Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Свое понимание окружающего мира человек формирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывания могут быть выражены с помощью не только естественных языков, но и формальных.
Пример: Естественный язык - "Два умножить на два равно четыре" , формальный (математический) язык - " 2*2=4 " .
Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.
Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.
Алгебра логики (высказываний) была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.
Пример:
А="Два умножить на два равно четырем"
B="Два умножить на два равно пяти"
Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному - значение 0. В нашем случае первое высказывание истинно (А=1), а второе ложно (В=0).
В алгебре логики (высказываний) высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: "ИСТИНА" (1) или "ЛОЖЬ" (0).
В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок "и", "или", "не".
Логическое умножение (конъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.
Обозначение операции конъюнкции: &, ∧, «и».
Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
Из переведённых ниже четырех высказываний, образованных с помощью операции логического умножения, истинно только четвертое, так как в первых трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний ложно:
2*2=5 и 3*3=10
2*2=5 и 3*3=10
2*2=4 и 3*3=10
2*2=4 и 3*3=9
Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:
F = A ∧ B
C точки зрения алгебры логики мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные A и B, которые могут принимать значение "истина" (1) и "ложь" (2). Сама функция логического умножения F также может принимать лишь два значения "истина" (1) и "ложь" (2).
Таблица истинности функции логического умножения:
|
А |
В |
F = A ∧ B |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Графическое представление логической операции конъюнкции:
На изображении представлены два множества А и В, заштрихованная поверхность - это результат операции конъюнкции.
Логическое сложение (дизъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.
Обозначение операции дизъюнкции: +, ∨, «или».
Составное высказывание, образованное в результате логического сложения, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
Из переведённых ниже четырех высказываний, образованных с помощью операции логического умножения, ложно только первое, так как в последних трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний истинно:
2*2=5 или 3*3=10
2*2=5 или 3*3=10
2*2=4 или 3*3=10
2*2=4 или 3*3=9
Образуем составное высказывание F, которое получится в результате дизъюнкции двух простых высказываний:
F = A ∨ B
C точки зрения алгебры логики мы записали формулу функции логического сложения, аргументами которой являются логические переменные A и B, которые могут принимать значение "истина" (1) и "ложь" (2). Сама функция логического сложения F также может принимать лишь два значения "истина" (1) и "ложь" (2).
Таблица истинности функции логического сложения:
|
А |
В |
F = A ∨ B |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Графическое представление логической операции дизъюнкции:
На изображении представлены два множества А и В, заштрихованная поверхность - это результат операции дизъюнкции.
Логическое отрицание (инверсия)
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.
Обозначение операции инверсия: F = ¬ A, «не».
Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Таблица истинности функции логического отрицания:
|
А |
F = ¬ A |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
Графическое представление логической операции инверсии: