У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Лекция 1 Логические основы цифровой техники

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 18.5.2025

Лекция № 1

Логические основы цифровой техники.

Цифровые устройства по способу функционирования делятся на:

-комбинационные устройства;

-последовательностные устройства (конечные автоматы).

Комбинационные устройства (комбинационные логические схемы) не содержат элементов памяти и их выходные сигналы Fi  определяются совокупностью входных сигналов (a, b, …, z) на данном временном интервале.

Fi=fi(a, b, …, z)

Конечные автоматы содержат элементы памяти и обратные связи, поэтому их выходные сигналы Fij+1 в  j+1 интервале времени зависят, как от совокупности входных сигналов a, b, …, z действующих  на j+1 интервале, так и от их совокупности aj, bj, …,zj на предшествующих временных интервалах .

Fi=fi(aj+1, bj+1, …, zj+1, aj, bj, …,zj )

Цифровые устройства выполняют операции над простыми и сложными высказываниями, принимающих только два значения «истина» и «ложь» или «да» и «нет». В соответствии с булевой алгеброй логики (двоичной алгеброй логики), получившей свое название по имени математика Джорджа Буля (1815-1864 гг.), указанные два значения принято обозначать «1» - логическая единица и «0» - логический ноль.

Каждая двоичная цифра «0» или «1» содержат один бит двоичной информации. Последовательность из восьми бит называется байтом. Четыре бита составляют полубайт.

Часто используемые единицы измерения:

1Кбайт=1024 байт; 1Мбайт=1024 Кбайт=1048576 байт;

1Гбайт=1024 Мбайт1 млрд. байт.

Основные понятия и определения двоичной алгебры логики.

Булева переменная – это переменная, принимающая значения из множества (0,1).

Булева функция – это произвольная функция, которая, как и ее аргументы, принимает значения из множества (0,1).

Множество всех булевых функций называется булевой алгеброй логики.

Логические элементы – это электронные устройства, реализующие простейшие двоичные операции (функции) над входными сигналами согласно правилам алгебры логики.

Наиболее распространено представление «0» и «1» различными уровнями потенциала, так называемая «потенциальная логика».

Различают: положительную логику, в которой логическому «0» соответствует низкий уровень потенциала, а логической «1» - высокий уровень потенциала. В отрицательной логике – наоборот.

Все рассуждения и выкладки будем рассматривать для положительной логики.

Основные операции двоичной алгебры логики.

  1.  Операции логического сложения (дизъюнкция; функция ИЛИ;  англ. «OR») обозначается знаком «+» или «»; может быть введена следующим образом:

F= a+b =

Электромеханическим аналогом является следующая схема:

     

Здесь a и b нормально открытые контакты реле. Ток в нагрузке будет протекать тогда, когда хотя бы один контакт замкнут.

Часто логическая функция задается таблицей истинности, в которой записываются все возможные наборы значений аргументов (входных сигналов) и соответствующие им значения логической функции (выходных сигналов).

Элементы, реализующие функцию логического сложения, называются логическими элементами ИЛИ (дизъюнкторами). Графическое изображение содержит «1».

  1.  Операции логического умножения (конъюнкция; функция И; англ. «AND») обозначается точкой или знаком «/\», либо никак. Определяется следующим образом:

 F=a∙b=

 

   Электромеханический аналог имеет вид:

Здесь a и b нормально открытые контакты реле.

Таблица истинности:

Элементы, реализующие функцию логического умножения, называются логическими элементами И (конъюнкторами). Графическое обозначение в поле прямоугольника содержит знак «&».

3. Логическое отрицание (инверсия; функция НЕ; англ. «NOT») обозначается штрихом или чертой над обозначением аргумента. Вводится следующим образом:

F=ā      F=

Моделью ячейки, реализующей функцию НЕ, может служить нормально закрытый контакт реле, включенный последовательно с нагрузкой.

        Таблица истинности:

              

Логические элементы, реализующие функцию НЕ, называются инверторами.

В графическом обозначении окружность на входе (выходе) логического элемента обозначает инверсию входного (выходного) сигнала.

F2=aлогический повторитель.

Логические выражения (логическая функция).

Логическое выражение – это равенство, в левой части которого записано имя функции, а в правой части дано выражение, содержащее двоичные переменные, соединенные знаками логического умножения, сложения и инверсии.

Используются две формы записи:

  •  ДНФ – дизъюнктивно-нормальная форма, которая представляет собой логическую сумму произведений двоичных переменных:

 

  •  КНФ – конъюнктивная нормальная форма,  логическое произведение логических сумм двоичных переменных.

      

Любая логическая функция может быть представлена в ДНФ или КНФ. При этом может существовать несколько равносильных ДНФ и КНФ.

ДНФ и КНФ форма представления логического выражения, в котором логическая функция может быть записана единственным образом – это:

СДНФ – совершенная ДНФ

СКНФ – совершенная КНФ

Логическое выражение в СДНФ представляет собой логическую сумму минтермов.

Минтерм – это простая конъюнкция, включающая все независимые переменные данной логической функции.

Простая конъюнкция – это логическое проведение, в котором каждая переменная входит один раз в прямом или инверсном виде. Она не должна содержать сумм и отрицаний нескольких переменных.

СКНФ представляет логическое произведение макстермов.

Макстерм – это простая конъюнкция, включающая все независимые переменные данной логической функции.

