Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 12
О
EMBED Equation.3
А
В
С
у
у
х
О
1
2
EMBED Equation.3
у
х
EMBED Equation.3
у
х
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
у
х
EMBED Equation.3
Раздел 1. Комплексные числа.
1.1. Построение системы комплексных чисел.
1.1.1 Основные определения.
Пару действительных чисел а и b называют упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, какое – вторым.
Определение 1. Комплексным числом называется любая упорядоченная пара
действительных чисел R.
Множество всех комплексных чисел обозначается С.
Определение 2. Два комплексных числа и считают равными и
пишут =, если .
Условимся в дальнейшем комплексные числа обозначать строчными буквами греческого алфавита.
Определение 3. Пусть и - два комплексных числа.
Сумма определяется равенством
,
а произведение - равенством
.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:
Упражнение. Проверить свойства 1-5.
Упорядоченная пара обладает тем свойством, что сложение ее с любой другой упорядоченной парой не меняет этой пары: . Упорядоченная пара играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; называют ее нуль-парой.
Определение 4. Пусть и - два комплексных числа.
Разностью двух упорядоченных пар называют такую
упорядоченную пару , что .
Найдем x и y. Поскольку , то , т.е., , откуда , .
Таким образом, вычитание упорядоченных пар определяется формулой
.
Определение 5. Частным двух упорядоченных пар и
называют такую упорядоченную пару , что
.
Найдем x и y. Так как , то , т.е. , . Эта система имеет решение , .Если , т.е. , то частное двух упорядоченных пар определяется так: .
Из последнего равенства при , т.е. , получаем, что
.
Значит, роль единицы при делении упорядоченных пар выполняет упорядоченная пара .
1.1.2 Множество комплексных чисел как расширение множества действительных чисел.
Рассмотрим комплексные числа вида . Множество, состоящее из всех таких чисел, обозначим С*.
Если каждому действительному числу а сопоставим комплексное число , т. е. , то получим некоторое соответствие между множеством R и множеством С*. Это соответствие является взаимно однозначным.
Для любых двух действительных чисел а и b имеем . Если учесть, что , то можно записать . Это означает, что сумме действительных чисел а и b отвечает сумма соответствующих им комплексных чисел.
То же самое относится к произведению: так как и , то . Итак, произведению действительных чисел а и b отвечает произведение соответствующих им комплексных чисел.
Из сказанного следует, что если отождествить каждое действительное число а с комплексным числом , то тем самым множество R действительных чисел с его обычной арифметикой окажется как бы вложенным в множество С комплексных чисел. В этом смысле говорят, что множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел.
1.1.3 Алгебраическая форма комплексного числа.
Арифметические действия над комплексными числами.
Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.
Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида и действительным числом а, т. е. ; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествах R и С*.
Рассмотрим упорядоченную пару . Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем , тогда .
Определение 6. Упорядоченную пару ,.удовлетворяющую
соотношению или , называют мнимой единицей.
С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как
,
то
.
Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары и записывать комплексное число в виде .
Определение 7. Выражение называют алгебраической формой
комплексного числа. Число а называют действительной частью,
число b – мнимой частью комплексного числа .
Если задано комплексное число , то действительную часть числа обозначают ( от франц. reele – «действительный»), а мнимую - ( от франц. imaginaire – «мнимый»). Например, , .
Если , то число - действительное; если , то число имеет вид и называется чисто мнимым.
Определение 8.Пусть . Число , отличающееся от лишь
знаком коэффициента при мнимой части, называется
сопряженным числу и обозначается .
Итак, по определению, .
Если - действительное число, т.е. , то . Таким образом, любое действительное число равно своему сопряженному.
Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами следует, что
1. ,
2. ,
3. ,
4. .
Формула 1 определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула 2 означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого, необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.
Формулу 3 можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены его значением:
.
Чтобы получить формулу 4, необходимо предварительно числитель и знаменатель умножить на (число сопряженное числу ): .
Сформулируем основные свойства операции сопряжения:
1) ; 4) ;
2) ; 5) ;
3) ; 6) .
Упражнение 2. Доказать свойства 1-5 операции сопряжения.
1.1.4 Геометрическое изображение комплексных чисел. Комплексная плоскость.
Если для изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то изображениями комплексных чисел служат точки координатной плоскости.
Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат с осями х и у. Тогда каждому комплексному числу будет отвечать точка с координатами . Эту точку чаще всего обозначают той же буквой , что и само число.
При таком способе изображения комплексных чисел любому действительному числу, т.е. числу вида , отвечает точка , лежащая на оси х. Таким образом, приходим к уже известному способу изображения действительных чисел точками числовой прямой х. В связи с этим ось х называют действительной осью. Комплексным же числам вида отвечают точки оси у; по этой причине ось у называют мнимой осью. На рис. 1 указаны изображения некоторых комплексных чисел.
Наряду с изображением комплексных чисел точками плоскости применяется и другой способ изображения – с помощью векторов плоскости. Числу сопоставляется радиус-вектор точки (Рис.2). «Точечный» и «векторный» способы изображения комплексных чисел применяются одинаково часто.
Изображение комплексных чисел с помощью векторов имеет то преимущество, что оно хорошо «увязано» с операцией сложения комплексных чисел. Пусть числам , соответствуют векторы , . Тогда числу соответствует вектор с координатами , т.е. вектор . Таким образом, сложение комплексных чисел геометрически сводится к сложению соответствующих векторов. Напомним, что сложение векторов осуществляется по правилу параллелограмма (рис. 3).
Рис. 3 Рис. 4
Поскольку сложение комплексных чисел сводится к сложению векторов, это же должно быть верно и по отношению к вычитанию. Если вектор изображает комплексное число , а вектор - число , то вектор является изображением числа . Разумеется, чтобы получить точку, изображающую число , этот вектор нужно отложить от начала координат (точка С на рис. 4).
