічних наук, професор
Володарський Євген Тимофійович,
Національний технічний університет
України “Київський політехнічний інститут”, професор кафедри автоматизації
експериментальних досліджень
доктор технічних наук, професор
Щербак Леонід Миколайович,
Національний авіаційний університет,
професор кафедри інформаційно -
вимірювальних систем
Провідна установа: Державне підприємство “Науково-дослідний інститут метрології вимірювальних і управляючих систем (ДП НДІ “Система”) Держспоживстандарту України м. Львів.
Захист дисертації відбудеться „ 27 ” квітня 2006 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.827.01 при Національному науковому центрі “Інститут метрології” за адресою: 61002, Харків, вул. Мироносицька, 42.
З дисертацією можна ознайомиться у бібліотеці Національного наукового центру “Інститут метрології”
Автореферат розісланий „ 27” березня 2006 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради,
к.т.н., доцент І.Ф. Дем’янков
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Підвищення точності вимірювань є однією з найважливіших проблем сучасної метрології. Один із шляхів рішення цієї проблеми – удосконалення методів обробки і оцінювання точності результатів вимірювань. Науковою основою оцінювання точності результатів вимірювань є теорії (концепції) похибок і невизначеності, що мають один математичний апарат – теорію імовірності і математичної статистики, але дещо відрізняються як термінологією, так і підходами до рішення окремих статистичних задач.
Найбільший внесок у розвиток класичного підходу (КП) внесли російські та українські вчені (за алфавітом): Є.Т. Володарський, Є.Ф. Долинський, М.А. Земельман, О.С. Клейман, Ж.Ф. Кудряшова, В.А. Кузнєцов, М.Ф. Маліков, П.В. Новицький, П.П. Орнатський, В.І. Проненко, С.Г. Рабінович, В.Я. Розенберг, Л.З. Румшиський, Ю.М. Туз, В.М. Чинков, Л.М. Щербак та ін., завдяки плодотворній діяльності яких були розроблені наукові основи оцінювання похибок і впроваджені у практику нормативно-технічні документи, багато з яких використовуються у вітчизняній метрологічній практиці дотепер.
Курс України на європейську і міжнародну інтеграцію обумовлює перехід до єдиних стандартів в галузі планування, проведення вимірювань й обробки їх результатів. Ці стандарти є інструментом взаємного визнання результатів вимірювань і гармонізації міждержавних взаємин у виробничих та невиробничих сферах. Прийняття Україною міждержавного документа РМГ 43-2001, введення в дію ДСТУ ISO/IEC 17025 – 2001, а також підписання Угоди про взаємне визнання національних еталонів одиниць і свідоцтв калібрувань і вимірювань, які видаються національними метрологічними інститутами (MRA), поклало початок законодавчому використанню підходу невизначеності (ПН) в Україні.
Одними з перших відобразили у своїх працях (1981-1997) основи концепції ПН (у хронологічному порядку) В.І. Проненко, М.А. Земельман, Л.К. Ісаєв, Л. Лейфер, Ю.В. Тарбєєв, В.А. Слаєв, А.Г. Чуновкіна. Пізніше (2000-2002) з'явилися публікації в українських виданнях О.М. Величко, О.І. Колбасіна, О.В. Прокопова, Б.Ф. Маркова, В.Д. Циделко, Н.А. Яремчук, В.М. Новікова, В.Д. Кукуша, В.П. Чалого. Аналогічні публікації з'явилися в цей же час у країнах ближнього зарубіжжя (Н.Єфремова – Бєларусь; Т. Барашкова, Р. Лаанеотс – Естонія; Х. Радев, В. Богев – Болгарія; Т. Скубис - Польща).
При вирішуванні задач міжнародної єдності вимірювань одним з центральних моментів є підвищення достовірності одержуваних оцінок точності, під якою треба розуміти міру довіри до шуканої оцінки, яка виражається через її відхилення від прийнятого опорного значення. Незважаючи на велику кількість праць, присвячених дослідженням оцінок точності результатів вимірювань, їх достовірність при використанні стандартизованих методик в кілька разів перевищує допустиму, що дорівнює 5-10 %. Це обумовлено як вибором у якості оцінки результату вимірювань з багаторазовими спостереженнями середнього арифметичного, не завжди адекватного закону розподілу результатів спостережень, так і спрощеннями при знаходженні довірчих інтервалів статистичних і нестатистичних оцінок точності результату вимірювання, які найчастіше не враховують законів розподілу аргументів (вхідних величин) рівняння вимірювання (модельного рівняння), співвідношення між їхніми характеристиками розсіювання, наявності кореляції, степені нелінійності рівняння вимірювання, тощо. Такий стан не може вважатися задовільним, особливо коли отримані оцінки застосовуються для характеристики точності проміжних результатів, які використовуються у ланцюзі передачі розміру одиниць.
Невідповідність вимог реальних практичних задач метрологічного забезпечення з рівнем вирішення ряду теоретичних питань висуває проблему розвитку теоретичних і прикладних основ оцінювання характеристик похибки та невизначеності результатів вимірювань, що відповідає потребам усіх індустріальних країн і є економічно важливою та актуальною для України. Ця проблема є нагальною і вимагає свого рішення як для випробувальних і калібрувальних лабораторій України, які акредитуються за ДСТУ ISO/IEC 17025 при проведенні міжлабораторних випробувань, так і для територіальних і національних метрологічних центрів, що мають первинні та вихідні еталони, які беруть участь у регіональних і міжнародних ключових звіреннях.
Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертація є результатом виконання тематики кафедри метрології та вимірювальної техніки Харківського національного університету радіоелектроніки зі створення процедур планування, проведення та обробки вимірювального експерименту.
Основні результати дисертаційної роботи були використані при виконанні держбюджетних робіт „Розробка інформаційно-вимірювального комплексу для електромагнітного моніторингу навколишнього середовища” (номер держреєстрації 0101U005127), „Розробка енергоефективних і екологічних технологій та технічних засобів використання електромагнітної енергії в промисловому і агропромисловому комплексі” (номер держреєстрації 0101U005128), затверджених листом Міністерства освіти і науки України №15/20-148 від 08.02.2001; “Синтез структури гравіметричного комплексу і розробка завадостійких алгоритмів вимірювань прискорення сили ваги” (номер держреєстрації 0104U03381), у яких дисертант виконував обов'язки наукового керівника розділу; „Розробка методів і засобів підвищення ефективності використання електромагнітної енергії в промисловому та агрокомплексі”, затвердженої наказом Міністерства освіти і науки України №633 від 05.11.2002, а також науково-дослідної роботи №05-05 з ДП Харківстандартметрологія “Розробка методичного документа “Рекомендації щодо оцінювання невизначеності під час виконання метрологічних робіт””, у яких дисертант виконував обов'язки наукового керівника.
Мета і задачі дослідження. Мета –підвищення достовірності оцінок характеристик похибок та невизначеності результатів вимірювань на основі урахування законів розподілу та кореляції даних.
Для досягнення цієї мети в роботі вирішуються такі задачі:
- наукове обґрунтування та аналіз статистичних моделей характеристик розсіювання оцінок результатів вимірювань при обробці даних з обмеженим обсягом і довільними законами розподілу з урахуванням кореляції, що спостерігається між ними;
- обґрунтування достовірних нестатистичних оцінок похибки (невизначеності) вимірювань на основі синтезу імовірнісних моделей невиключених систематичних похибок з урахуванням законів розподілу і логічної кореляції між ними;
- розвиток науково-технічних основ отримання достовірних оцінок довірчих інтервалів похибки (розширеної невизначеності) основних різновидів вимірювань для корельованих та некорельованих вхідних величин їх модельних рівнянь;
- розвиток теоретичних і практичних основ достовірного оцінювання похибок та невизначеності базових метрологічних операцій.
Об'єктом дослідження в дисертаційній роботі є процес оцінювання точності результатів вимірювань при довільних законах розподілу вхідних величин в умовах наявності кореляційних зв'язків між ними.
Предметом дослідження є методи оцінювання характеристик похибки та невизначеності результатів основних різновидів вимірювань.
Методи дослідження. В основу роботи покладені аналітичні методи досліджень, що ґрунтуються на основах теорії ймовірності і математичної статистики, теорії вимірювання, методі максимальної правдоподібності, нейманівському і байєсівському підходах до оцінювання точності вимірювання; методи імітаційного моделювання, дисперсійного і кореляційного аналізу.
Наукова новизна отриманих результатів:
- вперше одержано модель багатомірної функції довільних розподілень статистичних оцінок точності, яка дозволила отримати достовірні інтервальні статистичні оцінки похибки (невизначеності) результатів вимірювань;
- вперше синтезовано імовірнісну модель сумісних анормальних законів розподілу, на основі якої створено науковий підхід щодо визначення нестатистичних оцінок невизначеності результатів вимірювань з корельованими вхідними величинами;
- розвинуто теорію трансформації законів розподілу при нелінійному перетворенні, на основі якої проведено аналіз границь використання критерію застосування закону поширення невизначеності при нелінійній модельній функції для анормальних законів розподілу вхідних величин;
- вперше одержано моделі законів розподілу суми статистичних та нестатистичних оцінок точності і на їх основі розроблено процедуру оцінювання розширеної невизначеності для основних різновидів вимірювань;
- удосконалено метод ексцесів для аналітичного представлення розширеної невизначеності корельованих даних;
- розвинуто методи оцінювання невизначеності вимірювань, викладені в міжнародних документах; удосконалено оцінки розширеної невизначеності при виконанні метрологічних операцій.
Практичне значення отриманих результатів.
Було розроблено та впроваджено в промисловість: загальна методика оцінювання невизначеності вимірювань у процесі виконання метрологічних робіт: ДП „Харківстандартметрологія” (Харків), ДП „Укрметтестстандарт” (Київ), ДП „Кримстандартметрологія” (Сімферополь), НПП Хартрон-Сігма (Харків), ВАТ „АТ НДІРВ” (Харків), філії метрологічного центру НАК „Нафтогаз України” (Боярка, Київської обл.) та методика оцінювання невизначеності в аналітичних вимірюваннях: Український науково-дослідний інститут олії та жирів (Харків), інститут екогігієни і токсикології ім. Л.І. Медведя, (Київ). Основні результати роботи були використані при розробці методичного документа ПМ ХА 33.14052005 “Рекомендації щодо оцінювання невизначеності під час виконання метрологічних робіт”, розробці методичного документа МP 001/03-0-06 з оцінюванню заявленої невизначеності еталонів при їх підготовці до міжнародних і регіональних ключових звірень та з перерахування характеристик невизначеності в характеристики похибки при передачі розміру одиниці від еталона НМІ робочим еталонам відповідно до існуючих повірочних схем. Методика оцінювання невизначеності вимірювань була використана при проведенні семінарів-тренінгів для працівників регіональних центрів стандартизації, метрології та сертифікації Київської, Житомирської, Одеської областей та Кримської АР за темою „Впровадження міжнародних та європейських стандартів з оцінки відповідності та невизначеності в метрологічну практику”; в Харківській філії УкрНДНЦ при проведенні курсів підвищення кваліфікації метрологів; в Університеті економіки та права „Крок” при проведенні лекційних та практичних занять з курсу „Метрологічне забезпечення виробництва” для магістрантів спеціальності „Якість, стандартизація, сертифікація”. Результати дисертаційної роботи були використані також в навчальному процесі за напрямком 0913 “Метрологія і вимірювальна техніка”, зокрема в курсах “Основи метрології та вимірювальної техніки” і “Основи теорії похибок”, що викладаються в Харківському національному університеті радіоелектроніки.
Особистий внесок здобувача. Основні теоретичні дослідження виконані автором самостійно. У роботах у співавторстві здобувачеві належить участь у розробці нових наукових ідей та проведенні теоретичних досліджень; в постановці задач та обґрунтуванні методик їх розв’язування; розробленні моделей; узагальненню окремих положень як методів оцінювання невизначеності результатів вимірювань. Серед публікацій із співавторами здобувачеві належить: [1] формули для моментів перехідних характеристик та постійних часу вимірювальних перетворювачів, що моделюються ланками аперіодичного типу, включаючи ланки чистого запізнювання; [2] –графічний та аналітичний методи вирішення задачі трансформування закону розподілення похибки при нелінійному перетворенні, показано, що запропоновані методи можна застосовувати для генерації випадкових чисел за довільним законом; [3] – чисельний метод, який дозволяє розширити застосування відомих критеріїв виявлення грубих похибок і промахів на довільні закони розподілу; [4] залежність довірчого коефіцієнту композиції законів розподілу арксинуса від співвідношення їх середніх квадратичних відхилень; [5] методика оцінювання випадкової похибки визначення постійних часу аперіодичних вимірювальних перетворювачів; [6] чисельний метод, який дозволяє оцінювати довірчі границі випадкової похибки при статистичній обробці результатів спостережень, що розподілені за довільним законом, для різних оцінок результатів вимірювань та оцінок їх розсіювання; [7] – методика аналізу похибок вимірювання коефіцієнта несинусоїдальності напруги електричної мережі на основі методу Монте-Карло; [8] – застосовано метод Монте-Карло для синтезу достовірних оцінок і критеріїв, які використовуються на всіх етапах статистичної обробки результатів вимірювань; [9] – аналітичний вираз для коефіцієнта, який забезпечує найбільш ефективну оцінку результату прямого вимірювання з багатократними спостереженнями, загальна методика застосування методу Монте-Карло для реалізації алгоритмів статистичної обробки результатів вимірювань; [17] – сформульовані основні задачі ідентифікації динамічних характеристик засобів вимірювальної техніки; [19] – методика дослідження методом Монте-Карло можливості застосування критерію допустимості лінеаризації нелінійних функцій для подальшої метрологічної обробки результатів вимірювань з урахуванням закону розподілення аргументів при непрямих вимірюваннях; [25] – процедура оцінювання невизначеності при ідентифікації динамічних характеристик засобів вимірювальної техніки з урахуванням кореляції між оцінками сталих часу.
Апробація результатів дисертації відбувалася на: Всесоюзному симпозіумі “Проблемы радиоизмерительной техники”, 1989 (Горький); Всесоюзній науково-технічній конференції “Метрологическое обеспечение и стандартизация”, 1990 (Москва); Республіканській науково-технічній конференції “Теория и практика измерений параметров электромагнитных колебаний и линий передачи”, 1991 (Харків); Всесоюзній науково-технічній конференції “Радиоизмерения – 91”, 1991 (Севастополь); Х Всеакадемічній (міжнародній) школі з проблем метрологічного забезпечення та стандартизації “Метрологическое обеспечение и стандартизация”, 1992 (Мінськ); 2-й Кримський конференції “СВЧ техника и спутниковый прием”, 1992 (Севастополь); 1-4 Міжнародних науково-технічних конференціях “Метрология и измерительная техника”, 1999-2004 рр. (Харків); 2, 5, 7-10 Міжнародних конференціях “Теория и техника передачи, приема и обработки информации”, 1995, 1999, 2001-2004 рр. (Харків-Туапсе); 6 и 7 Міжнародних конференціях УАДО “Образование и виртуальность”, 2002, 2003 рр. (Харків Ялта); 4-th International Conference on Measurement “Measurement-2003”, (Smolenice, Slovak Republic); Міжнародному науково-технічному семінарі “Математические методы при обеспечении качества и взаимного признания результатов измерения”, 2004 (Санкт-Петербург, Росія); 10-th IMEKO TC7 International Symposium “Advances of Measurement Science”, 2004 (Санкт-Петербург, Росія); 2-му Науково-технічному семінарі “Неопределенность измерения: нормативные, научные, методические и производственные аспекты”, 2005 (Харків); 15-th Scientific symposium with international participation “Metrology and assurance 2005”, (Sozopol, Bulgaria); 2-му Міжнародному радіоелектронному форумі “Прикладна радіоелектроніка. Стан і перспективи розвитку”, 2005 (Харків).
Публікації. З теми дисертації опубліковано понад 70 робіт, з яких 27 відповідають вимогам ВАК для захисту дисертації (26 статей у фахових журналах та збірниках України, 1 стаття в журналі “Вимірювальна техніка” (Російська Федерація), причому, 15 з них без співавторів.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шістьох розділів, висновків, списку використаних джерел та 6 додатків. Повний обсяг дисертації складає 351 сторінок друкованого тексту, містить 53 рисунка, 151 таблицю. Список використаних літературних джерел містить 176 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність проблеми дослідження, показано зв'язок роботи з науковими проблемами, планами, темами, наведено відомості про наукову новизну та практичне значення отриманих результатів і їх впровадження.
Перший розділ роботи присвячено аналізу проблеми, вибору та обґрунтуванню напрямку наукових досліджень.
Відмічено, що точність результатів вимірювань визначає вірогідність прийнятих рішень, рівень матеріальних витрат у виробничій та невиробничій сферах, єдність вимірювань, надійність оцінок їх результатів. Найбільш очевидним шляхом підвищення точності результатів вимірювань є вдосконалення методів і засобів вимірювальної техніки (ЗВТ). Однак цей шлях пов’язаний з істотними матеріальними витратами на розробку еталонної бази та модернізацію парку робочих ЗВТ. Інший варіант рішення цієї проблеми полягає в удосконаленні методів обробки результатів вимірювань і підвищенні достовірності оцінювання їх точності. Цей шлях є однією з ознак єдності вимірювань “похибки вимірювань мають бути відомими та з заданою ймовірністю не виходити за встановлені границі”. Проте тільки існуюче правило округлення при вираженні похибки вимірювань, яке обумовлює достовірність оцінювання похибок до 17 %, призводить до розбігу довірчої ймовірності 0,91...0,98 (при номінальному значенні 0,95), що знижує надійність одержуваного результату. Так, виконання цього правила може привести до значних матеріальних втрат при передачі великих партій продукції (особливо, коли мова йде про торгівлю електроенергією та енергоносіями). Аналіз класів точності ЗВТ показує, що відносна різниця між ними становить від 17 до 40 відсотків, тому підвищення точності оцінювання похибки ЗВТ у межах похибки округлення при проведенні державних випробувань або метрологічної атестації дозволяє в ряді випадків підвищити клас точності ЗВТ без додаткових витрат на їх модернізацію. Достовірність оцінювання точності важлива й тому, що похибки (невизначеності) результатів вимірювань у ряді випадків є вхідними даними при аналізі похибок інших вимірювань і, трансформуючись рівнянням вимірювання, впливають на похибку (невизначеність) їх результату.
