Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Нелинейной называется система, которая содержит хотя бы один элемент с нелинейной зависимостью между его входной и выходной величинами в установившемся режиме. Нелинейности бывают естественные и искусственно вводимые. Естественные нелинейности обусловлены свойствами реальных элементов: насыщением, нечувствительностью, неоднозначностью и т.п. Преднамеренно вводимые нелинейности предназначены для улучшения качества систем. Например, в линейной системе характер переходного процесса зависит от величины коэффициента передачи системы : при большом значении выходная координата нарастает быстро, но имеет много колебаний, а при малом значении процесс монотонный, но затянутый по времени. Если ввести в систему нелинейный элемент, как показано на рис. 1.1, то в начале отработки входного сигнала (когда ошибка большая) значение большое, а в конце отработки (малая) – значение небольшое.
Рис. 1.1. Структура системы с нелинейным элементом
Таким образом, в системе с нелинейным элементом можно получить переходный процесс, быстро нарастающий без перерегулирования и с небольшим временем установления.
Основные особенности нелинейных систем:
Рассмотрим наиболее распространенные нелинейности:
|
Рис. 1.2. Нелинейность типа «ограничение» |
|
Рис. 1.3. Нелинейность типа «зона нечувствительности» |
Возможна комбинированная нелинейность из этих двух.
|
Рис. 1.4. Идеальное двухпозиционное реле |
|
Рис. 1.5. Реальное двухпозиционное реле |
Есть также трехпозиционные (идеальные и реальные) реле.
Рис. 1.6. Нелинейность типа «люфт»
Рис. 1.7. Нелинейность типа «квантователь»
Среди рассмотренных нелинейностей однозначные нелинейности – статические, неоднозначные – динамические.
При наличии в системе нескольких нелинейных элементов их заменяют одной эквивалентной нелинейностью.
Рассмотрим различные соединения звеньев.
Рис. 1.8. Статические характеристики двух нелинейностей
Значению (рис. 1.9) соответствует значение первого элемента, будет входом для второго элемента, для которого находят выходную величину . Суммарную характеристику соединения строят в IV квадранте ( и ). При этом масштабы выходной величины первого звена и входной величины второго звена должны быть одинаковыми. Масштабы и при других видах соединений должны согласовываться.
Рис. 1.9. Характеристика последовательного соединения двух нелинейностей
Рис. 1.10. Статические характеристики двух нелинейностей
При построении характеристики этого соединения (рис. 1.11) для фиксированного значения определяется значение .
Рис. 1.11. Характеристика параллельного соединения двух нелинейностей
3) Встречно–параллельное соединение (соединение с обратной связью) (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Встречно-параллельное соединение двух нелинейностей
Если разомкнуть обратную связь, то значение соответствует (рис. 1.13). При замыкании отрицательной обратной связи для достижения надо увеличить входной сигнал на величину , т.е. .
Рис. 1.13. Характеристика встречно - параллельного соединения
двух нелинейностей
Для упрощения анализа нелинейной системы производят структурные преобразования, чтобы в замкнутом контуре иметь нелинейный элемент (НЭ) и линейную часть (ЛЧ) (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Расчетные структурные схемы нелинейной системы:
а – с линейной частью в цепи обратной связи, б – с линейной частью в прямой цепи
При этом следует выполнить условия: через НЭ нельзя переносить линейные звенья; сигналы на входе НЭ должны оставаться такими же и после преобразования схемы.
Пример 1.1. Преобразовать структурную схему (рис. 1.15), в которой
F – нелинейный элемент, K1, K2, K3 – линейные части, к расчетным
структурам.
Рис. 1.15. Исходная структурная схема нелинейной системы
Преобразование осуществим в следующей последовательности. Перенесем сумматор внутреннего контура через элемент влево:
Заменим параллельно соединенные цепи обратных связей одной:
Окончательно получим первый вариант схемы:
Для получения второго варианта в исходной схеме разорвем цепь на входе нелинейного элемента..
На основании этого соотношения схема будет иметь вид:
Окончательно второй вариант расчетной схемы будет:
В зависимости от принципа работы нелинейного элемента, можно выделить следующие виды нелинейных САУ:
Нелинейные непрерывные САУ, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями:
,
где и – нелинейные вектор-функции.
Нелинейные импульсные САУ, описываемые нелинейными разностными уравнениями:
Релейные САУ.
Нелинейные САУ, в состав которых входят ЭВМ. Если параметры системы с течением времени изменяются, то нелинейные системы называются нестационарными, если не изменяются, то стационарными.
Наконец нелинейные системы при отсутствии задающих воздействий, называют автономными.
Рассмотрим примеры нелинейных систем.
Рис.1.16. Функциональная схема привода подачи станка: Г – генератор опорного напряжения; ФП – функциональный преобразователь формирующий желаемый сигнал , ФД – фазовый детектор выделяющий сигнал , пропорционального отклонению реальной фазы от желаемого значения , УУ – устройство управления; РП – регулируемый привод; ИМ – исполнительный механизм;
ФР – фазовращатель, формирующий напряжения, которыми запитываются статорные обмотки трансформатора:, , при этом на роторной обмотке формируется напряжение:
Для перехода к структурной схеме системы (рис. 1.17) определим выходную характеристику фазового детектора, который реализует умножение
сигналов:
Рис. 1.17. Структурная схема привода подачи станка
Из приведенной структуры, где – помеха, обусловленная неточной фильтрацией второй гармоники, видно, что систему можно считать линейной, если начальное рассогласование , во всех остальных случаях система нелинейна.
2. Релейный привод с асинхронным двухфазным двигателем.
Функциональная схема системы приведена на рис. 1.18.
Рис. 1.18. Функциональная система релейного привода с асинхронным двухфазным двигателем: У – усилитель; РЭ – релейный элемент; БК – блок коммутации;
БП – блок питания; ИМ – исполнительный механизм; ОУ – обмотка управления;
ОВ – обмотка возбуждения; ДОС – датчик обратной связи.
Нелинейные характеристики в виде реле введены в систему для придания ей определенных свойств, связанных с обеспечением максимальной скорости регулирования.
Основными задачами исследования нелинейных систем являются: отыскание возможных состояний равновесия системы и исследование их устойчивости; определение параметров автоколебаний и анализ их устойчивости; исследование процессов перехода системы к тому или иному установившемуся состоянию при различных начальных отклонениях.
Начало исследования нелинейных систем обычно связано с рассмотрением устойчивости и определением параметров автоколебаний.
К настоящему времени не создана общая теория анализа нелинейных систем. Разработанные методы позволяют решать задачи лишь для отдельных видов нелинейных систем, и, как правило, они применимы для систем, описываемых определенными типами нелинейных дифференциальных уравнений.
Все методы исследования нелинейных систем разделяются на три основные группы: точные методы, приближенные методы и методы моделирования.
К первой группе, относятся: метод А. М. Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод точечных преобразований, частотный метод В. М. Попова. Все они основаны на точном решении нелинейных дифференциальных уравнений.
Приближенные методы, такие как метод гармонической линеаризации, метод статистической линеаризации, основаны на линеаризации нелинейных уравнений системы.
Мощным и эффективным методом исследования нелинейных систем является моделирование, инструментарием которого служит компьютер. В настоящее время многие сложные для аналитического решения теоретические и практические вопросы сравнительно легко могут быть решены с помощью моделирования, которое дополняет первые две группы методов.
В инженерной практике чаще применяются методы: фазовой плоскости; основанные на теоремах А.М.Ляпунова; гармонической линеаризации нелинейных характеристик; цифрового интегрирования (моделирования).
Метод фазового пространства относится к наиболее ранним точным аналитическим методам теории нелинейных систем.
Введем понятие фазового пространства. Пусть система n–порядка описывается дифференциальными уравнениями
(2.1)
с начальными условиями , , … при . В (2.1) и
– возмущение и входное воздействие, а – переменные, имеющие в конкретной системе свой физический смысл. Это могут быть выходная координата и ее производные.
Если в (2.1) , то , , можно представить как прямоугольные координаты (рис. 2.1).
|
Рис. 2.1. К понятию фазового пространства |
Начальные условия (, , ) определяют координаты точки при . По мере развития процесса в системе точка перемещается в пространстве и значения , , изменяются. Точка называется изображающей точкой, а ее траектория – фазовой траекторией, а пространство (, , ) – фазовым пространством. Если переменных |
, то фазовое пространство будет –мерным, а если только две (система второго порядка), то фазовое пространство превращается в фазовую плоскость.
Рассмотрим поведение автономной линейной системы, описываемой уравнением второго порядка
. (2.2)
Обозначим скорость изменения координаты , т.е. , через . Тогда уравнение (2.2) примет вид
, .
Исключим из последней системы время t, разделив первое уравнение на второе:
. (2.3)
Решение уравнения (2.3) определяет семейство кривых на фазовой плоскости, которое называют фазовым портретом системы. При этом возможны шесть типовых случаев изображения портретов систем в зависимости от корней характеристического уравнения системы:
(2.4)
1. Корни вещественные отрицательные при , , (система устойчивая, апериодический монотонный процесс) (рис. 2.2).
Рис. 2.2
2. Корни вещественные положительные при , , (система неустойчивая, монотонный расходящийся процесс) (рис. 2.3).
Рис. 2.3
3. Корни комплексные, вещественные части отрицательные при , , (система устойчивая, процесс колебательный сходящийся) (рис. 2.4).
Рис. 2.4
4. Корни комплексные, вещественные части – положительные при , , (система неустойчивая, процесс колебательный расходящийся) (рис. 2.5).
Рис. 2.5
5.Корни чисто мнимые при , . (в система колебательная граница устойчивости процесс незатухающий колебательный) (рис. 2.6).
Рис. 2.6.
6. Корни вещественные с разными знаками при (система сначала стремится к устойчивому значению, а затем попадает в область неустойчивости, процесс апериодический расходящийся) (рис. 2.7).
Рис. 2.7
Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию системы на основании (2.3) имеем: , т.е. наклон касательных к фазовым траекториям не определен. Такие точки называют особыми точками. Для рассмотренных шести случаев, особые точки называют соответственно: устойчивым узлом – (рис. 2.2), неустойчивым узлом – рис. 2.3, устойчивым фокусом – рис. 2.4, неустойчивым фокусом – рис. 2.5, центром – рис. 2.6, седлом – рис. 2.7.
Отметим общие свойства фазовых траекторий:
1) через всякую точку фазовой плоскости, за исключением особых точек, проходит единственная фазовая траектория, это означает, что фазовые траектории не пересекаются между собой;
2) в верхней фазовой полуплоскости при возрастании времени t изображающая точка движется слева направо, в нижней полуплоскости движение происходит справа налево.
3) в точках, где = 0, 0 (неособых точках на оси абсцисс), фазовые траектории пересекают ось под прямым углом.
Фазовые портреты нелинейных систем. В нелинейных системах, как правило, существуют несколько особых точек. Возможны их самые различные комбинации. В связи с этим для определения характера движения системы необходимо строить фазовый портрет НСАУ. При этом каждая нелинейная система имеет собственный фазовый портрет.
Выделим основные особенности фазовых портретов нелинейных систем: нелинейные системы в отличие от линейных могут иметь несколько особых точек, в том числе и бесчисленное множество; в нелинейных системах существуют замкнутые кривые – предельные циклы, к которым сходятся или от которых расходятся все остальные фазовые траектории.
Все фазовые портреты можно классифицировать по типу предельного цикла. Рассматривают три типа предельных циклов.
1. Устойчивый предельный цикл: к нему стремятся все соседние фазовые траектории.
В системе существует установившиеся устойчивые незатухающие колебания (автоколебания). При больших начальных условиях колебания затухают, и система ведет себя как устойчивая. При начальных условиях внутри цикла колебания расходятся, что соответствует неустойчивому движению. Говорят, что система «устойчива в большом и неустойчива в малом» (рис. 2.8). В инженерной практике по виду предельного цикла можно определить амплитуду и частоту автоколебаний.
