Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
№13. Аксиоматика Вейля. Непротиворечивость аксиоматики Вейля.
В основе аксиоматики Вейля лежат следующие понятия: точки (множество точек), векторы, теория вещественных чисел.
Аксиомы:
3а) для каждой точки АТ отображение А:ТV определяется по закону А(В)=(А,В) является биекцией [иньективно: В-> (если одну точку зафиксируем, тогда можно рассмотреть А-операция откладывания вектора от фиксированной точки), сюрьективно: ВТ: = (если представить какой-либо вектор , то его можно считать приложенным к точке А)].
Т.о. 3а) описывает операцию откладывания вектора от данной точки.
Вектор (А,В) обычно обозначают через . По 3а) АТ, VВT: =, причем такой элемент В единственный.
3б) Тождество Шаля: А,В,С: +=.
4. Скалярное произведение. симметричная положительная определенная билинейная квадратичня форма
:VVR.
- скалярное произведение двух векторов – есть число. Форма g симметричная: . g – положительно определенная: V , =0. Билинейность означает линейность по первому и по второму аргументу (по первому: g(λ1ū1+λ2ū2,)=λ1.g(ū1,)+λ2. g(ū2,), по второму аргументу: g(ū, μ11+μ22)=μ1.g(ū,1)+μ2. g(ū,2).
Непротиворечивость аксиоматики Вейля
Док-ся построением арифметической модели. Арифм. модель строится на базе веществ. чисел: точки обозначаются А(х,у,z), х,у,zR, векторы : <m,n,p> - тройка вещественных чисел. Определим
:(A,B) ==<xB-xA,yB-yA,zB-zA>, где А(xА,yА,zА), В(xB,yB,zB). g:(<m1,n1,p1>,<m2,n2,p2>)m1m2+n1n2+p1p2.
Проверим, что аксиомы вып-ся. 1. Т: (1,0,0). 2. [В алг.] 3. А(x,y,z) -> <x-xA,y-yA,z-zA>. Биекция-разн.точки перех. в разн.в-р.? Если берем два набора, они считаются разными, если хотя бы одна компонента отлич.-она и даст новый в-р. Сюрьективность: называем произв. в-р,то ему можно сопост. точку, в кот. он перейдет. Рассм. точку M(xA+m,yA+n,zA+p). А: M-> <(xA+m)-xA, (yA+n)-yA, (zA+p)-zA>=<m,n,p>.
Тожд.Шаля: (А,С)=<xC-xA,yC-yA,zC-zA>, (А,B)= <xB-xA,…>, (B,С)= <xC-xB,…>.
(А,B)+ (B,С)= <(xB-xA)+(xC-xB),…>=<xC-xA,yC-yA,zC-zA>=(А,С).
4. g(λ1ū1+λ2ū2,)=λ1.g(ū1,)+λ2. g(ū2,)-линейность по первому аргументу?
1=<m1,n1,p1>,2=<m2,n2,p2>,=<m,n,p>. λ1ū1+λ2ū2=< λ1m1+λ2m2, λ1n1+λ2n2,…>.
g(λ1ū1+λ2ū2,)= (λ1m1+λ2m2)m+(λ1n1+λ2n2)n+…= λ1 (m1m + n1n+p1p)+λ2 (m2m + n2n+p2p)= λ1.g(ū1,)+λ2. g(ū2,). Симм-сть и «+» определенность (см.аксиомы) аналогично.
[Аксиоматика Вейля наст-ко непротиворечива, наск-ко достоверна аксиоматика веществ. чисел.]