Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Николаев В.С.
«МАТЕМАТИКА»
Москва 2009
Содержание
|
Введение……………………………………………………………………….. |
2 |
|
Тема 1 Операции над векторами и матрицами .............................................. |
3 |
|
Тестовые задания по теме 1. ………………………………………………… |
27 |
|
Тема 2 Системы линейных алгебраических уравнений …………………… |
34 |
|
Тестовые задания по теме 2. ………………………………………………… |
38 |
|
Заключение …………………………………………………………………... |
41 |
|
Литература …………………………………………………………………… |
41 |
http://www.gaudeamus.omskcity.com/PDF_library_economic_5.html
(электронная библиотека по ЭММ)
ВВЕДЕНИЕ
В учебном пособии представлен краткий курс высший математики, который будет полезен студентам, не математического профиля (ЕН Ф.01). В пособии изложены основные понятия, формулы и методы высшей математики, представлены решения типичных задач, предложены задачи и тестовые задания для самостоятельной работы и проверки своих знаний, которые будет полезны и при сдаче зачетов и экзаменов, а также представлены варианты для контрольных работ.
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных стандартов высшего образования по высшей математике для экономических специальностей. В программу высшей математики входят линейная алгебра с элементами аналитической геометрии, дифференциальное и интегральное исчисления, ряды, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика и экономико-математические модели.
Во все темы учебного пособия вошли основные понятия, определения, методы расчетов и решения типовых задач. В связи с тем, что экономистам в основном нужно знать приложения высшей математики в экономике, акцент ставится на таких примерах, задачах, моделей, которые имеют интерес с точки зрения экономической науки. Такие задачи есть во всех темах.
Студентам предлагается прочесть теоретическую часть каждой темы, обращая внимание на определения, свойства, описание методов расчета, решения задач и попытаться самостоятельно решить представленные в соответствующем параграфе задачи.
Тема №1 Операции над векторами и матрицами
§1.1 Матрицы
Любая статистическая таблица это пример матрицы. Таковой является, например следующая таблица:
Производство деталей за смену
|
Детали, шт. |
Бригады |
|
|
I |
II |
|
|
А |
25 |
35 |
|
Б |
30 |
50 |
|
В |
60 |
100 |
Совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется прямоугольной матрицей размерности m n.
þ Обозначения: Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C; элементы матрицы обозначаются строчными латинскими буквами, например, aij, i = 1,2,…m; j = 1,2,…n, где i показывает номер строки, j - номер столбца матрицы. Другими словами элемент матрицы aij - это элемент, находящийся на пересечении i–ой строки и j–ого столбца матрицы.
Общий вид прямоугольной матрицы записывается как
.
Матрица называется квадратной матрицей порядка n, если число строк m равно числу столбцов n.
При m = 1 матрица содержит одну строку и называется вектором-строкой. При n = 1 матрица содержит один столбец и называется вектором-столбцом. Элементы вектора называются также компонентами или координатами вектора.
Если все элементы прямоугольной матрицы нули (aij = 0), то матрица называется нулевой матрицей и обозначается буквой 0.
Если в квадратной матрице элементы главной диагонали равны единице (aii = 1), а все остальные элементы – нули (aij = 0, i¹j), то матрица называется единичной матрицей и обозначается как E.
Матрицы A и B равны, если равны все соответствующие элементы этих матриц aij = bij.
§1.2 Операции над матрицами
Сумма двух матриц. При сложении двух матриц A и B получается матрица C = A + B, элементы которой определяются как сумму соответствующих элементов этих матриц: cij = aij + bij. Из этого правила следует, что можно сложить только матрицы одинаковой размерности или одинакового порядка.
Умножение матрицы на действительное число. При умножении матрицы A на действительное число k получается матрица B = kA, элементы которой определяются умножением всех элементов матрицы B на это число: bij = kaij.