Рис. 2.8. Устойчивый предельный цикл
2. Неустойчивый предельный цикл: в него входят все соседние траектории. В системе никогда не будет установившихся колебаний, так как при наличии сколь-нибудь малых возмущений они гаснут, либо расходятся, если лежат за переделами цикла. Система «неустойчива в большом и устойчива в малом» (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Неустойчивый предельный цикл
3. Полуустойчивый предельный цикл. С одной стороны к нему стремятся соседние фазовые траектории, с другой стороны сходят. Возможны два варианта: полуустойчивый предельный цикл в сторону устойчивости (рис. 2.10, а ), когда движение всегда устойчиво, так как при любых рассогласованиях система придет в особую точку – начало координат и полуустойчивый предельный цикл в сторону неустойчивости (рис. 2.10,б), движение всегда неустойчиво, так как при любых начальных отклонениях процессы расходятся.
Рис. 2.10. Полуустойчивый предельный цикл:
а – в сторону устойчивости, б – в сторону неустойчивости
При построении фазовых портретов используют методы решения уравнений по участкам, изоклин, Льенара, –метод.
Метод решения уравнений по участкам. Поясним этот метод на примере. Пусть НСАУ имеет структуру, приведенную на рис. 2.11.
Рис. 2.11
Дифференциальное уравнение системы Обозначим . Тогда или
(2.5)
Рассмотрим участок, соответствующий зоне нечувствительности, где . Из (2.5) Так как , то и или , откуда
. (2.6)
На участке, где , дифференциальное уравнение После подстановки получим откуда Возьмем интеграл от обеих частей последнего равенства и преобразуем правую часть: откуда
Окончательно
(2.7)
Участок, где , исследуется аналогично. Получаются уравнения, симметричные рассмотренным.
Фазовый портрет, построенный по полученным выражениям имеет вид, приведенный на рис. 2.12, а примерная кривая процесса соответствует рис. 2.13.
|
Рис. 2.12. Фазовый портрет НСАУ |
Рис.2.13. Кривая процесса НСАУ |
Метод изоклин. Пусть , где С – наклон фазовой траектории на плоскости .
Если на фазовой плоскости выбрать точки, которым соответствует один и тот же наклон , то соединив их, можно получить линию, называемую изоклиной (изоклина – это геометрическое место точек на фазовой плоскости, соответствующих одному постоянному значению наклона интегральных кривых), а множество линий для разных значений – семейство изоклин (штриховые линии на рис. 2.14). Уравнение изоклин
. (2.8)
|
Построение фазовой траектории осуществляется так (рис. 2.14): строят изоклины; далее из начальной точки проводят два луча с наклонами и до пересечения со следующей изоклиной; отрезок, отсекаемый ими на следующей изоклине делят пополам, точка будет исходной точкой для следующего построения. |
Рис. 2.14. Построение фазовой траектории |
Таким образом, фазовая траектория – это линия, проходящая через средние точки. Точность построения тем выше, чем больше изоклин.
Проиллюстрируем эту методику построением фазового портрета для системы из предыдущего примера.
Для участка откуда уравнение изоклин (рис. 2.15, ).
Рис. 2.15. Построение фазового портрета методом изоклин
Для участка откуда Аналогично получается уравнение изоклин и для последнего участка.
Сравнение рис. 2.12 и рис. 2.15 показывает, что результаты совпали.
Метод Льенара. Этот метод применяется в том случае, когда свободное движение описывается уравнением вида:
. (2.9)
Наклон на фазовой плоскости определяется как
. (2.10)
Льенар предложил на фазовой плоскости строить кривую , а затем определять направление движения траектории согласно следующему алгоритму:
Для увеличения точности построения фазовых траекторий дуги окружности рекомендуется выбирать минимальной длины.
Рис. 2.16. Построение фазового портрета методом Льенара
К методу Льенара близок -метод построения фазовых портретов, который также основан на построении окружностей, отрезки дуг которых составляют фрагменты фазовых траекторий, В отличие от метода Льенара -метод позволяет исследовать процессы в системах с изменяющимися во времени коэффициентами, а так же вынужденные движения.
Пусть структурная схема НСАУ имеет вид, приведенный на рис. 2.17.
Рис. 2.17. Структурная схема НСАУ с насыщением
В режиме свободного движения , и, следовательно, .
Передаточная функция линейной части системы . Дифференциальное нелинейное уравнение системы .
Заменяем на и на , получим ,
где
Нелинейная система в данном случае будет описываться системой уравнений:
Разделив правую и левую части уравнений на , и обозначив , запишем систему уравнений в виде:
Разделив правую и левую части на K и обозначив , получим
Введем новую переменную , тогда
(2.11)
Таким образом, математическая модель нелинейной системы с насыщением описывается системой дифференциальных уравнений в безразмерных величинах.
Исследуем динамику системы (2.11) методом изоклин. Заменим , тогда структурная схема принимает вид, изображенный на рис. 2.11.
Рис. 2.18. Структурная схема НСАУ, описанная системой (2.11)
Составим уравнения изоклин для двух случаев.
, .
Обозначаем , тогда . Для построения изоклин обозначим и подставляем в предыдущее уравнение. Окончательно получим , откуда
. (2.12)
2. Для нелинейных областей (вывод уравнений аналогичен предыдущему)
, (2.13)
Для упрощения расчетов примем . Результат построения фазового портрета системы представлен на рис. 2.19.
Рис. 2.19. Фазовый портрет НСАУ с насыщением
Анализ фазовых траекторий показывает, что насыщение элементов системы приводит к увеличению длительности переходного процесса, так как скорость движения на различных участках траектории ограничена, с другой стороны в системе уменьшается перерегулирование.
Пусть структурная схема системы имеет вид, приведенный на рис. 2.20.
Рис. 2.20. Структурная схема НСАУ с насыщением и местной обратной
связью по скорости
Согласно схеме где .
В режиме свободного движения , , и и исходную систему можно представить в соответствии с рис. 2.21.
Рис. 2.21. Преобразованная структурная схема НСАУ
Перейдем по рассмотренному в пункте 2.3 алгоритму к структурной схеме, описываемой безразмерными переменными (рис. 2.22).
Рис. 2.22. Преобразованная структурная схема НСАУ
Запишем дифференциальные уравнения НСАУ с обратной связью по передаточной функции . Учитывая, что и , получим:
(2.14)
Уравнения для построения фазовых траекторий методом изоклин в линейной области:
, (2.15)
в областях насыщения:
. (2.16)
Из полученных уравнений видно, что стыковку изоклин необходимо осуществлять на линиях переключения, описываемых уравнениями:
(2.17)
Некоторые результаты расчетов:
Фазовый портрет приведен на рис. 2.23.
