Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Елабужский Филиал КНИТУ-КАИ
Лабораторная работа № 2
по дисциплине:
«Основы теории управления»
на тему
«Исследование устойчивости
систем управления»
Цель работы: исследование устойчивости автоматизированных систем управления по виду переходного процесса и по критериям устойчивости.
Временные характеристики динамического звена
Временной или импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид –
Рис. 1
Выясним, что представляет собой временная характеристика, то есть почему ее называют характеристикой динамического звена?
Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией
Рис. 2
В этом случае имеем
Таким образом
Получаем, что передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции
,
при использовании разложения в форму Хэвисайта и обратное преобразование Лапласа.
Знание импульсной характеристики позволяет определить реакцию динамического звена на сигнал любой формы.
Для динамического звена с передаточной функцией , используя теорему об умножении изображений преобразования Лапласа, получим
,
а если легко получить , тогда
.
Переходной характеристикой или переходной функцией динамического звена называют реакцию динамического звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид –
Рис. 3
Для анализа переходной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией
Рис. 4
В этом случае имеем
.
По теореме об интегрировании оригинала имеем
Переходная функция является интегралом по времени от импульсной характеристики и наоборот
.
Переходная характеристика динамического звена может быть определена по передаточной функции
Устойчивость АСУ характеризует способность сис темы возвращаться в состояние равновесия после исчезно вения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Понятие "устойчивость" наглядно иллюстрирует рис. 5, на котором представлена физическая система шар - опор ная поверхность. На рис. 5, а, б шар находится в поло жении равновесия. При отклонении от этого положения в любую сторону в первом случае (рис. 5, а) шар не может вернуться в исходное положение (неустойчивое равнове сие), а во втором (рис. 5, б) - возвращается (устойчивое равновесие). Если опорная поверхность представляет собой горизонтальную плоскость, то шар движется по ней до тех пор, пока действует движущая сила Fд и после ее исчезно вения останавливается в любой точке на плоскости (без различное равновесие). Такая система иногда называется нейтральной (рис. 5, в).
Рис. 5
Говорят, что система устойчива в малом, если констатируют лишь факт наличия области устойчивости, но не определяют каким-либо образом ее границы. Если границы устойчивости определены, т.е. границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в состояние равновесия, известны (рис. 5, г), и выяснено, что реальные начальные отклонения принадлежат этой области, то система устойчива в большом. Когда система возвращается в состояние равновесия при любых началь ных отклонениях, ее называют устойчивой в целом, т. е. в малом и большом.
В любой АСУ в результате воздействия возмущаю щих сил, с одной стороны, и восстанавливающего действия управляющего устройства, с другой, возникает переходный процесс: переход АСУ из одного состояния в другое. Рас смотрим различные типы переходного процесса.
Пусть АСУ описывается дифференциальным урав нением вида
(1)
характеристическое уравнение, которого
имеет корни
Решение ДУ описывает переходной процесс y(t) характер которого определяется коэффициентом . Возможное расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р при различных значениях показано на рис. 6. Рассмотрим переходные процессы, соответству ющие различным значениям .
Рис. 6
где , .
Характеристики системы те же, что и в предыдущем случае, но переходный процесс колебательный (рис. 7,б).
Рис. 7
Все рассмотренные колебания (И, III и V случаи) относятся к классу свободных, их параметры A и зависят от начальных условий, т. е. от привнесенной энергии. Для случаев II и III функция , где Т- период колеба ний, и, следовательно, эти колебания непериодические. Периодические колебания наблюдаются только в случае V.
Сопоставление корней характеристического урав нения на комплексной плоскости р с соответствующими переходными процессами (рис. 7) показывает, что ли нейная система восстанавливает равновесное состояние только тогда, когда корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси.
В общем случае условие устойчивости АСУ имеет вид
где у(0) - начальное значение управляемой величины;
— установившееся отклонение управляе мой величины или статическая ошибка (в случае астати ческой системы = 0).
Реальные системы всегда нелинейны, однако, если для анализа поведения системы можно произвести линеари зацию уравнений, то о ее устойчивости можно судить исходя из первого метода А. М. Ляпунова:
Таким образом, анализ устойчивости линеаризо ванной системы сводится к нахождению расположения корней на комплексной плоскости, которое однозначно определяется коэффициентами характеристического уравнения. Однако не всегда можно вычислить корни характеристического уравнения в аналитическом виде. В соответствии с теоремой Абеля, корни уравнения выше четвертого порядка в общем случае не могут быть найдены аналитически в принципе. Поэтому желательно иметь та кие критерии, с помощью которых можно было судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, зависящих от параметров систем, и определять влияние изменяемых параметров на расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Эти критерии называют критери ями устойчивости и подразделяются на алгебраические и частотные.