Умножение двух матриц. При умножении матриц A и B получается матрица C = AB, элементы которой определяются по правилу ; элемент i-й строки и j-го столбца матрицы C равен сумме произведений i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрицы A и B квадратные матрицы n–го порядка, то имеет смысл как произведение матриц AB, так и произведение матриц BA, причем полученные матрицы тоже n–го порядка. При этом в общем случае AB BA, т.е. произведение матриц не коммутативно.
@ Задача 1. Найти сумму матриц и .
Решение: При сложении двух матриц суммируются все соответствующие элементы этих матриц:
.
@ Задача 2. Найти произведение числа 4 и матрицы .
Решение: При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число:
.
@ Задача 3. Найти произведение матриц и .
Решение: Элементы матрицы AB определяются сложением произведений элементов первой строки матрицы А с соответствующими элементами первого столбца матрицы В, произведений элементов первой строки матрицы А с соответствующими элементами второго столбца матрицы В и т.д.:
.
@ Задача 4. Найти произведение матриц и .
Решение: Элементы полученной матрицы представляют собой суммы произведений элементов строк матрицы А с элементами единственного столбца матрицы В:
.
Свойства матриц
Если A, B и C матрицы, а k и m действительные числа, то выполняются следующие свойства.
Сумма матриц обладает свойством коммутативности: A + B = B + A.
Сумма трех матриц обладает свойством ассоциативности: (A + B) + C = A + (B + C).
Сумма матрицы A и нулевой матрицы 0 равна матрице A: A + 0 = A.
Сумма матрицы A и противоположной матрицы – A равна нулевой матрице 0: A – A = 0.
Произведение матрицы A и единичной матрицы E равно матрице A: EA = AE = A. При этом выполняется свойство коммутативности.
Сумма матриц обладает свойством дистрибутивности относительно действительного множителя (числа): k(A + B) = kA + kB
Произведение матрицы с двумя действительными множителями обладает свойством ассоциативности: k(mA) = (km)A.
Произведение матриц обладает свойством ассоциативности относительно действительного множителя: k(AB) = (kA)B.
Произведение трех матриц обладает свойством дистрибутивности: (AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC.
§1.3. Определители и их свойства
Определители
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы n-го порядка называется число
.
þ Обозначения: detA, и |A|.
Строки и столбцы определителя называются рядами.
Определитель второго порядка вычисляется по правилу (1):
. (1)
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу (2):
(2).
Правило вычисления определителя третьего порядка следующее. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах. Со знаком плюс берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Со знаком минус берутся произведения, сомножители которых стоят на другой диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1).
(+) (-)
Рис. 1. Правило вычисления определителя третьего порядка
@ Задача 1. Найти .
Решение: Определитель второго порядка вычисляется по правилу (1): detA = 2·3 – (–3)·4=18.
@ Задача 2. Найти .
Решение: Определитель третьего порядка вычисляется по правилу (2):
detA = 1·3·2 + 2·1·0 + 3·2·1 – 3·3·0 – 2·2·2 – 1·1·1 = 3.
Минор и алгебраическое дополнение
Минором mij некоторого элемента aij определителя n–го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из исходного определителя путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечениях которых находится выбранный элемент.
Например, минором элемента a11 определителя третьего порядка является .
Алгебраическим дополнением называется Aij = (– 1)i+j mij. Если сумма индексов алгебраического дополнения i + j четное число, то алгебраические дополнения и миноры совпадают: Aij = mij, а если – нечетное число, то они отличаются знаком: Aij = – mij.
Свойства определителей
Если какой-то ряд состоит из одних нулей, то определитель равен 0.
Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей, с соответствующими слагаемыми этой суммы.
Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Определитель равен сумме произведений элементам некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Например, определитель третьего порядка равен:
detA = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11m11 – a12m12 + a13m13 . (3)
@ Задача 3. Найти .