Сопоставляя результаты исследования динамики системы с ОС по скорости с результатами исследования без ОС можно сделать вывод: коэффициент усиления в цепи ОС по скорости можно подобрать так, что в переходном процессе будет отсутствовать перерегулирование, а время переходного процесса будет минимальным.
Подобные результаты были положены в основу построения позиционных систем управления, которые широко распространены в современной технике.
Рис. 2.23. Фазовый портрет НСАУ с насыщением и местной обратной
связью по скорости
Учитывая, что построим структурную схему позиционной системы (рис. 2.24):
Рис. 2.24. Структурная схема позиционной системы
Пусть в некоторый момент времени на вход подано воздействие достаточно большой величины. Учитывая, что система находилась в состоянии покоя в начальный момент времени, сигналы в цепях ОС по положению, по скорости и ускорению равны нулю. В этом случае усилители У1, У2 оказываются в насыщении, У3 выполняет роль регулятора ускорения. По мере движения системы сигнал ОС по скорости возрастает и когда достигает определенного уровня, У2 выходит из насыщения. Затем на очень коротком отрезке времени сигнал на выходе У2 оказывается равным нулю, следовательно ускорение равно нулю, а скорость достигла своего максимального значения. При дальнейшем движении возрастает сигнал и достигает значения, при котором У1 выходит из насыщения. В этот момент и усилитель У2 снова оказывается в насыщении, но с обратным знаком. Система переходит в режим торможения. Скорость движения снижается и когда ошибка рассогласования на входе У1 станет равной нулю, то и скорость равна нулю, система пришла в точку позиционирования (рис. 2.25).
Рис. 2.25. Графики изменения во времени выходной координаты ,
ее скорости и ускорения
Для улучшения динамических свойств систем в контур управления часто включают элементы, обладающие релейными характеристиками. Рассмотрим структуру простейшей системы (рис. 2.26).
Рис. 2.26. Структура релейной системы
На схеме , , , . Запишем уравнения согласно структурной схеме:
(2.18)
(2.19)
. (2.20)
Интегрируя (2.18) и (2.19), находим:
, (2.21)
(2.22)
Полагая , построим в соответствии с (2.20 – 2.22) графики , и (рис. 2.27).
Рис. 2.27
Отметим, что площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, величина постоянная и равна единице, так как .
Иная кривая, не может проходить выше в силу условия , при этом – максимальная допустимая скорость.
Поясним физический смысл рис. 2.27. В начальный момент времени при к двигателю прикладывается напряжение, при котором он развивает полный момент и начинает разгоняться. В момент прикладывается обратное напряжение и двигатель начинает тормозить. Если правильно рассчитать , то процесс будет апериодическим, без ошибок, с минимальными затратами по времени. Приведенные характеристики являются идеализированными, так как трудно анализировать момент окончания переходного процесса и обеспечить равенство и .
Докажем, что является действительно минимальным. Действительно, из уравнения , где , находим .
Допустим теперь, что . Тогда .
Следовательно, действительно является минимальным (), а такая система – оптимальной по быстродействию.
Дальнейшее исследование динамики релейной системы продолжим
при помощи метода изоклин на фазовой плоскости. Разделим (2.18) на (2.19): , где , следовательно и после
интегрирования
, (2.23)
где С – постоянная интегрирования.
По этому уравнению построим семейство парабол для разных значений и (рис. 2.28).
При Через точку проводим параболу при . Из рис. 2.28 видно, что после перемещения системы из начального состояния в конечное , движение не заканчивается, так как в системе возникают автоколебания.
Рис. 2.28. Фазовый портрет релейной системы
Из теории линейных систем известно, что динамические свойства можно улучшить, если в сигнал управления ввести дополнительный сигнал, пропорциональный первой производной (т.е. ввести обратную связь по скорости). Используем этот метод для того, чтобы исключить автоколебания. Структурная схема системы примет вид (рис. 2.29).
Рис. 2.29. Структура релейной системы с обратной связью по скорости
Этой структуре соответствуют следующие соотношения:
(2.24)
а уравнение линии переключения имеет вид: , откуда
. (2.25)
Фазовый портрет системы представлен на рис. 2.30.
Изменяя значение , можно подобрать его таким, чтобы парабола
при проходила через начало координат (точка А на линии переключении при начальном условии ), тогда переходный процесс в системе
будет монотонный, апериодический, а время переходного процесса – минимальным, другими словами режим работы системы будет оптимальным по
быстродействию.
Рис. 2.30. Фазовый портрет линейной системы с обратной связью
Рис. 2.31. Скользящий режим в релейной системе с обратной связью
В том случае, когда в точке переключения реле угол наклона линии переключения становится равным наклону или меньше угла наклона касательной к фазовой траектории, по которой движется изображающая точка после переключения реле, возникают условия существования скользящего режима.
Скользящим режимом называется режим работы релейной системы, характеризующийся колебательным движением изображающей точки вдоль линии переключения с высокой частотой и малой амплитудой.
Пусть начальное состояние системы задано точкой (рис. 2. 31), от которой изображающая точка перемещается по фазовой траектории типа 1 до встречи с линией переключения в точке С. В этой точке происходит переключение реле и изображающая точка перемещается по фазовой траектории типа 2 до точки Д. В точке Д происходит переключение реле в другую сторону, после чего изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 1. Как только снова увеличится результирующий сигнал обратной связи, произойдет переключение реле и изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 2 и т.д. Таким образом, изображающая точка, достигнув точки Д, непрерывно перемещается к началу координат, как бы «скользя» вдоль линии переключения.
Как видно из рис. 2.31, скользящий режим на участке АВ. При начальном положении изображающей точки после ее прихода по траектории типа 1 в точку на линии переключения Е сразу начинается скользящий режим. При начальном положении изображающей точки скользящий режим имеет место после переключения реле в точке Н, когда изображающая точка скользит по линии переключения в четвертом квадранте.
