|
БИЛЕТ 1
- Определение: точка и прямая
- Теорема (с доказательством): о смежных углах
- Задача: В треугольнике MNK MN = NK. Точки А, В и С – середины сторон MK, MN и NK соответственно. Докажите, что .
|
|
БИЛЕТ 2
- Определение: отрезок
- Теорема (с доказательством): о вертикальных углах
- При пересечении двух прямых образовались четыре неразвернутых угла. Найдите эти углы, если сумма трех углов равна 290о.
|
|
БИЛЕТ 3
- Определение: луч
- Теорема (с доказательством): о двух прямых, перпендикулярных третей
- Медиана АМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе ВК. Найдите АВ, если ВС = 12
|
|
БИЛЕТ 4
- Определение: угол
- Теорема (с доказательством): свойство равнобедренно треугольника (об углах)
- Отрезок AD – диаметр окружности с центром в точке О. На окружности отмечены точки В и С так, что хорды AВ, BC и CD равны. Найдите величину угла BOD.
|
|
БИЛЕТ 5
- Определение: смежные углы
- Теорема (с доказательством): свойство равнобедренно треугольника (о медиане)
- Дано: АС = ВС, . Параллельны ли прямые a и b
|
|
БИЛЕТ 6
- Определение: вертикальные углы
- Теорема (с доказательством): свойство равнобедренно треугольника (о биссектрисе)
- В треугольнике MNK на равных сторонах MN и NK выбраны точки А и В соответственно так, что NA = NB. Найдите длину отрезка МВ, если КА = 7 см.
|
|
БИЛЕТ 7
- Определение: перпендикулярные прямые
- Теорема (с доказательством): свойство равнобедренно треугольника (о высоте)
- В равнобедренном треугольнике АDС с основанием АС на продолжении медианы DM выбрана точка B. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
|
|
БИЛЕТ 8
- Определение: перпендикуляр к прямой
- Теорема (с доказательством): признак равнобедренно треугольника (углы)
- В треугольнике MNK на равных сторонах MN и NK выбраны точки А и В соответственно так, что МА = КВ. Найдите длину отрезка КА, если МВ = 3 см.
|
|
БИЛЕТ 9
- Определение: треугольник
- Теорема (с доказательством): признак равнобедренно треугольника (медиана)
- В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на продолжении высоты ВМ выбрана точка D. Докажите, что треугольник ADC – равнобедренный.
|
|
БИЛЕТ 10
- Определение: медиана треугольника
- Теорема (с доказательством): признак равнобедренно треугольника (биссектриса)
- Стороны равностороннего треугольника делятся точками К, L, M, в одном и том же отношении (считая по часовой стрелке). Докажите, что треугольник KLM также равносторонний.
|
|
БИЛЕТ 11
- Определение: биссектриса треугольника
- Теорема (с доказательством): признак равнобедренно треугольника (высота)
- Медиана АМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе ВК. Найдите АВ, если ВС = 12
|
|
БИЛЕТ 12
- Определение: биссектриса угла
- Теорема (с доказательством): первый признак равенства треугольника
- Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие медианы
|
|
БИЛЕТ 13
- Определение: высота треугольника
- Теорема (с доказательством): второй признак равенства треугольника
- Отрезок AD – диаметр окружности с центром в точке О. На окружности отмечены точки В и С так, что хорды AВ, BC и CD равны. Найдите величину угла BOD.
|
|
БИЛЕТ 14
- Определение: равнобедренный треугольник
- Теорема (с доказательством): третий признак равенства треугольника
- Дано: АВ = ВС, AD = CE
Доказать:
|
|
БИЛЕТ 15
- Определение: окружность и ее элементы (радиус, диаметр, хорда, дуга)
- Теорема (с доказательством): первый признак параллельности
- Дано: АС = BD, .
Доказать:
|
|
БИЛЕТ 16
- Определение: параллельные прямые
- Теорема (с доказательством): второй признак параллельности
- Дано: AD = CF, , FE = CB.
Доказать:
|
|
БИЛЕТ 17
- Определение: углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей.
- Теорема (с доказательством): третий признак параллельности
- Дано: АС = ВС, . Параллельны ли прямые a и b.
|
|
БИЛЕТ 18
- Аксиома: о двух точках
- Задача на построение: биссектриса угла
- В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС к боковой стороне АВ проведена медиана CD, равная 13 см.Периметр треугольника DBC больше периметра треугольника ADC на 19 см. Найдите стороны треугольника АВС, если его периметр равен 53 см.
|
|
БИЛЕТ 19
- Аксиома: о трех точках, не лежащих на одной прямой.
- Задача на построение: середина отрезка
- В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведена биссектриса BD, равная 7 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ABD равен 18 см.
|
|
БИЛЕТ 20
- Аксиома: о трех точках, лежащих на одной прямой.
- Задача на построение: равного угла
- В треугольнике MNK MN = NK. Точки А, В и С – середины сторон MK, MN и NK соответственно. Докажите, что .
|
|
БИЛЕТ 21
- Аксиома Евклида: о прямых углах
- Задача на построение: перпендикуляр к прямой через точку, лежащую на прямой
- В окружности с центром О проведен диаметр АС и радиус ОВ так, что хорда ВС равна радиусу. Найдите , если
|
|
БИЛЕТ 22
- Аксиома Евклида: об окружностях
- Задача на построение: перпендикуляр к прямой через точку, не лежащую на прямой
- Отрезки КМ и EF являются диаметром окружности с центром О. Докажите, что
а) ; б) отрезки КЕ и MF равны.
|
|
БИЛЕТ 23
- Аксиома параллельности (современная формулировка)
- Задача на построение: прямой, параллельной данной, через заданную точку.
- При пересечении двух прямых образовались четыре неразвернутых угла. Найдите эти углы, если сумма трех углов равна 290о.
|
|
БИЛЕТ 24
- Пятый постулат Евклида (формулировка Евклида)
- Теорема (с доказательством): третий признак равенства треугольника
- Градусные меры двух смежных углов относятся как 3 : 7. Найдите эти углы.
|
|
БИЛЕТ 25
- Аксиома: об откладывании углов
- Теорема (с доказательством): второй признак равенства треугольника
- Задача: Чему равна градусная мера угла, образованного биссектрисами двух смежных углов?
|
|
БИЛЕТ 26
- Аксиома: о прямой и плоскости
- Теорема (с доказательством): первый признак равенства треугольника
- Задача: Отрезок длиной 18 см разделен точкой на два неравных отрезка. Чему равно расстояние между серединами этих отрезков?
|