Решение: Определитель найдем, применяя формулу (3):
Ранг матрицы
Наибольший порядок отличных от нуля детерминантов (миноров) прямоугольной матрицы m n, называется рангом матрицы r, причем r min(m, n). Для квадратной матрицы ранг r n.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
@ Задача 4. Найти ранг матрицы размерности 3 4.
Решение: Ранг матрицы r min(3, 4) = 3. Все детерминанты третьего порядка равны нулю, так как две их строки (вторая и третья) одинаковые (отличаются на постоянный множитель). Отличны от нуля только детерминанты второго порядка, поэтому r = 2.
§1.4. Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: detA ¹ 0. В противном случае матрица называется вырожденной.
Матрица A-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие
A-1A = AA-1 = E.
Только у невырожденных квадратных матриц есть обратные матрицы.
Обратная матрица вычисляется по формуле (detA ¹ 0):
.
Для матрицы A второго порядка обратная матрица равна:
.
@ Задача 1. Найти A-1, если .
Решение: 1. Находим определитель матрицы:
.
2. Находим обратную матрицу:
.
@ Задача 2. Найти A-1, если .
Решение: 1. Находим определитель матрицы:
.
2. Вычисляем алгебраические дополнения: , , , , , , , , .
3. Находим обратную матрицу:
.
Свойства обратной матрицы
Буква T означает операция транспонирования – операция замены строк столбцами и наоборот. В частности, при транспонировании вектор-столбец превращается в вектор-строку.
§1.5. Векторы
Понятие вектора
Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец).
Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.
Вектор обычно обозначается символом , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так и обозначают длины соответствующих векторов.
Вектор единичной длины называют ортом.
К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).
Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.
Векторы называются компланарными, если они лежат, либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.
Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.
Следствие: Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что .
Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках).
Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:
Операции над векторами
Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .
В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник (рис.3). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».
Операция сложения векторов обладает свойствами:
Вектор противоположный вектору обозначают .
Определение: Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е.
.
Разность получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что для любого вектора .
Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм. Суммой будет вектор , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор , расположенный на второй диагонали.
Векторная алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.
Определение: Произведением вектора на вещественное число λ (скаляр) называется вектор , такой, что 1) ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление, если λ > 0 (λ < 0).
Замечание: В случае, когда λ = 0 или произведение является нулевым вектором.
Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
Теорема: Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число λ такое, что = λ.
Проекция вектора
Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными.
Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина , φ – угол между векторами.
Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA0.
Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.
При ортогональной проекции угол между отрезками OA0 и AA0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.
Проекции векторов обладают следующими свойствами:
Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.
Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .
Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.
Пример: Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базиса на плоскости угол φ, тогда
.
Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис. 5), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора
Скалярное произведение
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.
Скалярное произведение векторов и обозначается через [или ; или ]. Если φ - угол между векторами и , то .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
Векторное произведение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой).
Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:
Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.
Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.
Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .
Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .
Пример: Пусть, а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).
Пример: Если дан вектор , то каждый вектор можно представить в виде суммы , где – ортогонален , а – коллинеарен . Легко видеть, что .
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда
или
Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:
Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. В ортонормированном базисе
В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой
.
§1.6. Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi, где a и b – действительные числа, – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Rez, число b – мнимой частью z: b = Imz.
Два комплексных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны, если a1 = a2 и b1 = b2.
Комплексные числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными.
Действия над комплексными числами
При сложении двух комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и мнимые части:
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i. (1)
При умножении двух комплексных чисел получается комплексное число:
z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i, (2).
При делении двух комплексных чисел получается комплексное число:
, (3).
@ Задача 1. Найти сумму двух комплексных чисел 2 + 3i и – 4 + 6i.
Решение: Комплексные числа суммируются по правилу (1): (2 + 3i) + (– 4 + 6i) = (2 – 4) + (3 + 6)i = – 2 + 9i.
@ Задача 2. Найти произведение двух комплексных чисел 2 + 3i и – 4 + 5i.
Решение: Комплексные числа умножаются по правилу (2):
(2 + 3i)·(– 4 + 5i) = (2·(– 4) – 3·5) + (2·5 + 3·(– 4))i = – 23 – 2i.
@ Задача 3. Найти частное двух комплексных чисел 2 + 4i и 1 + i.
Решение: Комплексные числа делятся по правилу (3):
.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой A(a,b) плоскости, такой что a = Rez, а b = Imz. Тогда a и b можно выразить через полярные координаты r и j: a = rcosj, b = rsinj, где r и j называются модулем и аргументом комплексного числа.
Таким образом, комплексное число z = a + bi можно представить в тригонометрической форме
.
Экспоненциальной формой комплексного числа называется число .
@ Задача 4. Представить в тригонометрической форме комплексное число .
Решение: Так как , то комплексное число представляется в тригонометрической форме в виде
.
Корни квадратного и биквадратного уравнений
Корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с отрицательным дискриминантом D = b2 – 4ac < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам .
Корни биквадратного уравнения x4 + px2 + q = 0 с отрицательным дискриминантом D = p2 – 4q < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам:
,
.
@ Задача 5. Решить квадратное уравнение x2 – 4x + 8 = 0.
Решение: Дискриминант квадратного уравнения отрицательный: D = 42 – 4×8 = – 16 < 0 и, следовательно, корни квадратного уравнения равны .
@ Задача 6. Решить биквадратное уравнение
x4 – 4x2 + 16 = 0.
Решение: Дискриминант биквадратного уравнения отрицательный: D = 42 – 4×16 = – 48 < 0. Т.к. и , то и .
§1.7 Прямые и плоскости в аффинном пространстве. Выпуклые множества и их свойства.
В n-мерном пространстве задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа xi, что
Tочку O и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора — координатными осями.
На аффинной плоскости (n = 2) координату x1 называют абсциссой, а x2 – ординатой точки M. В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.
Выпуклые множества и их свойства
Множество - выпуклое, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка, соединяющего в пространстве точку с точкой . Заметим, что отрезок, состоящий из точек , можно параметризовать следующим образом: Тогда при будет получаться точка , при -- точка , а при - промежуточные точки отрезка, так что обозначения точек отрезка как будут согласованы с обозначениями его концов.
На следующем рисунке изображены два множества на плоскости : одно выпуклое, а другое нет.
Выпуклыми в пространстве являются, например, такие множества: всё пространство , его положительный октант и неотрицательный октант , любой шар, как открытый , так и замкнутый , любая гиперплоскость (заданная некоторым уравнением вида , а также открытое и замкнутое полупространства, заданные, соответственно, условиями и .
Теорема 1. Если все множества некоторого семейства выпуклы, то выпукло и их пересечение
Доказательство. Пусть точки и принадлежат ; тогда обе они принадлежат каждому из множеств . Значит, если - произвольная точка отрезка, соединяющего и , то она принадлежит , поскольку выпукло. Но так как для всех , то , что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует, например, что прямая в -мерном пространстве (её можно задать как векторным уравнением: , где - фиксированные векторы, а - параметр, так и в виде пересечения гиперплоскостей ) является выпуклым множеством. Действительно, каждая гиперплоскость - выпуклое множество.
Определение: Функция , заданная на отрезке , называется выпуклой (или выпуклой книзу) на этом отрезке, если для всех и выполняется неравенство
и вогнутой (или выпуклой кверху), если выполняется неравенство
(То есть функция вогнута в том и только том случае, если функция выпукла.)
В левой части этого неравенства стоит значение функции в производной точке
отрезка между и (будем для простоты считать, что ), а в правой части неравенства - значение линейной функции , такой что и
Если и , то неравенство, означающее выпуклость функции , превращается в такое:
при всех .
Дадим теперь определение выпуклой функции многих переменных.
Определение1 Пусть - выпуклое множество, на котором задана функция . Функция называется выпуклой (или выпуклой книзу) на множестве , если для любых двух точек функция , служащая ограничением функции на отрезок, соединяющий точки и , является выпуклой (книзу) функцией одного переменного (здесь, как и выше, ).
Функция называется вогнутой (или выпуклой кверху) в , если функция вогнута.
Таким образом, функция вогнута в том и только том случае, когда функция выпукла.
Выпуклость функции в означает, что для любого отрезка с концами и параметризация этого отрезка в виде задаёт композицию , являющуюся выпуклой функцией параметра . Ввиду выпуклости области , любые точки и отрезка лежат в , и их снова можно взять в качестве концов отрезка. Поэтому для выпуклости функции в области необходимо и достаточно, чтобы неравенство
выполнялось при всех и .
Если при этом при всех и выполняется строгое неравенство
то функцию будем называть строго выпуклой в .
Наконец, функция называется строго вогнутой, если функция строго выпукла; это означает выполнение строгого неравенства
при всех и .
Геометрически (в случае ) строгая выпуклость означает, что для любой хорды графика точки дуги графика с теми же концами, что у хорды, лежащие в вертикальном сечении, проходящем через эту хорду, располагаются ниже точек хорды. Строгая вогнутость означает, что в любом вертикальном сечении график проходит выше любого отрезка, соединяющего две точки графика.
Заметим, что понятия выпуклой и вогнутой функций (а также строго выпуклой и строго вогнутой функций) в области определены только для выпуклых областей .
Дадим теперь такое алгебраическое определение.
Определение: Пусть дана квадратная матрица размера . Она называется неотрицательно определённой, если для любого вектора-столбца (точкой обозначено скалярное произведение в ). Матрица называется положительно определённой, если для всех .
Заметим, что выражение можно записать в виде , где - это матрица-строка, равная транспонированному столбцу . Вообще, верхний левый индекс мы будем применять для обозначения транспонированной матрицы.
Определение Квадратная матрица называется симметричной, если при всех имеет место равенство , то есть если .
У симметричной матрицы равны друг другу элементы, расположенные симметрично друг другу относительно главной диагонали матрицы.
Теорема: Пусть - симметричная неотрицательно определённая матрица размера . Тогда квадратичная функция (она же называется квадратичной формой, заданной матрицей )
является выпуклой функцией (во всем пространстве, то есть при ).
Если же симметричная матрица - положительно определённая, то заданная ею квадратичная форма является строго выпуклой.
Доказательство. Пусть и - две произвольные точки и , где , - точка отрезка, соединяющего с .
Предположим, что матрица неотрицательно определена. Элементарные преобразования позволяют записать в виде
|
|
|
|
|
Поскольку матрица неотрицательно определена, имеет место неравенство
откуда сразу следует, что
а это неравенство означает выпуклость функции .
Доказательство строгой выпуклости в случае положительно определённой матрицы проводится с помощью очевидных изменений приведённого доказательства.
Другой пример выпуклой функции даёт линейная функция:
Пример: Линейная функция
где - постоянные, является выпуклой функцией во всём пространстве (но не является строго выпуклой функцией). Действительно, как легко проверить, при всех и имеем
Поскольку функция , очевидно, также линейна, линейная функция является одновременно и вогнутой (но не строго вогнутой).
Если о некоторых функциях известно, что они выпуклы в области , то из них можно сконструировать другие выпуклые функции, используя следующие свойства выпуклых функций.
Теорема: Пусть - выпуклая область и функции и выпуклы в . Тогда сумма этих функций также выпукла в .
Доказательство. Пусть и , где . Тогда
|
|
|
|
|
что и означает выпуклость функции .
Практическая ценность этого утверждения в том, что при поиске наименьшего значения выпуклой функции в области достаточно найти любую точку локального минимума; во всех остальных точках локального минимума (если они существуют) значение функции будет точно такое же. Для невыпуклых функций это, конечно, не так, как видно на следующем рисунке:
Тесты по теме №1
1. Дан треугольник АВС с вершинами А(0;0), В(4;3), С(12;5). Определить точку Д(x;y) пересечения биссектрисы внутреннего угла А с противолежащей стороной ВС.