Быстрое движение по линии скольжения обуславливает следующие особенности, характерные для нелинейных систем: возможность получения с использованием релейного регулятора гораздо меньшего времени переходного процесса, чем, например, при использовании стандартного ПИД–регулятора; возможность получения практически конечного времени переходного процесса (времени достижения заданного состояния).
Отметим, что на практике всегда реализуется режим, близкий к скользящему, отличающийся от истинно скользящего конечной частотой переключения. В самом деле, релейный элемент не может переключаться с бесконечной частотой вне зависимости от его реализации: аппаратной (реле), электронной (электронная ключевая схема) или программной.
По А.М. Ляпунову невозмущенное движение (движение по автономной системе) устойчиво, если при малом можно указать такое , что если движение начинается в сфере , то будет протекать внутри (рис. 3.1).
|
Рис.3.1 |
Другими словами, с течением времени все фазовые траектории "стягиваются" к началу координат. При неустойчивых движениях фазовые траектории расходятся или вырождаются в предельный цикл. Положение равновесия называют асимптотически устойчивым, если при движении из начальных условий выполняется условие: |
3.1. Исследование устойчивости нелинейных систем по
линейному приближению
Пусть нелинейная автономная САУ описывается уравнением .
Разложим в ряд Тейлора и пренебрежем членами разложения выше первой степени:
(3.1)
Обозначив матрицу коэффициентов через , получим:
(3.2)
Уравнение (3.2) соответствует описанию линейной автономной системы.
Согласно теореме, доказанной А.М. Ляпуновым, если линеаризованная система устойчива, то исходная нелинейная система будет также устойчива (асимптотически "в малом", т.е. в малой области вокруг положения равновесия). При неустойчивости линеаризованной системы, нелинейная система неустойчива. Если линеаризованная система находится на границе устойчивости, то надо дополнительно исследовать нелинейную САУ.
Пример 3.1. Пусть нелинейная САУ описывается системой уравнений в пространстве состояний: Необходимо определить ее устойчивость. Запишем уравнения равновесия откуда одна из точек равновесия . Линеаризуем НСАУ в окрестности этой точки.
В матричном виде: , где .
Характеристическое уравнение системы будет а его корни
Так как один корень нулевой, то об устойчивости нелинейной САУ ничего нельзя сказать.
Этот метод позволяет судить об устойчивости НСАУ без решения дифференциальных уравнений.
А. М. Ляпунов вводит функцию (функцию Ляпунова) со следующими свойствами.
Функция переменных состояния называется положительно определенной в области D, если она положительна для любых значений переменных из этой области и обращается в 0 только в начале координат:
(3.3)
Функция называется отрицательно определенной, если
(3.4)
Полная производная функции Ляпунова :
(3.5)
При этом так как .
А. М. Ляпуновым сформулированы и доказаны две теоремы.
Теорема 1. Состояние равновесия системы является асимптотически устойчивым, если для положительно определенной функции ее полная производная есть отрицательно определенная функция:
(3.6)
Теорема 2. Состояние равновесия системы неустойчиво, если
(3.7)
Пример 3.2. С помощью второго метода Ляпунова оценить устойчивость системы:
Выберем функцию Ляпунова:
Полная производная функции Ляпунова в нашем случае
Так как , то система устойчива и функция Ляпунова выбрана удачно.
Отметим, что теоремы Ляпунова дают лишь достаточные условия. Кроме того функцию Ляпунова подобрать непросто и она не единственная.
Будем анализировать НСАУ, представленную на рис. 3.2, а. До сих пор рассматривались нелинейности с фиксированными нелинейными характеристиками. Реально они находятся в секторе (рис. 3.2, б). При этом невозмущенное движение нелинейной САУ абсолютно устойчиво, если оно устойчиво при любой нелинейной характеристике класса .
Румынский ученый В. М. Попов предложил метод, суть которого сводится к следующему. Для того, чтобы невозмущенное движение НСАУ было абсолютно устойчиво в угле достаточно, чтобы существовало такое действительное число , при котором для всех выполняется неравенство:
, (3.8)
где а – АФЧХ линейной части системы.
Рис.3.2. К частотному анализу НСАУ методом В. М. Попова:
а – структура системы, б – характеристика нелинейного элемента
Рассмотрим геометрическую интерпретацию этого метода.
Введем , тогда . При этом называется видоизмененной АФЧХ.
Условие устойчивости с учетом принятых ограничений будет:
(3.9)
На плоскости проводится прямая
(3.10)
(при ; при ), называемая прямой Попова.
В соответствии с (3.9) НСАУ устойчива, если лежит правее прямой Попова (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Геометрическая интерпретация критерия В.М.Попова
Пример 3.3. Пусть структура НСАУ соответствует рис. 3.2, а и передаточная функция линейной части . Исследовать устойчивость НСАУ с помощью критерия В. М. Попова.
При условие устойчивости в соответствии с (3.9) будет Окончательно Это соотношение выполняется при в угле .
Метод гармонической линеаризации нелинейностей относится к приближенным методам расчета нелинейных систем. Он применяется для исследования условий возникновения и определения параметров автоколебаний, анализа и оценки их устойчивости, а также для исследования вынужденных колебаний систем различной сложности.
Пусть нелинейная система имеет структуру, представленную на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Структура НСАУ: – нелинейная характеристика, и
– полиномы, соответствующие числителю и знаменателю передаточной функции линейной части системы
Предполагают, что (режим свободного движения) и в системе существуют свободные колебания , где и – их неизвестные амплитуда и частота.
При исследовании НСАУ могут быть сформулированы две основные задачи:
Для решения поставленных задач осуществляют гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики в виде:
. (4.1)
где – комплексный коэффициент преобразования нелинейного элемента или коэффициент гармонической линеаризации.
Если на вход нелинейного элемента подаются свободные гармонические колебания , то на выходе нелинейного элемента будет периодический, но не гармонический сигнал, который можно разложить в ряд Фурье:
, (4.2)
где – коэффициенты Фурье:
(4.3)
Нелинейный элемент работает в замкнутом контуре с линейным, который представляют собой, по сути, фильтр низких частот, поэтому при увеличении линейные элементы подавляют высшие гармоники. На практике ограничиваются составляющими ряда при , т.е. пренебрегают второй и более высокими гармониками.
Если предположить, что нелинейные характеристики симметричны относительно начала координат, то .
В силу отмеченных допущений имеем
(4.4)
где
Запишем полученное выражение в виде: , обозначим , . Тогда
. (4.5)
Структура гармонически линеаризованной НСАУ будет иметь вид, представленный на рис. 4.2.
Рис. 4.2.
Уравнение свободного движения этой системы:
(4.6)
Заметим, что если нелинейность однозначная (нечетно-симметричная), то , а . Если нелинейность неоднозначная, то присутствуют обе составляющих .
Приведем характеристики некоторых нелинейностей.
Идеальное реле (рис. 4.3).
. (4.7)
Рис. 4.3. Характеристики идеального реле:
а – зависимость , б – зависимость , в – зависимость
Элемент с насыщением (рис. 4.4).
. (4.8)
Рис. 4.4. Характеристики элемента с насыщением:
а – зависимость , б – зависимость , в – зависимость
Элемент с зоной нечувствительности (рис.4.5).
. (4.9)
Рис. 4.5. Характеристики элемента с зоной нечувствительности:
а – зависимость , б – зависимость , в – зависимость
Реальное двухпозиционное реле (рис. 4.6).
(4.10)
Рис. 4.6. Характеристики реального двухпозиционного реле:
а – зависимость , б – зависимость , в – зависимости и
Анализ этих графиков показывает, что с увеличением амплитуды входного сигнала крутизна линеаризованной характеристики падает. Сдвиг по фазе выходного сигнала относительно входного в неоднозначных нелинейностях отрицателен (), при он уменьшается, так как относительная ширина петли уменьшается.
Амплитуда и фаза первой гармоники на выходе нелинейного элемента
будут:
(4.11)
(4.12)
Согласно структурной схеме (рис. 4.2) характеристическое уравнение нелинейной системы:
,
откуда
. (4.13)
Аналитический метод предполагает, что на основании уравнения (4.13) необходимо записать действительную и мнимую части :
(4.14)
Получаем два уравнения с двумя неизвестными, совместное решение которых позволяет определить и .
Этот метод ограничивается исследованием систем не выше четвертого порядка, причем для простейших коэффициентов гармонической линеаризации нелинейных элементов .
Обычно в аналитическом методе определяют зависимость и от коэффициента усиления системы или от постоянной времени , т.е. решают вторую из поставленных задач в виде , где П – один из внутренних параметров системы. Для нахождения зависимости анализируют систему уравнений
(4.15)
Полученный результат может при определенных условиях иметь вид, представленный на рис. 4.7.
Рис. 4.7.
При построении возникает ситуация колебаний на одной частоте (), но с двумя разными амплитудами и . С точки зрения физического смысла это означает, что одно из решений будет неустойчиво.
Характеристическое уравнение запишем в виде:
(4.16)
или
(4.17)
Для определения параметров и необходимо построить в соответствии с (4.16) АФЧХ линейной части системы и график правой части, т.е. обратную характеристику НЭ со знаком «минус» (рис. 4.8) или в соответствии с (4.17) обратную АФЧХ линейной части со знаком «минус» и характеристику нелинейного элемента (рис. 4.9). Равенство будет выполняться тогда, когда кривые пересекаются. Точки пересечения – искомое решение задачи. Точек пересечения графиков может быть одна, две, возможно и больше.
Если характеристики не пересекаются, то периодические процессы в НСАУ не возникают.
При наличии точек пересечения частота периодических движений определяется по АФЧХ линейной части, а амплитуда – по характеристике нелинейного элемента.
Первый способ определения параметров периодических движений называется способам Гольдфарба (рис. 4.8). При оценке устойчивости периодических движений используют такое правил : если при движении по характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение АФЧХ линейной части «изнутри наружу», то в этой точке будут автоколебания, в противном случае колебания неустойчивы. На рис. 4.8 точка 1 соответствует устойчивым колебаниям (автоколебаниям), точка 2 – неустойчивым.
Второй способ называется способом Коченбургера (рис. 4.9). В этом случае оценка устойчивости периодических движений производится по правилу: если при движении по характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение обратной АФЧХ линейной части «снаружи внутрь», то в этой точке будут автоколебания, в противном случае – нет. На рис. 4.9 точка 1 соответствует автоколебаниям, точка 2 – неустойчивым колебаниям.
|
Рис. 4.8. Иллюстрация способа Гольдфарба |
Рис. 4.9. Иллюстрация способа Коченбургера |
В линейных системах частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающего внешнего воздействия, амплитуда вынужденных колебаний в установившемся режиме связана с амплитудой внешнего гармонического воздействия линейной зависимостью, устойчивость вынужденных колебаний определяется только свойствами системы и не зависит от параметров внешнего вынуждающего воздействия.
В нелинейных же системах вынужденные колебания характеризуются следующими свойствами:
Предположим, что система описывается нелинейным дифференциальным уравнением
. (5.1)
Пусть (в системе отсутствуют потери энергии, т. к. – характеризует затухание процесса), а решение уравнения (5.1), если и заданы, отыскивается в виде .
Амплитуду A и частоту вынужденных колебаний необходимо определить, но в общем случае строят следующие зависимости: .
Для решения задачи сначала определяют первую и вторую производные от :
(5.2)
Пусть характеристика НЭ имеет вид:
, (5.3)
где – некоторый параметр НЭ. Знак «плюс» выбирается, если НЭ имеет зону нечувствительности, «минус», если – насыщение.
Найдем значение . Поскольку величина третьей гармоники мала,
. (5.4)
Подставив найденные значения в исходное уравнение, запишем и, сократив левую и правую части этого выражения на , получим уравнение Дуффинга:
. (5.5)
Решить это уравнение можно графически. Для этого представим (5.5) в виде и обозначим левую часть через , правую через .
Построим график левой и правой частей (рис. 5.1) и найдем зависимости при , при .
Рис. 5.1
При изменении частоты график прямой вращается. Это дает возможность проследить за точками пересечения кривых при изменении частоты и построить зависимость (рис. 5.2).
Рис. 5.2.
В реальных системах присутствуют потери мощности . В этом случае АЧХ для различных значений параметра имеют вид рис. 5.3.