В дисертації проведено порівняння двох основних підходів до оцінювання точності вимірювань: КП і ПН. Аналізуються закордонні та вітчизняні нормативні документи з оцінювання невизначеності вимірювань. Констатується, що паралельний розвиток двох підходів до оцінювання точності вимірювань, який спостерігається протягом останньої чверті століття, завершується переходом від концепції похибок до концепції невизначеності при вирішенні питання міжнародної стандартизації оцінювання точності вимірювань. Аналіз двох концепцій показує їх відмінності (крім термінологічних) в основних постулатах вимірювання, переліку характеристик точності, способах підсумовування їх складових та одержання інтервальних оцінок точності результату вимірювань. Це призводить до кількісних розходжень при оцінюванні точності вимірювань, які варто оцінити. Крім того, на етапі переходу від КП до ПН доцільно одержати та використовувати в метрологічній практиці формули й коефіцієнти взаємного перерахування характеристик невизначеності та похибки вимірювань.
Проведено огляд сучасного стану достовірності оцінювання точності результатів вимірювань. Аналізується достовірність статистичних оцінок похибки й невизначеності. Показано, що вони базуються на припущенні нормального закону розподілу результатів багаторазових спостережень. Це припущення обумовлює прийняття середнього арифметичного як достовірної оцінки результату таких вимірювань та виразу Бесселя в якості оцінки середнього квадратичного відхилення (СКВ) (стандартної невизначеності типу А). В якості довірчого коефіцієнту приймається коефіцієнт із розподілу Стьюдента. Показано, що у випадку відхилення реального закону розподілу від нормального застосування цих виразів є некоректним і призводить до збільшення похибки оцінок точності в чотири рази вже при двадцяти спостереженнях та необмеженому зростанню похибки з ростом кількості спостережень. Аналізується діапазон застосування інших оцінок результатів (медіана, центр розмаху) і точності вимірювання (середнє абсолютне відхилення, розмах), у тому числі й комбінованих (зважених). При знаходженні інтервальних оцінок суми декількох складових випадкової похибки застосовуються наближені вирази, які засновані на дослідженнях Велча і Сатерсвейта. Вони були отримані в 30-х 40-х роках минулого століття, коли їх коректність неможливо було перевірити шляхом постановки чисельного експерименту, тому їх достовірність має бути встановлена із застосуванням комп'ютерного моделювання з використанням сучасних інформаційних технологій.
Здійснюється оцінка достовірності нестатистичних оцінок точності. До їх числа відносяться довірчі границі та СКВ невиключених систематичних похибок (НСП) і стандартна невизначеність типу В. Показано, що для рівня довіри 0,95 як при оцінюванні похибки, так і при оцінюванні невизначеності нехтують законом розподілу складових, що призводить до похибок оцінювання сумарної НСП від 20 до 40 %. Розгляд питання про знаходження нестатистичних оцінок точності за наявності логічної кореляції між складовими найчастіше обмежується випадком, коли коефіцієнт кореляції дорівнює ±1(строга кореляція). Все перелічене ставить задачу розробки методології достовірного оцінювання нестатистичних оцінок точності з урахуванням законів розподілу вхідних величин та довільної логічної кореляції між ними.
При підсумовуванні статистичних і нестатистичних оцінок виникає питання про вибір довірчого коефіцієнта (коефіцієнта покриття). Значення цього коефіцієнта буде залежати не тільки від законів розподілу складових похибки результату вимірювання, але й виду модельного рівняння. Аналізуються формули, що застосовуються в КП і ПН для цих випадків. Показано, що їх застосування дає похибку оцінювання інтервальних показників точності в десятки відсотків. Ставиться задача створення теорії одержання достовірних оцінок довірчих інтервалів похибки й розширеної невизначеності основних різновидів вимірювань для корельованих і не корельованих даних.
Розглянуто методи підвищення достовірності статистичних і нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань. Аналіз аналітичних і чисельних методів показує універсальність і більш високу точність останніх. Порівняння різних варіантів чисельних методів (дискретного рівняння згортки, методу Монте-Карло і методу часткових приростів) показує перевагу методу Монте-Карло як у сенсі досяжної точності, так й у сенсі можливості роботи з корельованими вхідними величинами. Прикладом ефективного використання чисельних методів є розробка робочою групою 1 об'єднаного комітету з настанов у метрології (JCGM) Додатку 1 до GUM, що містить чисельні методи трансформування розподілів. На жаль, запропонований в ньому метод Монте-Карло не завжди може бути рекомендований для використання в практичній метрології при безпосередньому оцінюванні результатів вимірювань і відповідних характеристик точності. Причинами цього є істотна трудомісткість чисельних методів, що вимагають до того ж наявності комп'ютерної техніки й відповідної кваліфікації персоналу; власна невизначеність чисельних методів, пов'язана із стохастичністю природи обчислень та випадковістю реалізації вибірки; ускладнення при моделюванні корельованих негаусових вхідних величин; необхіднисть сертифікованих програм.
Тому на основі досліджень за допомогою методу Монте-Карло варто розробити систему рекомендацій і критеріїв для розв’язання задач оцінювання точності основних різновидів вимірювань. Для побудови залежності одержуваних характеристик від виду закону розподілу (з метою створення методів достовірної та ефективної статистичної обробки результатів вимірювального експерименту) останній доцільно характеризувати числовим параметром. Розглядаються різні варіанти рішення цієї задачі: застосування “універсального” параметрично керованого закону розподілу (функція Йордану, закон ГАНКА, узагальнений нормальний закон, тощо); синтез набору законів розподілу відомої форми, що визнаються значенням характерного параметра (ексцесу, коефіцієнта ексцесу, контрексцесу, показника форми і т.п.).
Аналізуються основні метрологічні операції, стан питання оцінювання точності їх реалізації. Так, наприклад, при знаходженні ефективної оцінки опорного значення ключових звірень (KCRV) виникають ускладнення, коли функції щільності розподілу ймовірності вимірюваних величин не є гаусовими і модель для KCRV не є лінійною. Ставиться задача вдосконалення теоретичних і практичних основ достовірного оцінювання похибки та невизначеності метрологічних операцій.
Відзначається, що для впровадження КН у вітчизняну метрологічну практику необхідно здійснити розробку національних нормативно-методичних документів, які б регламентували загальні питання оцінювання невизначеності при виконанні випробувань і калібрувань, методику оцінювання заявлених невизначеностей національних еталонів України й процедуру оцінювання та вирази невизначеності при виконанні метрологічних робіт для конкретних видів вимірювань.
Другий розділ присвячено синтезу та аналізу достовірних статистичних оцінок точності результатів вимірювань.
Статистична обробка вимірювань з багаторазовими спостереженнями дозволяє істотно зменшити випадкову складову похибки їх результату. При знаходженні інтервальних оцінок результату цих вимірювань (довірчого інтервалу, розширеної невизначеності) при обмеженій кількості спостережень використається tрозподіл, який для нормального закону результатів спостережень відомий як закон розподілу Стьюдента. Для довільних законів розподілу результатів спостережень проведено наукове обґрунтування побудови статистичних моделей tрозподілів, на основі аналізу яких для рівня довіри 0,95 запропоновано вираз для довірчого коефіцієнта як залежність від ексцесу розподілу E та числа степенів свободи н у вигляді
, (1)
де ; .
Аналіз статистичних моделей різних оцінок результату прямих вимірювань і характеристик його розсіювання дозволив визначити комбіновану (з середнього арифметичного та медіани чи центра розмаху) оцінку результату багаторазових вимірювань та її стандартного відхилення, що забезпечують мінімальні значення довірчих границь випадкової похибки (розширеної невизначеності) для довільних законів розподілу результатів спостережень (рис.1).
У випадку непрямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями необхідно здійснювати композицію декількох законів розподілів Стьюдента з різним числом степенів свободи н та різним відношенням середніх квадратичних відхилень (СКВ). Тому актуальною задачею є оцінка числа степенів свободи такої композиції. На основі спільної функції розподілу отримані композиції законів розподілу Стьюдента для корельованих і некорельованих результатів спостережень для нормальних і анормальних законів розподілу. Аналізуються наближені вирази для ефективного числа степенів свободи нeff композиції законів розподілу Стьюдента, які даються в роботах Велча та Саттерсвейта.
а) б)
Рис.1. Залежності від числа спостережень та ексцесу розподілу E та числа спостережень n (а) коефіцієнту q комбінованої оцінки результату вимірювання; б) відношення довірчих границь середнього арифметичного та комбінованої оцінки Uc
Оцінка степеня наближення при використанні цих виразів і знаходження виразу, що забезпечує найкраще наближення, здійснювалося за допомогою рішення наступних задач: чисельне моделювання композиції двох законів розподілу Стьюдента з різним числом степенів свободи н1 та н2 і відношенням СКВ S2/S1; оцінювання числа степенів свободи отриманої композиції; знаходження достовірних оцінок довірчих коефіцієнтів і числа степенів свободи для композиції законів розподілу Стьюдента.
Моделювання композиції законів розподілу Стьюдента здійснювалося методом Монте-Карло. Для його реалізації здійснювалась генерація двох вибірок випадкових величин об'ємом 3105 кожна, що підкоряються розподілу Стьюдента, із заданим числом степенів свободи та заданим відношенням СКВ S2/S1. Підсумовування цих вибірок дає вибірку випадкової величини, закон розподілу якої відповідає шуканій композиції. Особливість розподілів Стьюдента полягає в тому, що при н≤2 дисперсійна оцінка ширини розкиду перестає існувати. Оцінка ексцесу, через яку можна оцінити число степенів свободи, перестає існувати вже при н=4. Через це параметри отриманої композиції можуть бути оцінені лише з використанням довірчих або ентропійних оцінок. Тому для заданої довірчої імовірності (р=0,95) здійснювалося оцінювання довірчого коефіцієнта k отриманої композиції. Для підвищення точності знаходження цієї оцінки й визначення ступеня її розсіювання чисельний експеримент проводився 100 разів з наступним усередненням. При цьому власна невизначеність отриманої оцінки довірчого коефіцієнта склала не більше 0,0005. Залежність довірчого коефіцієнта композиції від параметрів н1 та н2 для різних співвідношень S2/S1 наведена на рис. 2-а.
а) б)
Рис. 2. Залежності k(н1, н2) (а) та числа степенів свободи (б) композиції законів розподілу Стьюдента, одержані методом Монте-Карло
На рисунках табл. 1 показані апроксимуючі залежності, отримані як коефіцієнти Стьюдента із числом степенів свободи, обумовлених виразами Велча-Саттерсвейта, наведеними в МІ 2083-90 й GUM. Відносні похибки апроксимації дані в другому стовпці цієї таблиці, з якої видна істотна відмінність цих залежностей при малих значеннях н1 та н2, особливо при наближенні S2/S1 до одиниці.
Для оцінювання числа степенів свободи отриманої композиції необхідно здійснити зворотне перетворення коефіцієнтів Стьюдента t0,95(н) в число степенів свободи н. Апроксимацію цієї залежності було знайдено на основі виразу (1) для рівня довіри 0,95 у вигляді:
н={1,96/[t0,95(н)-1,96]+0,87}/0,822, (2)
Похибка апроксимації (2) для н=2 становить 4 %, для не більше ±0,22 %.
Залежність числа степенів свободи н композиції законів розподілу Стьюдента від н1 та н2 для різних співвідношень S2/S1 знайдена за запропонованою методикою, показана на рис. 2-б. На рисунках третього стовпця табл. 1 наведені аналогічні залежності, отримані за формулами, наведеними у МІ 2083-90 й GUM. Аналіз таблиці показує, що число степенів свободи композиції, отримане по формулах МІ 2083-90 й GUM відрізняється від числа степенів свободи, отриманого методом Монте-Карло майже в 2 рази. Ця відмінність і призводить до неправильної оцінки довірчого коефіцієнта для композиції законів розподілу Стьюдента. Достовірну оцінку довірчого коефіцієнта для композиції законів розподілу Стьюдента шукали на основі виразу, що застосовується в ГОСТ 8.207-76
k=[ t0,95(н1)+ t0,95(н2) S2/S1]/(1+ S2/S1) (3)
Таблиця 1
Ілюстрації щодо дослідження композиції законів розподілу Студента
і запропонованої формули:
. (4)
Залежності довірчого коефіцієнта k, розрахованого за формулами (3) і (4), від параметрів н1 та н2 для різних співвідношень S2/S1 наведені на рисунках у першому стовпці табл. 1.
Знайдено оцінки числа степенів свободи цієї композиції та коефіцієнта покриття при знаходженні розширеної невизначеності статистичної оцінки. На основі аналізу сумісного закону розподілу Стьюдента за допомогою отриманої емпіричної формули (4) для різних законів розподілу результатів спостережень синтезовано вирази для достовірного коефіцієнта покриття композиції законів розподілу некорельованих вхідних величин, що здійснює його апроксимацію з похибкою не більше ±8 %. Показано, що використання для цієї мети виразів, рекомендованих у нормативних документах, призводить до похибок у десятки-сотні відсотків навіть для нормального закону розподілу генеральної сукупності.
При проведенні непрямих багаторазових вимірювань можна зустрітися з попарною кореляцією вхідних величин. У цьому випадку МІ 2083-90 рекомендує при обробці застосовувати метод приведення, а GUM ураховує кореляцію у вигляді додаткового члена при підсумовуванні дисперсій відповідно до закону поширення невизначеності. Однак метод приведення можна здійснити тільки в тому випадку, коли кількість спостережень для всіх вхідних величин однакова, а при знаходженні розширеної невизначеності відповідно до GUM формула Велча-Саттерсвейта не працює. Аналіз результатів статистичного моделювання композиції законів розподілу характеристик розсіювання результатів вимірювань двох корельованих вхідних величин з однаковою кількістю спостережень n (рис. 3) дозволив установити, що коефіцієнт покриття такої композиції визначається як коефіцієнт із розподілу Стьюдента із числом степенів свободи, рівним n -1.
Рис.3. Залежність коефіцієнта покриття композиції законів розподілу
Стьюдента корельованих вхідних величин від коефіцієнта
кореляції с та числа степенів свободи н
У третьому розділі проведено моделювання достовірних нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань. При цьому необхідно враховувати наявність логічної кореляції, обумовленої використанням при визначенні вхідних величин одного вимірювального приладу, еталона одиниць вимірювання або одних довідкових даних, що мають значну невизначеність. Автором запропоновано принципи моделювання спільних довільних законів розподілу вхідних величин з урахуванням кореляції між ними, що включають наступні операції.
1. Генерування двох послідовностей нормально розподілених некорельованих випадкових чисел о1 і о2 з нульовим математичним очікуванням та одиничним СКВ.
2. Формування із цих послідовностей третьої послідовності , корельованої з о1 із коефіцієнтом кореляції с. Їх спільна функція розподілу g(о1, о3) для різних коефіцієнтів кореляції представлена на рис. 4а.
Рис.4. Спільні функції розподілу для нормальних (а),
рівномірних (б) та арксинусних (в) корельованих величин
3. Здійснення перетворення від о1 і о3 у вигляді інтегральної функції нормованого нормального розподілу х=Gн(о) з одержанням послідовностей рівномірно розподілених у діапазоні від 0 до 1 корельованих випадкових чисел з1 і з2 з коефіцієнтом кореляції с1,2, близьким за значенням до вихідного коефіцієнта с (рис. 4б).
4. Одержання нормованих рівномірно розподілених випадкових чисел і з нульовим математичним очікуванням та одиничним СКВ.
5. Реалізація методу зворотних функцій для одержання двох послідовностей корельованих випадкових чисел і із заданими законами розподілу , де - інтегральна функція заданого закону розподілу. На рис. 4в показані двомірні функції із законом розподілу арксинуса для різних значень коефіцієнтів кореляції.
Запропонований алгоритм дозволяє здійснювати генерацію попарно корельованих випадкових чисел із заданими коефіцієнтами кореляції й будь-якими, навіть не однаковими, законами розподілу.
Дослідження показали, що методична систематична складова похибки відтворення коефіцієнта кореляції, що обумовлена нелінійністю перетворення вихідних законів розподілу, не перевищує при одержанні рівномірних законів розподілу 0,018 у діапазоні і досягає максимуму в точках . Здійснення методу зворотних функцій для одержання корельованих вхідних величин, розподілених за законом арксинуса, збільшує максимальне значення додаткової систематичної похибки відтворення коефіцієнта кореляції до 0,043. Випадкова складова реалізації моделювання визначалася за 50 вибірками об'ємом 106 значень, і її стандартне відхилення не перевищило 0,00015.
На основі синтезованої моделі отримано закони розподілу суми двох корельованих величин, розподілених рівномірно та за законом арксинуса, з різним співвідношенням СКВ S2/S1 , для яких оцінено значення коефіцієнтів покриття. Найбільш характерні гістограми цих композицій наведені на рис. 5. За отриманими композиціями оцінено значення коефіцієнтів покриття для рівня довіри 0,95 (рис. 6) і ексцесів розподілу, що характеризують їх форму.
Рис. 5. Композиції корельованих вхідних величин, розподілених
рівномірно (а-е) і за законом арксинуса (ж-м)
На основі моделювання методом Монте-Карло отримано композиції декількох рівномірних, нормальних законів розподілу та законів арксинуса. Їх аналіз дозволив розробити рекомендації з оцінювання коефіцієнтів покриття нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань при відсутності логічної кореляції. Були проведені обчислення коефіцієнта покриття композиції некорельованих рівномірно та нормально розподілених складових невизначеності із стандартними відхиленнями , з блоком корельованих рівномірно розподілених складових із стандартним відхиленням (рис. 6).
При реалізації методу Монте-Карло випадкова складова його реалізації визначалася по 50 вибіркам об'ємом 106 значень, і її стандартне відхилення не перевищило 0,00015.
На рис. 7-а зображені залежності коефіцієнта покриття від коефіцієнта кореляції блоку для різних відношень стандартних відхилень корельованих величин у1/у2 для відношення стандартних відхилень нормально (рівномірно) розподілених внесків і корельованого блоку ун/уУ й ур/уУ відповідно.
Рис. 6. Залежність коефіцієнта покриття розподілу композиції
а) рівномірних законів і б) законів розподілу арксинуса
Рис. 7. Залежності коефіцієнта покриття від ексцесу розподілу а)двох корельованих рівномірно розподілених складових невизначеності б) композиції корельованих та некорельованих величин
Обґрунтовується можливість одержання коефіцієнтів покриття композиції корельованих і некорельованих рівномірно та нормально розподілених складових невизначеності за допомогою методу ексцесів підсумовування складових невизначеності. Суть методу полягає в обчисленні ексцесу E сумарної функції розподілу через значення ексцесів окремих законів розподілу та їх стандартне відхилення. Після визначення сумарного ексцесу необхідно одержати значення коефіцієнта покриття для композиції. Це можна зробити, скориставшись емпіричним виразом k=f(E), отриманим за експериментальною залежністю (рис. 7-б).
Апроксимація цієї залежності досягається поліноміальним виразом
k=0.0576E3 0,0597E2 + 0,1824 E + 2,0479.
Похибка визначення коефіцієнта покриття методом ексцесів не перевищує 4 %.
У четвертому розділі розглянуто достовірні інтервальні оцінки точності прямих однократних вимірювань та однієї і декількох груп багаторазових рівноточних і нерівноточних вимірювань. Наведено приклади складання бюджету невизначеності з оцінюванням розширеної невизначеності аналітично та методом Монте-Карло.
При оцінюванні невизначеності прямих одноразових вимірювань варто мати на увазі, що в якості вхідних величин в їх модельне рівняння, крім величини, що вимірюється безпосередньо, входять поправки до результату вимірювання на відомі систематичні ефекти, а також основні та додаткові абсолютні похибки ЗВТ. Всі невизначеності оцінюються за типом В. Їх закон розподілу обирається на основі апріорної інформації. Всі коефіцієнти чутливості дорівнюють одиниці, тому всі внески невизначеності дорівнюють стандартним невизначеностям вхідних величин. Розширена невизначеність визначається відповідно до рекомендацій, наведених в третьому розділі. При відсутності кореляції отримано залежність коефіцієнту покриття від співвідношення невизначеності нормально та рівномірно розподілених вкладів невизначеності наведено на рис. 8.
Рис. 8. Залежність коефіцієнта покриття від співвідношення
невизначеностей нормально та рівномірно розподілених вкладів
При одержанні розширеної невизначеності результатів прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями необхідно використовувати композицію закону розподілу Стьюдента з набором корельованих або некорельованих законів розподілу (рівномірних, нормальних, законів арксинуса). Для визначення достовірних значень довірчого коефіцієнта (коефіцієнта покриття), що виходить у цьому випадку, використовувався метод Монте-Карло. Для цього генерувалася вибірка випадкових чисел (об'ємом 3105), що має закон розподілу Стьюдента із числом степенів свободи від 2 до 30 і стандартним відхиленням SS, і вибірки, розподіленої по одному з перелічених законів. Сума членів цих вибірок являє собою вибірку значень стандартного відхилення результату вимірювань, за якою визначалися довірчий інтервал (розширена невизначеність) і довірчий коефіцієнт (коефіцієнт покриття) для довірчої ймовірності (рівня довіри) 0,95 (рис. 9).
Для підвищення точності й можливості оцінювання власної невизначеності одержаних результатів цей чисельний експеримент повторювався 100 разів з подальшим усередненням. Невизначеність чисельного методу в цьому випадку була менш 0,0005.
Проведено порівняння апроксимації отриманого значення коефіцієнта покриття з коефіцієнтом Стьюдента із числом ефективних степенів свободи відповідно до методики GUM, а також виразами (3) і (4). Аналіз отриманих результатів (табл. 2) показує, що найбільш достовірним апроксимуючим виразом для коефіцієнта покриття є запропонований вираз (4). Похибка апроксимації при його застосуванні не перевищує 4,5 %.
Рис.9. Залежність коефіцієнта покриття від кількості спостережень та
відношення стандартних відхилень, одержана методом Монте-Карло
Таблиця 2
Ілюстрації щодо дослідження композиції закону розподілу
Стьюдента з набором некорельованих законів розподілу
Досліджується підвищення достовірності оцінювання невизначеності декількох груп прямих вимірювань. В метрології ця модель вимірювань використовується при проведенні міжлабораторних випробувань. В GUM задача обробки декількох груп спостережень (згрупованих послідовностей) розглядається на прикладі застосування методів дисперсійного аналізу ANOVA до найпростішого випадку врівноваженої одноетапної згрупованої структури без урахування в результатах спостережень невизначеностей типу В. При цьому за найкращу оцінку приймають середнє арифметичне всіх отриманих результатів спостережень. Однак така оцінка є ефективною тільки для випадку рівноточних вимірювань. Аналізуються методи оцінювання невизначеності декількох груп прямих вимірювань, що базуються на законах поширення невизначеності та розподілів результатів спостережень у групах за наявності невизначеностей обох типів. У настанові з оцінювання результатів ключових звірень для підвищення ефективності обробки нерівноточних груп прямих вимірювань застосовується середньозважена оцінка (методика А), у якій враховується тільки невизначеність типу А в групах. Знаходиться оцінка невизначеності середньозваженої оцінки вимірюваної величини з урахуванням невизначеності типу А и В для кожної групи спостережень.
У цьому випадку коефіцієнт покриття k можна визначати як коефіцієнт Стьюдента з ефективним числом степенів свободи, розрахованим за отриманою формулою
.
Коли результати вимірювання у групах рівноточні, число степенів свободи буде дорівнювати
,
або, для рівних nj ,
тобто у m раз більше, ніж для кожної групи прямих вимірювань.
При цьому отримані середньозважені значення розглядаються як однорідні. Для перевірки їх однорідності пропонується застосовувати критерій Граббса. Він розрахований на нормальний закон розподілу середніх арифметичних груп спостережень. Методом Монте-Карло отримані критичні значення параметру в для законів, відмінних від нормального (рис. 10). Невизначеності отриманих значень не перевищують 0,0005.
Для відшукання розширеної невизначеності можна використати процедуру Монте-Карло, що також може бути застосовна при відмінності законів розподілів результатів спостережень лабораторій від нормального.
Застосування процедури Монте-Карло полягає в наступному.
1. Генерується m вибірок з великою кількістю M (до 106) випробувань із параметрами (закон розподілу, математичне очікування та стандартне відхилення), характерними для результатів вимірювань, отриманих кожною лабораторією.
2. Для кожного випробування визначають значення шуканого параметра, (середнє арифметичне, середньозважене, медіана або інша оцінка, що вважається ефективною в цьому випадку).
Рис. 10. Залежність параметра в критерію Граббса від ексцесу
розподілу E для різного числа груп m
3. З отриманих в такий спосіб М оцінок шуканого параметра визначають середнє арифметичне, прийняте за оцінку найкращого результату об'єднаних вимірювань, і його стандартне відхилення, прийняте за стандартну невизначеність результату.
4. Здійснюють ранжування оцінок шуканого параметра, одержуючи його інтегральну функцію розподілу G(y). Після цього обчислюють найменшу оцінку його розширеної невизначеності за формулою
U=[G(pM+0,95M)-G(pM)],
де p - значення ймовірності, яке змінюють від 0 до 0,05.
З одержаного в такий спосіб набору значень розширеної невизначеності вибирають найменше значення, яке і приймають за найкраще значення розширеної невизначеності результату вимірювань.
У ряді випадків деякі із груп даних можуть бути попарно корельованими. Розглянуто питання пошуку достовірної оцінки в цьому випадку, яку будемо визначати у вигляді сукупного середнього. Для цієї оцінки отримано залежність значення вагового коефіцієнту від коефіцієнту кореляції с між даними груп та співвідношенням їх невизначеностей u(x2)/u(x1) (рис. 11-а):
(5)
З виразу (5) випливають відомі формули для сукупного середнього при відсутності кореляції. Для будь-яких значень с при u(x2)=u(x1) (рівноточні вимірювання) одержуємо для щ=0,5 формулу середнього арифметичного.
Рис. 11. Залежність від с та u(x2)/u(x1)
а) вагового коефіцієнту щ; б) відношення u(y0)/ u(y)
Для значень щ відношення невизначеності сукупного середнього u(y0) до невизначеності звичайної оцінки u(y) (рис. 11-б) буде дорівнювати
Аналіз отриманої залежності показує, що неврахування кореляції між законами розподілу в групах може привести до необмеженого збільшення невизначеності оцінки результату вимірювання при наближенні коефіцієнта кореляції до значень ±1.
У п'ятому розділі розглянуто достовірні інтервальні оцінки точності непрямих вимірювань.
При оцінюванні невизначеності непрямих некорельованих вимірювань при незначній нелінійності моделі коефіцієнт покриття вибирається з композиції законів розподілу Стьюдента та законів розподілу НСП (відповідно до рекомендацій розділу 2). При оцінюванні невизначеності непрямих вимірювань з корельованими вхідними величинами варто групувати їх таким чином, щоб корельовані між собою вхідні величини перебували в одному блоці (табл. 3). Тоді для кожного такого блоку можна оцінити його внесок невизначеності (наприклад, u1,2(y) у табл. 3) в невизначеність вихідної величини u(y), їх число степенів свободи (н1,2 ) і закон розподілу. При цьому варто мати на увазі, що для корельованих величин, розподілених за нормальним законом, закон розподілу їх суми буде також нормальним із стандартним відхиленням, визначеним за загальною формулою. Для корельованих величин, розподілених за будь-яким законом, з коефіцієнтом кореляції рівним 1 розподіл їх суми буде також підкорятися тому ж закону.
Таблиця 3
Бюджет невизначеності непрямих корельованих вимірювань
при незначній нелінійності моделі
У випадку значної нелінійності модельного рівняння варто застосовувати метод Монте-Карло, при реалізації якого для корельованих вимірювань необхідно генерувати багатомірну функцію розподілу з довільним законом розподілення. Спосіб генерації двомірної негаусової функції із заданим коефіцієнтом кореляції розроблено в розділах 2, 3.
Оцінка вимірюваної величини та невизначеність типу А при багаторазових вимірюваннях має бути отримана тільки методом приведення. Однак для оцінювання невизначеності за типом В метод приведення непридатний. У цьому випадку також некоректно користуватися методами оцінювання невизначеності вимірювань, що рекомендовані загальним алгоритмом GUM, оскільки через нелінійність функції перетворення закон розподілу вихідної величини може бути не тільки анормальним, але й асиметричним.