£
£
£
2. Найти площадь треугольника с вершинами А(7,3,4), В(1,0,6), С(4,5,-2).
£
£
£
3. Найти неизвестный элемент х: .
£ 1;
£ – 2;
£ 0;
£ – 1;
£ 2.
4. Найти неизвестный элемент х:
.
£ 6;
£ 2;
£ – 3;
£ – 6;
£ – 12.
5. Вычислить произведение матриц:
£
£
£
6. Найти элемент матрицы АВ, если:
£ = 32
£ = 49
£ = 71
7. Вычислить минор элемента а матрицы третьего порядка.
£ а = 1
£ а = 27
£ а = -19
8. Вычислить определитель матрицы
£ 12
£ 40
£ 56
9. Вычислить определитель матрицы
£ 160
£ 238
£ 420
10. Вычислить минор элемента матрицы третьего порядка:
£ 41
£ - 41
£ 47
11. Вычислить определитель матрицы .
£ – 7;
£ 9;
£ 16;
£ 7;
12. Минор m21 получается
£ вычеркиванием первой строки и второго столбца определителя.
£ вычеркиванием второй строки и первого столбца определителя.
£ вычеркиванием первой строки и второго столбца матрицы.
£ вычеркиванием второй строки и первого столбца матрицы.
13. Вычислить минор m12 определителя .
£ – 7;
£ 4;
£ 3;
£7;
£ – 3.
14. Обратной матрицей обладают
£ все матрицы;
£ все квадратные матрицы;
£ невырожденные квадратные матрицы;
£ вырожденные квадратные матрицы.
15. Векторное произведение двух векторов – это вектор, который
£ находится в одной плоскости с этими векторами;
£ коллинеарен с этими векторами;
£ с этими векторами составляет компланарную тройку;
£ перпендикулярен этим векторам;
£ параллелен этим векторам.
16. Выражение 2 + 3i, где i – мнимая единица,
£ действительное число;
£ рациональное число;
£комплексное число;
£ иррациональное число.
17. Найти сумму комплексных чисел 1 + 2i и 2 – i.
£ 3 – i;
£ 3 + i;
£ 2 –2i;
£ 4 –3i.
18.Определитель 3 2 равен 0 при в = …
6 5в-1
£ 2
£ 1
£ 0
19. В треугольнике ОАВ даны векторы. Найти векторы МА и МВ, где М – середина стороны АВ.
£
£
£
20. Вычислить определитель третьего порядка:
£ 2.
£ 4.
£ 6.
£ 3.
21. Вычислить определитель треугольной матрицы:
£ 20.
£ 15.
£ -15.
£ 3.
22.Прямая проходит через точки 0(0;0) и В(12;3). Тогда её угловой коэффициент равен
£ 4
£
£
£ 7
23. Совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется
£ квадратной матрицей;
£ прямоугольной матрицей;
£ вектором-строкой;
£ вектором-столбцом;
£ определителем.
24. Порядком квадратной матрицы n ´ n называется
£ n²
£ n
£ матрица не имеет порядка.
25. Порядком прямоугольной матрицы n ´ m называется
£ n;
£ m.
£ матрица не имеет порядка.
26. Найти неизвестный элемент х: .
£ 1
£ – 2
£ 0
£ – 1
£ 2.
27. Найти неизвестный элемент х:
.
£ 6;
£ 2;
£ – 3;
£ – 6;
£ – 12.
28. Найти неизвестный элемент х:
.
£ 0;
£ – 4;
£ 6;
£ – 8;
£ 4.
29. Найти неверный ответ.
£ Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами.
£ Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие
£ элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
£ Определитель не изменится, если заменить первый столбец вторым столбцом.