Рис. 5.3
При возрастающей частоте и амплитуда возрастает на интервале , на несколько уменьшается и скачком принимает значение , затем снова убывает на . При уменьшении частоты амплитуда возрастает на интервале , затем скачком переходит в и снова убывает на . Это явление получило название скачкообразного резонанса.
Чтобы построить амплитудную зависимость , необходимо построить нелинейную характеристику и семейство прямых , при различных значениях . Изменяя значения параметра , определяют точки пересечения семейства кривых и , по которым строят искомый график зависимости (рис. 5.4).
Рис. 5.4. , так как характеристика симметрична при
Задача Дуффинга может быть решена при исследовании вынужденных колебаний нелинейных систем второго порядка вида (5.1). Если порядок системы превышает второй, то применяют метод эллипса, когда НЭ находится в канале ошибки или метод Гольдфарба, когда НЭ находится в цепи ОС.
Пусть нелинейная система имеет структуру (рис. 5.5).
Рис. 5.5
В этой системе нелинейный элемент включен в канал ошибки. Будем считать, что характеристика нелинейного элемента однозначна.
Запишем выражение АФЧХ замкнутой системы по ошибке
При получим
. (5.6)
Рассмотрим квадраты модулей сигнала ошибки и входного сигнала :
,
,
тогда
. (5.7)
Обозначим левую и правую части выражения (5.7) через и , где – нелинейная характеристика, – уравнение эллипса. При изменении частоты , эллипс поворачивается вокруг начала координат, а при изменении амплитуды входного сигнала оси эллипса не изменяют своего положения, но значения их как в первом так и во втором случае изменяются, что позволяет строить зависимости .
Таким образом, чтобы получить зависимость при , необходимо выполнить построения, приведенные на рис. 5.6.
Рис. 5.6.
В общем случае характер кривой зависит от типа НЭ. Рассмотренный пример относится к НЭ типа насыщения.
Второй случай для и представлен на рис. 5.7.
Рис. 5.7.
Графики зависимостей, как правило, имеют зону неустойчивых решений, в которых необходимо проводить дополнительные исследования для определения устойчивости полученных результатов. Для НСАУ в этой области значений характерно возникновение скачкообразных резонансов, которые могут быть устранены путем коррекции параметров исходной системы.
Этот метод применяется к нелинейным системам с вынужденными колебаниями, где нелинейный элемент включен в цепь обратной связи.
Предположим, что структурная схема нелинейной системы имеет вид рис. 5.8.
Рис. 5.8.
Уравнение движения такой системы .
Пусть . Решение будем отыскивать в виде , где – фазовый сдвиг.
Согласно структурной схеме или
. (5.8)
где и – параметры внешнего гармонического воздействия.
Надо определить амплитуду и сдвиг фазы вынужденного
колебания. Для решения поставленной задачи осуществляют следующие
преобразования.
Приводят входной сигнал к виду выходного:
Преобразуют полученное выражение, умножив и разделив его первое слагаемое на , а второе на , и приняв во внимание, что , . Тогда
. (5.9)
где , – основание натурального логарифма.
Гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики осуществляют в виде . Подставляя (5.9) в (5.8) получают
(5.10)
Соотношение (5.10) называют уравнением Гольдфарба. Поскольку это уравнение трансцендентное, то решить его относительно и не удается, поэтому изменяют постановку задачи: полагают, что известны и , а необходимо определить частоту и фазовый сдвиг для всех значений амплитуд. Таким образом, необходимо на комплексной плоскости построить характеристики и (рис. 5.9, а). Затем для каждого заданного значения строить окружности радиусом при . Центр этих окружностей будет лежать на кривой в точках . Точки пересечения этих окружностей с характеристикой дают искомую зависимость (рис. 5.9, б). Отсутствие решения – неустойчивые процессы системы.
Рис. 5.9
Чтобы построить зависимость при , уравнение Гольдфарба записывают в виде:
. (5.11)
На комплексной плоскости строится кривая, соответствующая левой части уравнения и семейство окружностей с различными радиусами . Центр окружностей лежит в начале координат, точки пересечения с кривой соответствуют искомой зависимости (рис. 5.10).
Рис. 5.10
Рассмотренные до сих пор переходные процессы в нелинейных системах часто носили качественный характер, поскольку время в явном виде не фигурировало. Для количественной оценки качества переходного процесса необходимо построить зависимость .
Пусть фазовая траектория системы имеет вид, приведенный на рис. 6.1, а.
Возьмем начальную точку . Разобьем ось на участки (чаще всего равные) . Значение Если интервалы малы, то можно считать, что на интервале скорость изменения координаты неизменна и определяется средней величиной
(6.1)
Отсюда
(6.2)
(6.3)
Естественно, отрезки в общем случае будут различными по величине. Точность построения зависит от величины интервалов разбиения оси на участки. Кривая переходного процесса в данном случае представлена на рис. 6.1, б.
Рис. 6.1. Построение переходного процесса по фазовой траектории:
а – фазовая траектория, б – кривая
Рассмотрим колебательное звено второго порядка. В линейном звене свободные движения (при ) соответствуют характеристическому уравнению , корни которого . Эти движения определяются выражением
, (6.4)
причем , так как показатель колебательности .
В нелинейном звене и , поэтому
. (6.5)
В связи с этим коэффициенты гармонической линеаризации в общем случае будут функциями Выражение (4.15) с учетом этого примет вид:
(6.6)
По этим выражения строят диаграммы качества нелинейных колебаний. Это семейства линий и на плоскости , где параметр, например, коэффициент усиления системы.
Для этого построения из первого уравнения (6.6) выделяют и подставляют во второе, получают . Придавая постоянные значения, строят семейство, показанное на рис. 6.2, а. Затем, подставляя в , исключают и получают рис. 6.2, б.
Отметим, что для линейных САУ линии на рис. 6.2 вертикальны.
Из рис. 6.2, а следует, что при можно найти амплитуду автоколебаний (для точки амплитуда ). Слева от заштрихованной линии –затухающие колебания, справа – расходящиеся.
Если зафиксировать параметр , то переходному процессу соответствует движение изображающей точки по вертикали.
Если параметр соответствует точке (затухающие колебания), то переходный процесс будет от начальной точки с амплитудой до .