1.2 Тригонометрическая форма комплексного числа и
ее применение.
1.2.1. Модуль и аргумент комплексного числа.
Комплексное число в прямоугольной декартовой системе координат хОу изображается либо точкой А с абсциссой а и ординатой b, либо радиус-вектором этой точки . Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается символом :
(1)
Угол , образованный вектором с положительным направлением оси Ох, называется аргументом числа и обозначается . Связь между аргументом комплексного числа и его действительной и мнимой частями выражается формулами
(2)
или . (3)
Формулы (2) и (3) позволяют для заданного комплексного числа находить модуль и аргумент. Обратно, если заданы модуль и аргумент комплексного числа , то число находится с помощью равенств:
. (4)
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: если - аргумент числа , то , где , - также аргумент этого числа. Для однозначности определения аргумента его выбирают в промежутке и называют главным значением аргумента. Главное значение аргумента обозначают .
Так как , то аргумент можно представить в виде
.
Пример 1. Найти модуль и аргумент комплексного числа .
Используя формулу (1), находим модуль данного числа:
.
Далее, согласно формуле (2), получим
Так как точка, изображающая данное число, лежит во II четверти, то и, следовательно, .
Для главного значения аргумента справедливы соотношения:
В самом деле, так как главное значение лежит между и , то:
3) если точка лежит в III четверти , то и ;
Пример 2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .
Решение. Вычислим модуль: .
Так как , , то число лежит в III четверти, поэтому .
Следовательно, , где .
1.2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Пусть комплексное число имеет модуль и главный аргумент . Используя формулы (4), получим
. (5)
Определение 2. Представление комплексного числа в виде (5) называется
тригонометрической формой числа .
В случае, когда - действительное число, т.е. , тригонометрическая форма имеет вид при и при ; при может быть каким угодно.
Для простоты письма введем сокращенное обозначение:
,
тогда тригонометрическая форма (5) примет компактный вид:
. (6)
Определение 3. Представление комплексного числа в виде (6) называется
показательной формой числа ..
Пример. Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:
1) ; 2) ; 3) .
Решение. 1) Находим модуль данного числа: . Далее, так как , , то . Итак,
.
2) Имеем , (точка, изображающая данное число, принадлежит положительной части мнимой оси). Поэтому
.
3) Находим , (данное число является отрицательным действительным числом). Значит,
.
1.2.3 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Тригонометрическую и показательную форму комплексного числа удобно использовать при выполнении операции умножения и деления комплексных чисел.
Пусть
(7)
- комплексные числа, заданные в тригонометрической форме и показательной формах. Пользуясь элементарными формулами тригонометрии и определением умножения, для произведения в тригонометрической форме получим соотношение
откуда
(8)
Для показательной формы имеем:
(8*)
Из равенства (8) и (8*) следует, что при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей
, (9)
а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей
. (10)
Используя метод математической индукции, можно распространить формулы (8) и (8*) на любое число п сомножителей:
(11)
или
(11*)
Пример. Выполнить умножение .
Решение. Сначала найдем модуль и аргумент числа . Имеем , . Запишем в тригонометрической и показательной форме:
; .
Теперь воспользуемся формулой (8)
или
.
Формула Муавра.
Полагая в формулах (11) и (11*) , получим
(12)
и
(12*)
Формулы (12) и (12*) называются формулами Муавра.
Пример. Найти .
Решение. Представим число в тригонометрической форме и применим формулу Муавра:
Для показательной формы имеем:
.
Следовательно, .
1.2.4 Деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Для тригонометрической формы комплексных чисел 1 и 2 , где , рассмотрим число
.
Согласно правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, имеем
т.е. или . Итак, для тригонометрической формы комплексных чисел имеем:
. (13)
Для показательной формы имеем
и
(13*)
Из равенств (13) и (13*) получаем, что при делении комплексных чисел модуль частного равен отношению модулей
, (14)
а аргумент частного равен разности аргументов числителя и знаменателя
. (15)
Пример. Выполнить деление .
Решение. Так как числа записаны в тригонометрической форме, то по формуле (13) имеем:
Запишем решение в показательной форме:
1.2.5 Извлечение корня любой степени из комплексного числа.
Пусть требуется найти все значения корня п-й степени ( п – любое натуральное число) из комплексного числа , не равного нулю. Будем решать задачу нахождения , используя тригонометрическую форму комплексного числа.
Пусть , число будем искать также в тригонометрической форме: . Из условия , используя формулу Муавра (12), находим
.
Отсюда следует, что , . Из первого равенства находим, что , а из второго – что .
Таким образом, получаем следующее представление:
(k-любое целое). (16)
Может показаться, что эта формула дает для бесчисленное множество значений (так как k-любое целое). В действительности же для имеется ровно п различных значений и, чтобы получить эти значения, достаточно в правой части формулы (16) положить k равным .
В самом деле, точки
располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат. При этом, если значение k изменяется на 1, то угол изменяется на величину , т.е. на часть полного угла . Это означает, что точки делят указанную окружность на п равных частей. Значения же k, отличные от , не дают новых точек: например, и т.д.
Итак, корень п-й степени из не равного нулю комплексного числа имеет п различных значений, определяемых формулой
при . (17)
Точки, соответствующие этим значениям, расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят окружность на п равных частей.
В показательной форме формула (17) имеет вид
при . (18)
Пример. Найти все значения .
Решение. Имеем , так что . По формуле (17) находим . Полагая k последовательно равным , найдем все четыре значения . Этими значениями являются:
;
;
;
.
Точки, соответствующие полученным числам, изображены на рис.6.