£ Определитель равен сумме произведений элементам некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
30. Ранг матрицы размерности n ´ m
£ равен min(m, n);
£ равен max(m, n);
£ не превышает min(m, n);
£ равен порядку матрицы.
31. Найти ранг матрицы .
£ 1
£ 2
£ 3.
32. Обратной матрицей обладают
£ все матрицы;
£ все квадратные матрицы;
£ невырожденные квадратные матрицы;
£ вырожденные квадратные матрицы.
33.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Найти Х1; Х2; Х3
£ X1=83; X2=-20; X3=-30
£ X1=47; X2=-36; X3=-17
£ X1=92; X2=-40; X3=-10
£ X1=54; X2=-14; X3=-28
34.Расстояние между точками А(-1;1) и В(k;-3) равно 5 при k равном...
£ -1
£ 4
£ 2
£ 8
35.Прямая проходит через точки О(0;0) и В(5;-15). Тогда ее угловой коэффициент равен...
£ 5
£ -3
£ 3
£ -5
36.Прямая проходит через точки О(0;0) и В(25;15). Тогда ее угловой коэффициент равен…
£ 3/5
£ 5/3
£ 5/3
£ -3/5
Тема № 2 Системы линейных алгебраических уравнений
§2.1. Система линейных алгебраических уравнений, содержащей n уравнений и n неизвестных
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей n уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1),
где aij, i = 1,2,…n; j = 1,2,…n - коэффициенты системы, bi, i = 1,2,…n - свободные члены, xi, i = 1,2,…n - неизвестные, подлежащие нахождению.
Более удобной формой записи системы линейных уравнений (1) является матричная форма
A·X = B, (2)
где А - квадратная матрица n-го порядка, X – вектор столбец из неизвестных xi, i = 1,2,…n, B – вектор-столбец из свободных членов bi, i = 1,2,…n.
Система уравнений (1) имеет единственное решение, если матрица А невырожденная, т.е. если определитель матрицы А отличен от нуля: D ¹ 0. Решение матричного уравнения (2) находится следующим образом:
A-1AX = A-1B, EX = A-1B, X = A-1B. (3)
Решение X = A-1B справедливо не только для векторов столбцов X и B, но и для произвольных матриц X и B, удовлетворяющих уравнению (2).
Формула Крамера
Решения системы линейных уравнений (1) определяются формулой Крамера
, i=1,2···n, (4)
где Di получается из определителя D путем замены i-го столбца свободными членами bi. Формула Крамера получается из решения системы X = A-1B. На самом деле, это решение в виде системы записывается как:
.
@ Задача 1. Найти решение системы .
Решение: Решение системы уравнений находится с помощью формулы Крамера.
1. Находим определители , , , ;
D = 4×2×3 + (–1)×5×(–1) + 2×3×1 – 2×2×(–1) – (–1)×3×3 – 4×5×1 = 28;
D1 = 0×2×3 + (–1)×5×(–2) + 2×2×1 – 2×2×(–2) – (–1)×2×3 – 0×5×1 = 28;
D2 = 4×2×3 + 0×5×(–1) + 2×3×(–2) – 2×2×(–1) – 0×3×3 – 4×5×(–2) = 56;
D3 = 4×2×(–2) + (–1)×2×(–1) + 0×3×1 – 0×2×(–1) – (–1)×3×(–2) – 4×2×1 = – 28.
2. Решение системы равно: , , .
Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса)
С помощью коэффициентов и свободных членов составляется расширенная матрица
,
над строками которой можно произвести следующие элементарные преобразования. Разрешается изменить порядок строк; прибавлять к элементам произвольной строки элементы другой строки, умноженное на любое отличное от нуля число. При этом нужно стараться свести расширенную матрицу к «треугольному» виду, т.е. к виду, когда все элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Из полученной расширенной матрицы решение находится непосредственно:
.
т.е. и т.д.
@ Задача 2. Решить систему уравнений: .
Решение: Составляем расширенную матрицу и сводим ее к «треугольному» виду:
.