Если же соответствует точке , то характер процесса зависит от выбора начальных условий. Если это точка , то колебания расходятся до автоколебаний. Если это точка , то колебания затухают до автоколебаний. В обоих случаях амплитуда автоколебаний будет .
При этом частота изменяется в соответствии с графиком по вертикали. На рис. 6.3, б линии соответствуют монотонные переходные процессы.
Рис.6.2
На основании этих рассуждений можно приближенно оценить переходной процесс, определив при огибающую и частоту колебаний.
Из графика на рис. 6.2, а определяют , а из рис.6.2, б – .
Огибающую можно построить, используя свойство экспоненты, заключающееся в том, что длина подкасательной равна постоянной времени (рис. 6.3).
Рис.6.3
Аналогично оценивается и период колебаний: и т.д.
Окончательно зависимость имеет вид рис. 6.4.
Рис.6.4.
При расчетах переходных процессов рассмотренными методами возникают трудности, связанные с громоздкими построениями и невысокой точностью. Кроме того, наличие в системе нескольких нелинейностей усложняет решение задачи. Существенные ограничения накладывает порядок системы и необходимость вариации величины и характера внешних воздействий. От этих недостатков в значительной степени свободен метод компьютерного моделирования процессов.
Рассмотрим систему, структура которой приведена в примере 5.1 на рис. 5.3, а ( учитывать не будем). Выполним исследование системы при подаче на вход гармонического воздействия. Будем считать, что усилитель имеет характеристику типа «насыщение».
Схема моделирования системы в SIMULINK изображена на рис. 6.5.
Рис. 6.5. Схема моделирования нелинейной системы в SIMULINK
Нелинейный элемент представлен звеном, имеющим коэффициент
усиления в линейной зоне, равный единице. При моделировании исследовано влияние величины нелинейного элемента на характер ошибки при
гармоническом воздействии и переходной процесс системы при случайном воздействии.
При подаче на вход системы сигнала осциллограммы выходного сигнала изображены на рис. 6.6. Рис. 6.6, а соответствует значению , при котором НЭ не входит в насыщение, при этом ошибка . Рис. 6.6, б соответствует значению, при котором начинает сказываться насыщение. Выходной сигнал отличен от синусоиды, ошибка ; рис. 6.6, в соответствует – НЭ входит в глубокое насыщение.
При подаче на вход системы сигнала при значении , нелинейный элемент не входит в насыщение, переходной процесс и ошибка соответствуют линейной системе рис. 6.7, а. При , нелинейный элемент входит в насыщение; переходной процесс затягивается рис. 6.7, б. При дальнейшем уменьшении НЭ входит в глубокое насыщение, система становится «вялой», возрастает, перерегулирование уменьшается рис. 6.7, в.
|
а |
б |
в |
Рис. 6.6.
|
а |
б |
в |
Рис. 6.7.
При синтезе нелинейных систем кроме классических задач коррекции систем автоматического управления по точности, качеству, устойчивости, решаются две специфические задачи – подавление автоколебаний или организация в системе свободных колебаний с определенной амплитудой и частотой.
Для их решения применяются цепи обратной связи, обратные нелинейные характеристики, специально организованные гармонические сигналы, вибрационная линеаризация нелинейных, характеристик другие методы.
Рассмотрим метод подавления автоколебаний, основанный на введении обратной связи, охватывающей нелинейный элемент и часть линейной системы (рис. 7.1).
Рис. 7.1.
Проанализируем, когда в системе автоколебания невозможны. С этой целью запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:
, (7.1)
где – гармонически линеаризованный коэффициент усиления нелинейного элемента.
Воспользуемся критерием устойчивости Гурвица. Для системы третьего порядка , откуда
. (7.2)
Таким образом, если , то в системе автоколебания невозможны. Автоколебания существуют, когда выполняется условие:
. (7.3)
По данному выражению можно построить область устойчивости в интересующих параметрах, задаваясь максимальным значением характеристики нелинейного элемента. Например, для двухпозиционного реле , тогда максимальное значение в выражении (7.3) найдем так:
, , . (7.4)
Область устойчивости в параметрах представлена на рис. 7.2.
Рис. 7.2.
С целью подавления автоколебаний в систему вводят нелинейный элемент с обратной характеристикой (рис. 7.3).
Теоретически идея реализуется так, как показано на рис. 7.3.
Рис. 7.3.
Точно реализовать такую структурную схему сложно. Поэтому на практике используют эквивалентную схему (рис. 7.4).
Рис. 7.4.
На этой схеме – компенсационный регулятор, который, как правило, реализуется на основе микропроцессора.
7.3. Метод вибрационной линеаризации
Вибрационная линеаризация используется для подавления автоколебаний в релейных системах. Предположим, что на вход НСАУ подан гармонический сигнал , причем частота велика настолько, что за период , сигнал практически не изменяет значение коэффициента линеаризации.
На выходе нелинейного элемента, например реле, в таком случае будет присутствовать сигнал
, (7.5)
что показано на рис. 7.5.
Рис. 7.5.
Значение в (7.5) находят из следующих соображений:
, , (7.6)
т.е. , откуда следует, что нелинейный элемент может быть заменен линейной характеристикой , т.е.
(7.7)
При этом, как уже отмечалось при рассмотрении метода гармонической линеаризации, НЭ работает последовательно с линейной частью, которая является фильтром низких частот, и, следовательно, автоколебания на выходе системы можно исключить.
На практике применяют два способа введения дополнительного высокочастотного сигнала .
1) В систему вводится дополнительный генератор, который можно настраивать на нужные значения параметров и (рис. 7.6).
Рис. 7.6.
Недостаток способа – наличие дополнительного генератора, преимущество заключается в том, что при наладке схемы параметры и можно изменять в широких пределах, что дает возможность всегда избегать автоколебаний в системе.
2) В системе организуют собственные колебания процессов путем введения местной обратной связи (рис. 7.7).
Рис. 7.7.
Важной и сложной задачей является определение частоты и амплитуды колебаний. В простейшем случае можно воспользоваться следующими рекомендациями: частота подбирается таким образом, чтобы: за один период колебаний ошибка управления не изменялась; амплитуда выбирается так, чтобы выполнялось соотношение .
Недостаток этого способа – существенное ослабление сигнала ошибки управления.
PAGE 83