Простая дизъюнкция – это логическая сумма, в которой каждая переменная входит один раз в прямом либо инверсном виде. Простая дизъюнкция не должна содержать произведений двух и более переменных, либо отрицания суммы нескольких переменных.

Пример 1: логические выражения  

Второе выражение – простая конъюнкция, 1,3 – нет.

Пример 2: даны логические выражения

F1=     - СДНФ выражение

F2=  - ДНФ выражение.

Основные законы и соотношения алгебры логики.

Алгебра логики и ее законы применяются для математического исследования цифровых устройств, их синтеза и структурной минимизации.

  1.  Из определений операций логического сложения и умножения следует:

  а+0=а   а·0=0

  а+1=1   а·1=а

  1.  Закон нулевого множества:

a·b·…·z=0

  1.  Закон универсального множества

1+a+b+…+z=1

  1.  Законы тавтологии (идемпотентности, повторения)

a+a=a     или   a+a+a+….+a=a

a·a=a       или  a·a·a·…·a=a

  1.  Переместительный (коммутативный) закон

a+b=b+a    a·b=b·a

  1.  Сочетательный (ассоциативный) закон

(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c

a·b·c=a·(b·c)=a·b·c

  1.  Распределительный (дистрибутивный) закон

a·(b+c)=ab+ac

a+b·c=(a+b)(a+c)

доказательство: (a+b)(a+c)=aa+ab+ac+bc=a+cb+ac+bc=a(1+b+c)+bc=a+bc

 т.к. 1+b+с=1

  1.  Закон двойного отрицания

  1.  Правило де Моргана (закон отрицания инверсий)

т.е. инверсия дизъюнкции есть конъюнкция инверсий, а инверсия конъюнкции – это дизъюнкция инверсии.

Другая запись правила де Моргана:

Законы отрицания справедливы для любого количества аргументов:

  1.  Закон поглощения

a+ab=a      a(1+b)=a

В, более общем, виде:  a+ab+ac+…+az=a.

Также имеет место другая редакция:

a(a+b)=a      aa+ab=a+ab=a(1+b)=a

В более общем виде: a(a+b)(a+c)….(a+z)=a

  1.  Закон склеивания (распространения)

          

Следствие из данных выражений:

  1.  Закон деортогонизации

Другая редакция имеет вид:

  1.  Закон обобщенного поглощения (теория избыточности).

а) Для ДНФ выражений.

Если ДНФ содержит конъюнкцию, которая входит составной частью в другие конъюнкции этого выражения, то последние являются в нем избыточными и могут быть удалены из выражения без изменения значения.

б) Для КНФ выражений

Если КНФ содержит дизъюнкцию, которая входит составной частью в другие дизъюнкции этого выражения, то последние являются в нем избыточными и могут быть удалены из выражения без изменения ее значения.

Максимальный набор элементарных функций двух переменных.

Основными функциями булевой алгебры логики являются логические функции двух переменных F=f(a,b).

Для двух переменных – число возможных комбинаций значений 22 =4, а количество элементарных двоичных функций -  24 =16

Fi

Название

функции

Значение

функции

Символ.

обознач.

Структурная

формула

F0

Нулевая функция

F0= 0 при любых          значениях а и b

0

F0=

F1

Инверсия а

(функция НЕ)

F1={

1 при а=0

0 при а=1

F1=

F2

Инверсия b

(функция НЕ)

F2={

при b=0

0 при b=1

F2=

F3

Дизъюнкция

(функция ИЛИ)

F3={

0 при а=b=0

1 в ост. случаях

a+b

F3=a+b

F4

Конъюнкция (функция И)

F4={

1 при а=b=1

0 в ост. случаях

ab

F4=ab

F5

Повторение а

(функция ДА)

F5={

1 при а=1

0 при а=0

a

F5=a

F6

Повторение b

(функция ДА)

F6={

1 при b=1

0 при b=0

b

F6=b

F7

Запрет а

F7={

0 при а=1

в при а=0

ba

F7=

F8

Запрет b

F8={

0 при b=1

а при b=0

ab

F8=

F9

Штрих Шеффера (функция И-НЕ)

F9={

0 при а=b=1

1 в ост. случаях

a/b

F9=

F10

Стрелка Пирса (функция ИЛИ-НЕ)

F10={

1 при а=b=0

0 в ост. случаях

ab

F10=

F11

Импликация а

F11={

0 при а=0; b=1

1 в ост. случаях

ba

F11=

F12

Импликация b

F12={

0 при а=1; b=0

1 в ост. случаях

ab

F12=

F13

Неэквивалентность

(исключающее ИЛИ)

F13=

1   при аb

ab

F13=

F14

Равнозначность

(эквивалентность)

F14={

1 при а=b

0 при аb

a~b

F14=

F15

Единичная функция

F15=

1 при любых а и b

1

F15=




1. Решение о реструктуризации долга по государственным ценным бумагам лишает страховщиков возможности испо
2. максимум счастья для максимального числа людей то моральные нормы не должны быть препятствием для реализа
3. Дни Турбиных
4. тематичних наук Харків 2001 Дисертація є рукописом Робота виконана в Харківс
5. Реферат- Оценка недвижимости
6. Зоология
7. Постановка задачи принятия управленческого решения
8. Смоленская война (1632-1634 гг)
9. на тему Деловая активность и развитие гражданского общества Выполнила- студентка
10. Расчет цеховой себестоимости продукции и ее влияние на финансовые результаты деятельности предприяти