Слід зазначити, що якщо у вхідних величин відсутні невизначеності типу В, то задача оцінювання результату вимірювання і його стандартної та розширеної невизначеності може бути досить надійно вирішена методом приведення.
При наявності у вхідних величин невизначеностей обох типів варто застосовувати метод Монте-Карло так, як це було зроблено для непрямих однократних вимірювань.
У роботі за допомогою методу Монте-Карло досліджується коректність використання критерію допустимості застосування методу лінеаризації. Для функції одного аргументу критичне значення СКВ аргументу, при якому метод лінеаризації може бути використано, визначається з виразу
Цей вираз буде мати вигляд для степеневої функції , де (функція Y=X не розглядається, оскільки є лінійною); для показової функції , де k=1; 2; 3;… . У табл. 4 наведені критичні значення СКВ для різних законів розподілу та степеневої і показової функціональних залежностей.
На рис. 12 показані щільності імовірності вимірюваної величини, отриманої методом лінеаризації (криві 1), і трансформовані щільності ймовірності (криві 2) для різних законів розподілу аргументу та квадратичної функціональної залежності при критичному СКВ.
Таблиця 4
Критичні значення СКВ в критерії допустимості застосування методу лінеаризації
Дійсні значення математичного очікування (МО) результату вимірювання y, СКВ та довірчих границь Дp(y) (ДГ) результату вимірювання були визначені із трансформованої функції розподілу, отриманої методом Монте-Карло, для заданої функціональної залежності та відомої функції розподілу аргументу. Визначалися відносні похибки обчислення цих параметрів при застосуванні методу лінеаризації, які сягали до -40 % для МО, до -60 % для СКВ та до -72 % для ДГ при законі розподілу арксинуса.
З рис. 12-а 12-г видно, що найменшій трансформації піддаються закони розподілу з позитивними ексцесами (Лапласа, нормальний), а найбільшій – закони, що характеризуються негативними ексцесами (арксинусний, рівномірний). При оцінці довірчих границь методом лінеаризації при квадратичній функціональній залежності виходить нульова похибка, що підтверджується раніше проведеними дослідженнями.
Для достовірного врахування законів розподілу вхідних величин і характеру нелінійності модельної функції треба порівнювати значення МО, СКВ та ДГ, які отримані методом розповсюдження невизначеностей зі значеннями цих параметрів, отриманих методом розповсюдження розподілів.
Досліджується алгоритм обробки результатів спільних вимірювань, які в метрології застосовують при градуюванні засобів вимірювальної техніки (ЗВТ), ідентифікації їх динамічних характеристик або експериментальному дослідженні фізичних явищ (процесів), що лежать в основі роботи ЗВТ.
Рис. 12. Щільності імовірності вимірюваної величини, що отримані
методом лінеаризації (криві 1), та трансформовані щільності імовірності
(криві 2) для квадратичної функціональної залежності при критичному
СКВ різних законів розподілу аргументу: а) арксинусного;
б) рівномірного; в) нормального; г) Лапласа
Особливості цього алгоритму впливають на формування бюджету невизначеності спільних вимірювань, що буде виглядати у виді табл. 5, 6. На етапі вимірювання у бюджет невизначеності експериментальної та апроксимуючої залежностей (табл. 5) вносяться значення спільно вимірюваних величин , і оцінки їх невизначеностей , .
Таблиця 5
Бюджет невизначеності експериментальної та апроксимуючої
Залежностей
Таблиця 6
Бюджет невизначеності параметрів модельного рівняння
Розглядаються алгоритми обробки та оцінювання невизначеності спільних вимірювань, які будуть залежати від ряду умов проведення вимірювань: істотності невизначеності оцінювання значень , закону розподілу значень функції , їх рівноточності та ступеня нелінійності моделі. Залежно від перелічених умов для обробки застосовують метод найменших квадратів (МНК), кофлюентні або робастні методи.
У випадку, коли модельна функція істотно нелінійна, мають місце відчутні невизначеності вимірювань xk та розподіли значень yk анормальні, раціональним варіантом обробки спільних вимірювань є застосування чисельних методів, зокрема методу послідовного наближення.
МНК є найбільш уживаним методом обробки результатів спільних вимірювань. Однак цей метод добре застосовується при відсутності невизначеності оцінок аргументів u(xk) і наявності тільки випадкових незалежних нормально розподілених похибок вимірювань yk з нульовим очікуванням і рівними дисперсіями. У цьому випадку МНК дає незміщені та ефективні оцінки шуканих параметрів. На практиці невизначеності вимірювання аргументів можуть бути істотними, а результати вимірювання значень функції можуть бути залежними, нерівноточними, містити невизначеності, оцінені за типом В, а закони їх розподілу відрізнятися від нормального. У цих випадках МНК може застосовуватися тільки після проведення лінеаризації модельного рівняння, усікання або зважування експериментальних даних.
У шостому розділі розглядаються результати практичного оцінювання невизначеності вимірювань при виконанні метрологічних робіт.
Проведено аналіз концепції простежуваності вимірювань до Міжнародної системи одиниць SI у вигляді нерозривного ланцюга калібрувань. Розглядаються питання оцінювання заявленої невизначеності еталонів при підготовці до ключових звірень. Наведено рекомендації з оцінювання невизначеності вимірювань при проведенні ключових звірень. В результаті проведення ключових звірень визначають наступні характеристики:
а) невизначеність опорного значення ключових звірень;
б) ступінь еквівалентності кожного національного еталона.
Розглядаються питання оцінювання невизначеності ключових звірень із урахуванням результатів, отриманих у розділі 4.
Проведено аналіз прикладів застосування розроблених положень при вирішуванні практичних метрологічних задач. Наведені приклади оцінювання, основних різновидів вимірювань, ідентифікації динамічних характеристик ЗВТ.
При визначенні невизначеності параметрів динамічних характеристик варто враховувати як нелінійність функції перетворення, так і кореляцію оцінок параметрів моделі передатної функції, які отримані на основі спільних вхідних даних. Нелінійність функціональної залежності перехідної характеристики від її параметрів обумовлює перекручування форми закону розподілу динамічних характеристик. Так, форма закону розподілу оцінки сталої часу відповідає нормальному закону тільки для ЗВТ, що моделюються ланкою першого порядку. Для ЗВТ, що моделюються ланкою другого порядку оцінки сталих часу, які отримані методом моментів, мають коефіцієнт кореляції –1 та форму законів розподілів з однаковим ексцесом та асиметрію різних знаків. Неврахування кореляції між оцінками сталих часу призводить до збільшення оцінки їх невизначеності майже в чотири рази.
Отримано формули взаємного перерахування довірчої похибки та розширеної невизначеності для різних видів вимірювань.
При перерахуванні характеристик похибки в характеристики невизначеності результатів прямих вимірювань вихідними даними для розрахунків є: довірчі границі загальної похибки вимірювань Д(P); довірча ймовірність P=0,95 або P=0,99; відношення г=И(P)/S довірчих границь невиключеної систематичної похибки (НСП) И(P) та СКВ випадкової похибки S; кількість повторних вимірювань n; число m НСП, що додаються (для P=0,99).
Для перерахування довірчих границь похибки прямих однократних вимірювань, відомих з імовірністю P, у розширену невизначеність із рівнем довіри 0,95 отримано наступні вирази:
При перерахуванні довірчих границь похибки прямих багаторазових вимірювань, відомих з імовірністю 0,95, у розширену невизначеність із цим рівнем довіри p варто скористатися виразом:
(6)
в якому м=3,63 для p=0,95; та м =5,88 для p =0,99.
Розглядається перерахування характеристик невизначеності в характеристики похибки. Таке перерахування необхідне, наприклад, при визначенні характеристик похибок державних еталонів після оцінювання їх невизначеності за результатами ключових звірень для подальшого використання цих характеристик у сформованій в країні системі передачі розміру одиниці відповідно до повірочних схем.
При прямих одноразових вимірюваннях вихідними даними для розрахунків є: розширена невизначеність Up; коефіцієнт покриття k; рівень довіри p; відношення стандартного відхилення сумарної НСП до стандартного відхилення випадкової похибки: в=SИ/S; число стандартних невизначеностей типу В m* (для =0,99); число m НСП, що додаються, причому, m= m*1, а . При перерахуванні розширеної невизначеності, відомої з рівнем довіри 0,95, у довірчі границі похибки з імовірністю p варто скористатися виразом:
де tp=2 при p=0,95 та tp =2,6 при p=0,99.
При прямих багаторазових вимірюваннях вихідними даними для розрахунків є: розширена невизначеність Up; коефіцієнт покриття k; кількість результатів спостережень n; необхідна довірча ймовірність P. У цьому випадку можна одержати: ефективне число степенів свободи нeff - за заданим значенням коефіцієнта покриття k для рівня довіри p=0,95 з таблиці розподілу Стьюдента; оцінку СКВ, що характеризує сумарну похибку SУ=Up/k=uc; оцінку СКВ випадкової похибки ; оцінку СКВ, що характеризує НСП ; оцінку відношення стандартного відхилення сумарної НСП до стандартного відхилення випадкової похибки: в=SИ/S; оцінку довірчих границь НСП , оцінку довірчих границь похибки Дp. Точність знаходження довірчих границь похибки можна підвищити, якщо буде відомо ефективне число степенів свободи нeff та відношення стандартного відхилення сумарної НСП до стандартного відхилення випадкової похибки в. В останньому випадку по знайденій оцінці СКВ, що характеризує сумарну похибку можна відразу по формулі визначити оцінку СКВ випадкової похибки.
