Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
Направленные отрезки принято называть также геометрическими векто рами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по—прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает . Черт. 40
начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы бу дем также обозначать вектор одной малой ла тинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изобража ющей вектор (см. черт. 40, где изображён вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.
Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.
Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора а обозначается символом |а| или а. Если |а| = 1, то вектор a называется единичным.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным векто ром а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом а0.
Проекцией вектора на ось и называется число, равное величине отрезка оси и, где точка А1 является проекцией на ось и точки А, а B1 — проекцией точки В.
Проекция вектора на ось и обозначается символом: при Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и принято обозна чать: приa.
Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль и угол наклона к оси и формулой
(1)
Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство
означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси.
Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки M1(x1 ; у1 ; z1 ) и М2(x2 ; у2 ; z2), являющиеся соответственно началом и концом вектора а, то его координаты X, Y, Z определяются по формулам
, ,
Формула (2)
позволяет по координатам вектора определить его модуль.
Если — углы, которые составляет вектор а с координатными осями (черт, 41), то называются направляющими косинусами вектора а.
Вследствие формулы (1)
, , .
Отсюда и из формулы (2) следует, что . Последнее равенство позволяет определить один из углов если известны два других.
748. Вычислить модуль вектора а — {6; 3; — 2}.
749. Даны две координаты вектора Х=4, У= —12. Определить его третью координату Z при условии, что .
Черт. 41. 750. Даны точки А(3; —1; 2)и В(— 1; 2; 1).Найти координаты векторов и .
751. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора а = {3; —1; 4}, если его начало совпадает с точкой М (I; 2; —3).
752. Определить начало вектора а = {2; —3; —1}, если его конец совпадает с точкой (1; —1; 2).
753. Дан модуль вектора и углы = 45°, = 60°, =120°. Вычислить проекции вектора а на координатные оси.
754. Вычислить направляющие косинусы вектора а ={12; —15; —16}.
755. Вычислить направляющие косинусы вектора
756. Может ли вектор составлять с координатными осями сле дующие углы: 1) = 45°, = 60°, = 120°; 2) = 45°, =135°, = 60°; 3) = 90°, =150°; = 60°?
757. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1) = 30°, = 45°; 2) = 60°, = 60°; 3) = 150°, = 30°?
758. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы =120° и = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?
759. Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы = 60°, = 120°. Вычислить его координаты при условии, что .
760. Определить координаты точки М, если её радиус—вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.