Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №1: Понятие определителя
Определитель – это совокупность n2 чисел, расположенных в виде n-го порядка таблицы.
Порядок определителя = кол-ву строк или столбцов. (Любой определитель-это число).
Определитель второго порядка (2 строки, 2 столбца) ∆2 =а11*а22 - а12*а21(крест на крест)
1. Если все элементы какой-нибудь строки или столбца равны нулю, то определитель равен нулю. 2. Определитель равен нулю, если элементы двух строк или столбцов пропорциональны. 3. Определитель равен нулю, если он имеет одинаковые строки или два одинаковых столбца.
Со строками определителя можно производить умножение, сложение.
Можно совершать операции со столбцами определителя.
Минором некоторого элемента определителя aij называется определитель, который получился вычеркиванием в данном определителе строки и столбца, на пересечении которого стоит элемент aij.
Алгебраическое дополнение – Aij элемента aij называется произведением (-1)i+j на минор этого элемента. Aij = (-1)i+j * Мi+j.
Свойства определителя используют для упрощения определителя.
а11 А11 + а12 А12 + а13А13.
Лекция №2. Понятие матрицы
Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m-cтрок и n-столбцов.
Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получится транспортированная матрица.
Матрицы одного размера можно складывать или вычитать.
1. Матрицу можно умножать на произвольное число, при котором каждый элемент умножается на это число. 2. Одну матрицу А можно умножать на другую матрицу В только в том случае, когда число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В.
Матрица А-1 называется обратной для матрицы А, если произведение А*А-1=Е, где Е – единичная матрица. 1)Е можно найти только для квадратной матрицы. 2)Если определитель равен нулю, то обратная матрица не существует.
От противного.
А-1*А*В-1
(А-1*А) * В-1 = а-1 *(А*В-1)
Е = В-1 и Е = А-1
В-1 = А-1
Лекция №3. Система линейных уравнений
1)Что такое линейные уравнения?
Система m линейного уравнения с n неизвестной записывается в виде (РИС 1) .
2)что является решением системы линейных уравнений?
(x1; x2;…;xn)- решение линейного уравнения
3)Какая система уравнений называется совместной?
Если система имеет хотя бы 1 решение, она называется совместной
4)Какая система уравнений называется определенной?
Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной.
5)Что такое определитель системы?
Для случая m=n определитель составлен из коэфициентов при перемещении, называется определителями системы.
6)Когда системы уравнений имеет единственное решение?
Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.
7)Перечислить методы решения системы линейных уравнений.
Метод Крамера, матричный метод, метод Гаусса
8)Написать формулы Крамера
(; )
9) Когда можно использовать метод Крамера?
Когда определитель не равен нулю
Лекция №4. Матричный метод решения система уравнения
1)Как записать систему в матричной форме?
A*X=B – система в матричной форме (А-матрица из коэффициента при переменной, Х-матрица-столбец из переменной)
2)Как найти матрицу переменных?
Х=А-1*В. Чтобы найти решение системы нужно найти обратную матрицу и умножить еке на матрицу В.
4)Смысл метода Гаусса
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных из уравнений
5)С помощью каких действий находятся переменные по методу Гаусса?
Умножение, сложение
Лекция №5-6. Система m уравнений с n неизвестными
Основными являются переменные удовлетворяющие условию: определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных, не равен нулю.
Когда система имеет множество решений, среди них выделяют базисное решение.
Базисным решением называется такое решение, в котором неосновные переменные равны нулю.
Ранг-матрица – это число, равное наибольшему порядку минора отличного от нуля.
Для того, чтобы линейная система была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы (rB=rA).
Лекция №7. Однородные системы линейных уравнений.
Система называется однородной, если все n свободные члены равны нулю.
Однородная система имеет ненулевое решение только тогда, когда ранг матрицы А меньше числа n (переменных).
Если m>n, то система имеет ненулевое решение, тогда, когда определитель системы = 0.
Лекция №8. Система линейных уравнений.
Если отрезок целиком принадлежит множеству, то оно называется выпуклым.
Каждое решение неравенства (x1,x2) представляется точкой на плоскости Y неравенства множество решений. Геометрический смысл множества решений неравенства установлен с помощью теоремы:
Множеством решений линейного неравенства служит одна из двух полуплоскостей, на которые всю плоскость делиться прямая.
Если координаты контрольной точки удовлетворяют неравенству, то соответствующая точке полуплоскость является множеством решений неравенства.
Т.к. областью решения каждого неравенства является полуплоскость вместе с её границей, тогда областью решений системы будет пересечение двух полуплоскостей, т.е. выпуклый многоугольник у которого условными точками являются точки пересечения двух прямых, соответствующие двум уравнениям системы.