После этого нетрудно найти решения:
– 14x3 = – 14: x3 = 1; – 3x2 – 2x3 = – 2; x2 = 0;
x1 + 2x2 + 3x3 = 2; x1 = –1.
§2.2. Система линейных алгебраических уравнений, содержащая
m уравнений и n неизвестных
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
.
Система уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Ответ на совместность системы дает теорема Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.
Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решение.
Решение системы находится следующим образом. Находим ранг матрицы, выбираем какой-либо базисный минор порядка r и r уравнений, с коэффициентами базисного минора (остальные уравнения отбрасываем). Решаем систему выбранных уравнений. Если r = n, то получим единственное решение, а если r < n, то получим бесконечное множество решений.
@ Задача 3. Найти решение системы
.
Решение: Ранги основной матрицы и расширенной матрицы равны 2. Поэтому отбрасываем одно уравнение (можно третье уравнение) и решаем полученную систему уравнений:
.
Обозначив x3 = с, получим решение (2 – с, 1, с).
§2.3. Система линейных однородных уравнений
Система линейных уравнений (1) с нулевыми свободными членами b1 = b2 = = bn = 0 называется системой линейных однородных уравнений.
Система линейных однородных уравнений имеет нулевое (тривиальное) решение при ¹ 0 и ненулевое бесконечное множество решений при = 0.
@ Задача 3. Найти решение системы .
Решение: Находим определитель . Так как детерминант равен нулю, то ранг матрицы не равен 3. Легко проверить, что ранг матрицы равен 2. После этого убираем одно из уравнений, например, третье уравнение и решаем полученную систему
, т.е. находим x1 и x2 через x3 = с. После подстановки x3 = с получим систему уравнений . Решая эту систему, находим x1 = 2x3 = 2с; x2 = – x3 = – с. Итак, решение системы линейных однородных уравнений имеет вид (2c, – c, c).
Тесты по теме №2
1. Решить систему уравнений:
R
£
£
2. Решить систему уравнений:
R
£
£
3. Решить систему:
R y = любое число, x = 5 + 2y.
£ y = любое число, x = 3 - 2y.
£ y = любое число, x = 1 + 3y.
4. Решить систему уравнений:
R
£
£
5. Решить систему:
£ x = 12 , у = 14, z = 2.
R x = -22 , у = 14, z = 2.
£ x = 11 , у = 12, z = 5.
£ x = 16 , у = 10, z = 4.
6. Решить систему уравнений:
R 4; 2; 1.
£ 1; 6; 0.
£ -3; 2; -1.
7. Решить систему двух уравнений:
£ x=-1; y = 1.
£ x=2; y = 4.
R x=3; y = -1.
8. Решить систему уравнений:
£ 1; 1; 3.
£ 4; -2; 0.
R 3; 1; 2.
9. Решить систему уравнений:
R 1; -2; 3.
£ 2; 3; 4.
£ -1; -2; 3.
10. Решить систему:
R -1; 3; 1.
£ 2; 1; -1.
£ 3; 0; 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Совершенствование методов хозяйственной деятельностью во многом связано с применением в экономической науке и практике разнообразных математических методов исследования. В связи с этим в настоящее время математические дисциплины имеют исключительно важное значение как для всего процесса обучения в экономическом институте (они необходимы для успешного усвоения таких специальных дисциплин в образовании экономиста как информатика, экономическая статистика, эконометрика, новые информационные технологии и др.), так и для последующей деятельности специалиста.
Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке экономиста, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математическую символику для выражения количественных и качественных отношений.
Литература
Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин и др. – М.: ВЕЛБИ, 2010.
Высшая математика для экономистов: Учебник /.Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ , 2008.
Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум / часть1-2 / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.
4. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1998.
5. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /Под ред. В.Е. Гмурмана.- 1 2 –е изд. – М.: Высшее образование, 2010.
PAGE \* MERGEFORMAT 6