У додатках наведено таблиці розрахованих значень параметрів, застосовуваних при статистичншй обробці результатів вимірювань, таблиці отриманих залежностей, значень коефіцієнтів покриття, бюджети невизначеності основних різновидів вимірювань, акти впровадження та використання результатів досліджень, приклади практичного оцінювання невизначеності вимірювань.
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вирішено важливу складову науково-технічної проблеми забезпечення єдності вимірювань, що полягає у розвитку теоретичних і прикладних основ оцінювання характеристик похибки та невизначеності результатів вимірювань з метою підвищення їх достовірності шляхом урахування законів розподілу вхідних величин та кореляційних зв'язків між ними.
Основні результати роботи полягають у наступному.
1. На основі аналізу моделей законів розподілу статистичних оцінок результатів вимірювань та законів розподілу оцінок їх розсіювання, отриманих методом Монте-Карло, розроблено підхід до достовірного статистичного оцінювання результатів вимірювань. Розраховано вагові коефіцієнти комбінованої оцінки результатів вимірювань які мінімізують значення довірчих границь оцінок випадкової похибки результатів вимірювань для довільного закону розподілу даних. Відношення значень цих границь до значень границь традиційної оцінки зменшуються в декілька разів зі зростанням кількості спостережень для законів розподілу, відмінних від нормального, що дає можливість при використанні комбінованої оцінки знизити кількість спостережень при проведенні вимірювального експерименту без зменшення його точності.
2. Отримано апроксимацію залежності коефіцієнтів t-розподілу для довільних законів розподілів результатів спостережень від числа степенів свободи для рівня довіри 0,95. Проведено імітаційне моделювання композиції законів t-розподілу для різних законів розподілів результатів спостережень. Встановлено, що число степенів свободи такої композиції, отримане за формулами Велча-Саттерсвейта, перевищує їх достовірне значення в 2 рази. Синтезовано достовірну оцінку коефіцієнта покриття для такої композиції, яка апроксимує опорне значення з похибкою, що не перевищує ±8 %. Проведене дослідження результату підсумовування декількох корельованих складових, розподілених за законом Стьюдента, встановило, що коефіцієнт покриття такої композиції добре апроксимується коефіцієнтом Стьюдента з тим же числом степенів свободи.
3. Вперше запропоновано принципи моделювання спільного розподілу двох корельованих величин з довільним законом розподілу. На основі результатів цього моделювання отримано закони розподілу суми двох корельованих рівномірно і арксинусно розподілених величин, оцінено значення ексцесів і коефіцієнтів покриття. Розглянуто застосування Е-метода підсумовування складових невизначеності для цих випадків, запропонована апроксимуюча залежність коефіцієнта покриття від ексцесу розподілу двох корельованих складових невизначеності, яка дозволила визначати коефіцієнт покриття для суми корельованих та некорельованих вхідних величин з похибкою не більше 4 %. На основі моделювання методом Монте-Карло отримано композиції декількох рівномірних, нормальних законів розподілу та законів арксинуса. Їх аналіз дозволив розробити рекомендації з достовірного оцінювання коефіцієнтів покриття нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань при відсутності логічної кореляції між вхідними величинами.
5. Встановлено принципи отримання достовірних оцінок розширеної невизначеності прямих однократних вимірювань, які дозволили знизити їх максимальну похибку на 20 % у порівнянні з оцінками, наведеними у нормативних документах. На основі моделювання композиції законів розподілу Стьюдента, рівномірних та нормальних законів розподілу запропоновано вираз, що здійснює апроксимацію достовірних значень коефіцієнта покриття прямих багаторазових вимірювань з похибкою не більше 4,5 %, що майже в 4 рази менше, ніж похибка стандартних оцінок, рекомендованих нормативними документами.
6. Запропоновано процедуру обробки декількох груп прямих нерівноточних багаторазових вимірювань з урахуванням невизначеностей обох типів даних у групах. Вирішено задачу оцінювання неоднорідності даних у групах з довільним законом розподілу за допомогою критерію Граббса, параметр якого отримано у результаті комп’ютерного моделювання. Застосовано процедуру Монте-Карло для відшукання достовірної оцінки розширеної невизначеності результату обробки декількох груп вимірювань, розподілених за довільним законом. Встановлено достовірну оцінку результату вимірювання з урахуванням попарної кореляції даних у групах. Доведено, що неврахування кореляції між законами розподілу в групах може привести до необмеженого збільшення невизначеності оцінки результату вимірювання при наближенні коефіцієнта кореляції до значень ±1.
7. Встановлено принципи отримання достовірних оцінок розширеної невизначеності одноразових та багаторазових непрямих вимірювань з урахуванням кореляції між вхідними величинами. Розроблено набір рекомендацій з розв’язання перерахованих задач, що включає методики оцінювання розширеної невизначеності та технології складання бюджету невизначеності. На основі теорії трансформації законів розподілу при нелінійному перетворенні проведено аналіз границь використання критерію застосування закону поширення невизначеності при нелінійній модельній функції для анормальних законів розподілу вхідних величин. Показано, що похибки оцінювання значень математичного очікування, стандартного відхилення та довірчих границь результату вимірювання можуть досягати від -40 % до -72 %.
8. Розглянуто основи достовірного оцінювання невизначеності спільних вимірювань з урахуванням невизначеності вхідних величин обох типів та кореляції між параметрами, що визнаються. Розроблено набір рекомендацій, що включає процедуру оцінювання розширеної невизначеності та технологію складання її бюджету.
9. Проведено аналіз прикладів застосування розроблених положень при вирішуванні практичних метрологічних задач: оцінювання невизначеності вимірювань на основі концепції простежуваності при проведенні ключових звірень, калібрувань та випробувань, основних різновидів вимірювань, ідентифікації динамічних характеристик ЗВТ з урахуванням кореляції між оцінками параметрів, тощо. Отримано вирази та числові значення коефіцієнтів взаємного перерахування характеристик похибки та невизначеності вимірювань при виконанні метрологічних робіт.
СПИСОК ПРАЦЬ, ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Захаров И.П., Штефан Н.В. Идентификация динамических характеристик апериодических измерительных преобразователей методом моментов // Радиотехника: Всеукр. межвед. науч.-техн. сб. 1997. Вып. 104. С. 47-55.
2. Захаров И.П., Штефан Н.В. Трансформация законов распределения погрешностей при нелинейном преобразовании // Радиотехника: Всеукр. межвед. науч.-техн. сб. 2000. Вып. 113. С. 58-61.
3. Захаров И.П., Штефан Н.В. Обнаружение грубых погрешностей и промахов при обработке результатов наблюдений // Радиотехника: Всеукр. межвед. науч.-техн. сб. –. –Вып. 121. – С. 130-133.
4. Захаров И.П., Сафарян Г.Г. Определение доверительных границ композиции арксинусных законов распределения // Радиотехника: Всеукр. міжвід. наук.-техн. зб. 2004. Вып. 136. С. 27-30.
5. Захаров И.П., Сергиенко М.П. Исследование характеристик случайной погрешности определения постоянных времени апериодических измерительных преобразователей // Всеукр. межвед. науч.-техн. сб. 2004. Вып. 139. С. 125-129.
6. Захаров И.П., Штефан Н.В., Сезонова И.К. Оценивание границ случайной погрешности результата измерения по малому числу наблюдений // Радиоэлектроника и информатика. –. – Вып. 1(18). – С. 53-56.
7. Захаров И.П., Сафарян Г.Г., Сергиенко М.П. Использование метода Монте-Карло для анализа погрешности измерения коэффициента несинусоидальности напряжения // Радиоэлектроника и информатика. 2005. №2. С. 15-18.
8. Захаров И.П., Штефан Н. В. Алгоритмы достоверного и эффективного оценивания неопределенности по типу А // Измерительная техника. – 2005. – № 5. – С. 9-15.
9. Захаров И. П., Штефан Н. В. Применение метода Монте-Карло для реализации алгоритма статистической обработки результатов измерительного эксперимента // Український метрологічний журнал. –. –№ 1. – С. 8-14.
10. Захаров И.П. Неопределенность измерений: общие подходы к составлению бюджета неопределенности // Український метрологічний журнал. 2004. №2. С. 10-15.
11. Захаров И.П. Составление бюджета неопределенности прямых измерений // Український метрологічний журнал. –. – №3. –С. 6-12.
12. Захаров И.П. Составление бюджета неопределенности косвенных измерений с некоррелированными входными величинами // Український метрологічний журнал. –004. – №4. –С. 33-39.
13. Захаров И.П. Составление бюджета неопределенности косвенных измерений с коррелированными входными величинами // Український метрологічний журнал. 2005. – №1. С.7-15.
14. Захаров И.П. Составление бюджета неопределенности нескольких групп прямых измерений // Український метрологічний журнал. –. – №2. –С. 5-11.
15. Захаров И.П. Составление бюджета неопределенности совместных измерений // Український метрологічний журнал. –. – №3. –С. 15-18.
16. Захаров І.П. Стандартизація оцінювання якості вимірювань // Стандартизація, сертифікація, якість. 2005. №1. С. 41-47.
17. Захаров И.П. Сергієнко М.П. Основні задачі метрологічної ідентифікації динамічних характеристик засобів вимірювальної техніки // Стандартизація, сертифікація, якість. 2005. №. 3. С. 33-37.
18. Захаров І.П. Взаємне перерахування похибок та невизначеності вимірювань // Стандартизація, сертифікація, якість. 2005. №5. С. 49-56.
