Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4. Зависимость событий. Теория умножения вероятностей (вывод).
Во многих задачах приходится находить вероятность совмещения событий А и В, если известны вероятности событий А и В.
Рассмотрим следующий пример. Пусть брошены две монеты. Найдем вероятность появления двух гербов. Мы имеем 4 равновероятных попарно несовместных исхода, образующих полную группу:
|
|
1-я монета |
2-я монета |
|
1-й исход |
герб |
герб |
|
2-й исход |
герб |
надпись |
|
3-й исход |
надпись |
герб |
|
4-й исход |
надпись |
надпись |
Таким образом, P (герб,герб)=1/4.
Пусть теперь нам стало известно, что на первой монете выпал герб. Как изменится после этого вероятность того, что герб появится на обеих монетах? Так как на первой монете выпал герб, то теперь полная группа состоит из двух равновероятных несовместных исходов:
|
|
1-я монета |
2-я монета |
|
1-й исход |
герб |
герб |
|
2-й исход |
герб |
надпись |
При этом только один из исходов благоприятствует событию (герб, герб). Поэтому при сделанных предположениях Р(герб,герб)=1/2. Обозначим через А появление двух гербов, а через В — появление герба на первой монете. Мы видим, что вероятность события А изменилась, когда стало известно, что событие B произошло.
Новую вероятность события А, в предположении, что произошло событие B, будем обозначать PB(А).
Таким образом, Р(A)=1/4; PB(А)=1/2
Теорема умножения.
Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.
P(AB)=P(A)PA(B)
Доказательство. Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возможные исходы Е1, Е2, ..., ЕN данного опыта образуют полную группу равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A благоприятствуют M исходов, и пусть из этих M исходов L исходов благоприятствуют событию B. Очевидно, что совмещению событий A и B благоприятствуют L из N возможных результатов испытания. Это дает:
; ;
Таким образом,
Поменяв местами A и B, аналогично получим:
Теорема умножения легко обобщается на любое , конечное число событий. Так, например, в случае трех событий A1, A2, A3 имеем:
В общем случае: