Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №7
Поиск экстремума по методу крутого восхождения (спуска).
Цель работы: изучить способ поиска экстремума по методу крутого восхождения (спуска).
Часто исследуемый объект описывается нелинейными моделя ми, имеющими максимум или минимум. Это относится и к задачам откорма скота, и к задачам получения максимальной урожайности, и к задачам оптимальной настройки сельскохозяйственной техники. Математически это означает, что в некоторой области факторного пространства изучаемый объект следует моделировать регрессион ным уравнением второго порядка. Область, в которой изучаемый объект описывается нелинейным уравнением регрессии, будем называть стационарной. Как попасть в стационар ную область?
Напомним, что изучение исследуемого объекта всегда следует начинать с простейшей модели - уравнения регрессии первого по рядка. Если уравнение регрессии первого по рядка окажется адекватным, то в теории планирования эксперимен та известен прием, который позволяет за относительно небольшое количество опытов достичь стационарной области. Этот прием на зывается методом крутого восхождения (спуска). Суть его за ключается в проведении дополнительных опытов, которые по зволяют реализовать движение к оптимуму по кратчайшему пу ти - по градиенту.
Поясним смысл движения по градиенту. Представьте себе холм, вершина которого находится на высоте 100 м над уровнем океана. Мысленно проведем через холм секущую плоскость параллельно поверхности океана на высоте 90 м над уровнем океана. Пересече ние поверхности склона холма с этой плоскостью образует линию, повторяющую очертание склона на этой высоте. Эту линию назы вают линией постоянного уровня, в данном случае на высоте 90 м. Повторим мысленное рассечение холма плоскостями на высоте 80, 70, 60, 50, 40 30, 20, 10 и 0 м над уровнем океана. Получим топо графическую карту холма, на которой линии постоянного уровня позволяют нам представить объемную геометрию холма (рису нок 1). Например, если в каком-то месте линии постоянного уровня располагаются очень близко друг к другу («густо»), то в этом месте в реальном холме наблюдается большая крутизна склона. И наобо рот, если расстояние между линиями постоянного уровня большое («редко»), то в этом месте холм имеет пологий склон.
Очевидно, что если мы оказались в некоторой точке холма, например в точ ке А0 (рисунок 1), и хотим кратчайшим путем взобраться на верши ну, то нужно идти по направлению, перпендикулярному линиям постоянного
уровня. Это и есть движение, которое в математике называют движением по градиенту (крутое восхождение).
На рисунке 1 представлены линии постоянного уровня некото рой двухфакторной функции Y= Y(X1, Х2). Градиент непрерывной функции, как следует из математического анализа, есть вектор
где, частные производные функции Y по факторам Х1 и Х2.
- единичные векторы в направлении координатных осей фак торного пространства ОХ1 и ОХ2.
Рисунок 1 –Схема движения в стационарную область по градиенту.
Алгоритм решения прикладных задач
1.Если многофакторное уравнение регрессии первого порядка адекватно, перейти к проце дуре крутого восхождения.
2. Найти s-к фактор, для которого коэффициент регрессии bs, будет максимальным по абсолютной величине, и обозначить b =| b |.
3. Выбрать значение параметра ξ1 = μ/b. Для первого шага кру того восхождения рекомендуем взять 0.7 < μ < 0.9; для крутого спуска -0.9 < μ < -0.7.
4. Рассчитать координаты опытов крутого восхождения (спуска) в натуральных значениях факторов:
где h = 1,2, 3,4,... - номер шага в направлении крутого восхождения при 0.7 < μ < 0.9 или спуска при - 0.7 < μ < - 0.9.
5. Число дублей в каждом опыте принять п = 2.
6. Из реализованных опытов выбрать тот, для которого пара метр Y будет иметь наибольшее (наименьшее) значение. Натураль ные значения факторов наилучшего опыта принять за основной уровень нового плана ЦПФЭ или ЦЦФЭ. Повторить процедуру по строения и анализа уравнения регрессии первого порядка. Если полученное уравнение регрессии первого порядка окажется адекватным повторить процедуру крутого восхождения, если неадекватным - перейти к построению уравнения регрессии второго порядка.
Базовая задача
Задано адекватное уравнение регрессии, все коэффициенты которого значимы.
Реализуем процедуру крутого восхождения.
b1 и b2 коэффициенты регрессии.
примем значение коэффициента μ=0,75 , что соответствует крутому подъёму (μ>0)
Рассчитаем значение коэффициента ξ1
x1max , x1min, x1ср - максимальное, минимальное и среднее значения фактора x1. (Значения задаются при проведении опытов, до построения уравнения регрессии).
x2max , x2min, x2ср - максимальное, минимальное и среднее значения фактора x2.
Δx1 , Δx2 - интервалы варьирования факторов x1 и x2.
x1h(h) , x2h(h) - координаты опытов крутого восхождения, которые являются функциями шага h в направлении крутого восхождения. h=1,2,3,...
Рассчитаем координаты опытов крутого восхождения x1h(h) , x2h(h)
По данным координатам были проведены эксперименты. Кратность экспериментов n=2. Результаты экспериментов и их среднее значение занесено в таблицу
|
№ |
h |
x1, ц/га |
x2, ц/га |
Y1h , ц/га |
Y2h , ц/га |
Yh , ц/га |
|
6 |
1 |
1.375 |
0.656 |
36.9 |
37.5 |
37.2 |
|
7 |
2 |
1.750 |
0.812 |
43.5 |
44.1 |
43.8 |
|
8 |
3 |
2.125 |
0.968 |
49.0 |
49.2 |
49.1 |
|
9 |
4 |
2.500 |
1.124 |
53.2 |
52.8 |
53.0 |
|
10 |
5 |
2.875 |
1.280 |
56.4 |
56.0 |
56.2 |
|
11 |
6 |
3.250 |
1.436 |
56.4 |
56.5 |
56.6 |
|
12 |
7 |
3.625 |
1.592 |
56.9 |
57.5 |
57.2 |
|
13 |
8 |
4.000 |
1.748 |
55.7 |
55.1 |
55.4 |
|
14 |
9 |
4.375 |
1.904 |
51.8 |
52.2 |
52.5 |
Из реализованных 9-ти опытов (№№ 6-14) максимальное зна чение параметра Y = 57.2 ц/га достигается в опыте № 12. Координа ты наилучшего опыта с некоторым округлением принимаются за центр нового факторного пространства (в данном случае х10 = 3.5 ц/га, х20 = 1.5 ц/га).
Далее для каждого фактора выбирают новые значения интервалов варьирования, строят новый план ЦПФЭ (ЦДФЭ), находят новое уравнение регрессии первого порядка. Если оно окажется адекватным, то повторяют крутое восхождение, если нет, то это означает, что дос тигнута стационарная область и следует приступить к построению уравнения регрессии второго порядка.
Вывод по задаче: после выполнения процедуры крутого восхождения, были найдены координа ты наилучшего опыта (х10 = 3.5 ц/га, х20 = 1.5 ц/га).
Эти значения станут центром нового факторного эксперимента.
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
1
Лабораторная работа №7
Разраб.
Пешевич В.В.
Провер.
Попов В.Б.
Реценз.
Н. Контр.
Утверд.
Поиск экстремума по методу крутого восхождения (спуска).
Лит.
Листов
5
ГГТУ им. П.О. Сухого гр.С-31
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
ист
2
Лабораторная работа №7
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
3
Лабораторная работа №7
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
4
Лабораторная работа №7
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
5
Лабораторная работа №7