19. Захаров И.П., Пономарева О.В., Сафарян Г.Г. Сергиенко М.П. Исследование границ применимости метода линеаризации при обработке результатов косвенных измерений // АСУ и приборы автоматики. 2005. Вып. 130. С. 86-90
20. Захаров И.П. Оценивание точности измерений: состояние, проблемы, перспективы // АСУ и приборы автоматики. Вып. 131. 2005. С. 176-181.
21. Захаров И.П. Исследование и повышение достоверности интервальных оценок точности прямых многократных измерений // АСУ и приборы автоматики. 2005. Вып. 132. С. 106-109.
22. Захаров И.П. Расчет коэффициента охвата для нормально и равномерно распределенных составляющих неопределенности // Системи обробки інформації. 2005. Вип. 6. С. 52-57.
23. Захаров И.П. Композиция законов распределения Стьюдента // Системи обробки інформації. 2005. Вип. 8. С. 28-35.
24. Захаров И.П. Учет корреляции при оценивании неопределенности результатов многократных измерений // Системи обробки інформації. 2005. Вип. 9. С. 43-45.
25. Захаров И.П. Сергиенко М.П. Оценивание неопределенности идентификации динамических характеристик средств измерительной техники // Вестник НТУ “ХПИ”. Тематический выпуск “Автоматика и приборостроение”. 2005. Вып. 38. С. 40-49.
26. Захаров И.П. Моделирование коррелированных данных при обработке результатов измерений // Моделювання та інформаційні технології: Збірник наукових праць. 2005. – Вип. 33. – С. 35 - 40.
27. Захаров И.П. Вычисление коэффициента охвата композиции коррелированных и некоррелированных составляющих неопределенности измерения // Збірник наукових праць ХУПС. –. – Вип. 6(6). – С. 61 – 63.
АНОТАЦІЯ
Захаров І.П. Розвиток теорії та методів оцінювання точності результатів вимірювань з урахуванням концепції невизначеності. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.11.15 – метрологія та метрологічне забезпечення. Національний науковий центр “Інститут метрології”, Харків, 2006.
У дисертації наведено вирішення актуальної проблеми підвищення достовірності оцінювання точності результатів вимірювань. Головним аспектом цієї проблеми є знаходження достовірних статистичних та нестатистичних оцінок похибки та невизначеності вимірювань за допомогою аналітичних та чисельних методів. Отримано вирази для оцінки результату вимірювань з багаторазовими спостереженнями, які забезпечують підвищення достовірності оцінювання похибки (невизначеності) при довільно заданих законах розподілу вхідних величин. Одержано композиції законів розподілу Стьюдента для корельованих і не корельованих результатів спостережень для нормальних і анормальних законів розподілу. Знайдено достовірні оцінки числа степенів свободи цієї композиції і коефіцієнта покриття при пошуку розширеної невизначеності статистичної оцінки. Розглянуто засади достовірного оцінювання невизначеності основних різновидів вимірювань для довільних законів розподілів з урахуванням можливої кореляції. Розроблено набір рекомендацій з вирішення перерахованих задач, який включає методики оцінювання розширеної невизначеності і технології складання бюджету невизначеності.
Ключові слова: похибка, невизначеність, стандартне відхилення, коефіцієнт покриття, обробка результатів вимірювань, метод Монте-Карло.
ABSTRACT
I.P. Zakharov. Development of the theory and methods of estimation of accuracy of results of measurements taking into account the concept of uncertainty.
The doctoral dissertation on speciality 05.11.15 - metrology and metrological assurance. National Centre of Science “ Institute of Metrology ”, Kharkiv, 2006.
The dissertation gives solving of the actual problem of increase of trustworthiness of measurement results accuracy estimation. The main aspect of this problem is finding the trustworthy the statistical and non-statistical estimation of the error and uncertainty of measurements by means of analytical and numerical methods.
The expression for estimation of the result of measurements with repeated observations which provides increase of reliability of estimation of the error (uncertainty) at one’s own choosing set laws of distribution of input quantities is got. The compositions of the laws of Student’s distribution for correlated and uncorrelated results of observations for normal and abnormal laws of distribution are got. The reliable estimations of the number of degrees of freedom of this composition and coverage factor are found at search of the expanded uncertainty of statistical estimation. The bases of the reliable estimation of uncertainty of the basic varieties of measurements for the will laws of distributions taking into account the possible correlation are considered. The set of recommendations on the listed problems solving, which includes the methods of estimation of the expanded uncertainty and technology of drawing up the uncertainty budget is developed.
Key words: error, uncertainty, standard deviation, coverage factor, results of measurements processing, Monte Carlo simulation.
АННОТАЦИЯ
Захаров И.П. Развитие теории и методов оценивания точности результатов измерений с учетом концепции неопределенности. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.11.15 – метрология и метрологическое обеспечение. Национальный научный центр “Институт метрологии”, Харьков, 2006.
Проведен анализ современного состояния и основных тенденций оценивания точности результатов измерений. Рассмотрены требования к достоверности оценок точности. Исследована степень достоверности различных статистических и нестатистических оценок точности, применяемых при обработке результатов измерений. Оценены возможности применения аналитических и численных методов для повышения достоверности этих оценок. Проведен анализ отечественных и зарубежных нормативных документов в исследуемой предметной области. Проведено сравнение двух основных подходов к оцениванию точности измерений: классического подхода и подхода неопределенности. Проанализированы общие принципы оценивания неопределенности измерений, порядок вычисления статистических и нестатистических оценок составляющих и их ковариаций, составления бюджета неопределенности, оценивание доверительной погрешности и расширенной неопределенности измеряемой величины. Выявлены основные ограничения обоих подходов, определены направления преодоления этих ограничений с целью повышения достоверности оценивания точности измерений.
Методом Монте-Карло получены выражения для оценки результата измерения с многократными наблюдениями, обеспечивающее повышение достоверности оценивания погрешности (неопределенности) при произвольно заданных законах распределения входных величин. На основе совместной функции распределения получены композиции законов распределения Стьюдента для коррелированных и некоррелированных результатов наблюдений для нормальных и анормальных законов распределения. Найдены достоверные оценки числа степеней свободы этой композиции и коэффициента охвата при нахождении расширенной неопределенности статистической оценки.
Разработаны принципы моделирования совместных произвольных законов распределения входных величин с учетом корреляции между ними. Методом Монте-Карло синтезированы модели композиций законов распределения нескольких входных величин, имеющих стандартные законы распределения, используемые при оценивании доверительных границ неисключенных систематических погрешностей (неопределенности типа В) для разных коэффициентов корреляции и соотношения стандартных отклонений. Разработаны рекомендации по оцениванию коэффициентов охвата нестатистических оценок точности результатов измерений при отсутствии логической корреляции между входными величинами. Обосновывается возможность применения метода эксцесса для нахождения расширенной неопределенности измерения при суммировании коррелированных нестатистических оценок точности с различными законами распределения.
Рассмотрены основы достоверного оценивания неопределенности прямых однократных, а также одной и нескольких групп многократных гомоскедастичных и гетероскедастичных измерений с учетом возможной корреляции между результатами наблюдений групп. Разработан набор рекомендаций по решению перечисленных задач, включающий методики оценивания расширенной неопределенности и технологии составления бюджета неопределенности.
Рассмотрены основы достоверного оценивания неопределенности косвенных однократных и многократных измерений с учетом наблюдаемой и логической корреляции между входными величинами для различных видов модельных уравнений. Рассмотрены основы достоверного оценивания неопределенности совместных измерений с учетом обоих типов неопределенности одновременно наблюдаемых величин.
Приведены примеры практического применения полученных в работе результатов при оценивании неопределенности при выполнении метрологических операций. Получены выражения, обеспечивающие взаимный перерасчет характеристик погрешности и неопределенности измерений.
Ключевые слова: погрешность, неопределенность, стандартное отклонение, коэффициент охвата, обработка результатов измерений, метод Монте-Карло.
2. ContentType contenttext-html; chrsetwindows1251
3. Догосударственный период в истории Рус
4. Без памяти ~писал С
5. Основы проектирования и эксплуатации полигонов ТБО и ТПО
6. ТЕМА ЗАНЯТИЯ- ОСТРЫЕ И ХРОНИЧЕСКИЕ ЛЕЙКОЗЫ Место проведения- учебная комната палаты Количество часов- 5
7. Основы гражданского права
8. На тему- Анализ и синтез деятельности человека оператора
9. Расчет состава машино-тракторного парка
10. 18 июня 2003 г 33 ПРАВИЛА ПЕРЕВОЗОК ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫМ ТРАНСПОРТОМ ГРУЗОВ МЕЛКИМИ ОТПРАВКАМИ 1
11. тематизация исторических источников является более высоким уровнем их группировки
12. Спик IT- с июля 2011 по настоящее время Должность- менеджер по продажам Общение с клиентами Ведение деловой пе
13. Хочется на миг назад вернуться В детство в отчий светлый дом И как прежде другу улыбнуться И пройти
14. на тему- Правонарушения и юридическая ответственность Вып
15. вариантами ответов выберите вариант который отражает ваше мнение
16. 22 на рецепції 21
17. Лечение больных туберкулезом легких проводится комплексно и включает- фармакотерапию противотуберку
18. Михайло Гастрит підв.
19. Лабораторная работа 3 по теме работа с файлами и каталогами Выполнил ст
20. Лекция 8 Реакции приводящие к увеличению степени полимеризации