Пусть дано характеристическое уравнение системы вида
(2)
при а0 > 0.
Гурвиц предложил алгебраический критерий, ко торый основан на построении специальных определителей характеристического уравнения (2), называемых опре делителями Гурвица. Они составляются по следующим правилам:
В соответствии с этими правилами, определитель Гурвица n-го порядка для уравнения (2) имеет вид
(3)
Определители Гурвица более низкого порядка явля ются диагональными минорами n. Например, при n = 3
; ;
Поскольку в последнем столбце определителя n стоят нули, за исключением, то
Критерий Гурвица формулируется следующим образом:
для того чтобы АСУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица
были положительными, и при этом выполнялось условие
a0>0.
Пример 1.
Пусть АСУ описывается дифференциальным уравнением второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет вид: . Оп ределить условие устойчивости АСУ по Гурвицу.
Решение.
Составим в соответствии с (3) определитель Гур вица:
Тогда условия устойчивости системы запишутся в виде:
; ;
Поскольку а1 > 0, то для выполнения условия 2 > 0, коэффициент а2 должен быть также больше нуля. Таким образом, для устойчивости системы второго порядка необ ходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характерис тического уравнения были положительными.
В случае если АСУ описывается ДУ третьего поряд ка, с характеристическим уравнением вида
(4)
то определитель Гурвица будет
Тогда, в соответствии с критерием Гурвица, для устойчивой системы должны выполняться следующие неравенства
; ; ;
Анализ приведенных неравенств показывает, что выполнения условия положительности всех определите лей Гурвица, все коэффициенты уравнения (4) должны быть также положительны, но, кроме того, должно выпол няться неравенство: а1а2>а0а3. Таким образом, условие положительности всех коэффициентов ai () является необходимым, но не достаточным условием устойчивости рассматриваемой системы. Это утверждение остается спра ведливым и при порядке дифференциального уравнения системы выше третьего (n > 3).
Заметим, что в случае, если 2< 0 (неустойчивая система), то учитывая зависимость коэффициентов а1 от изменяемых параметров системы, необходимо эти парамет ры подобрать таким образом, чтобы выполнялось условие устойчивости: а1а2>а0а3.
Пример 2.
Пусть передаточные функции звеньев замкнутой АСУ, представленной на рис. 8 имеют вид
;
Рис.8
Числовые значения параметров объекта управле ния приняты равными Т0 = 0,1с; = 0,45; k0 = 0,26. Найти числовые значения коэф фициента передачи управляющего устройства ky удовлетворяющего требованиям устойчивости системы.
Решение
Найдем передаточную функцию разомкнутой сис темы
Запишем передаточную функцию замкнутой сис темы по каналу х.
Характеристическое уравнение системы имеет вид аналогичный (4). В нашем случае а0 = T02 = 0,01; а1 = = 2Т0 = 0,09; а2 = 1,0; а3 = 0,26ky . Согласно критерию Гурвица для устойчивой системы третьего порядка должно выполняться неравенство: а1а2>а0а3.
После подстановки числовых значений коэффициентов окончательно получим ky<34. Это неравенство и является условием устойчивости рассматриваемой системы.
Заметим, что для характеристических уравнений высоких степеней (n>5) анализ влияния коэффициентов на определитель Гурвица резко усложняется. Свободными от этого недостатка являются частотные критерии устой чивости.
Для рассмотрения частотных критериев устойчивости определим сначала, что такое частотная характеристика.
Частотные характеристики динамического звена
Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента , полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции
Частотная функция характеристика как функция комплексного аргумента может быть представлена в следующем виде –
где – действительная (вещественная) часть ,
– мнимая часть ,
– модуль (амплитуда) ,
– фаза аргумент .
Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями частоты, поэтому частотная характеристика используется и графически представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.
В теории автоматического управления рассматривают и используют следующие частотные характеристики динамических звеньев:
.
.
.
.
На рис. 9 покажем частотные характеристики некоторого динамического звена.
Рис. 9
Частотные критерии основаны на анализе располо жения тех или иных частотных характеристик на плоскос ти. При этом достигается:
Частотные критерии можно разделить на две группы. К первой группе относится критерий Михайлова, который обычно используется для исследования устойчи вости сложных систем, ко второй - критерий Найквиста, применяемый для исследования устойчивости замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой систе мы (используется, когда размыкание системы приводит к существенным упрощениям частотной функции).
Пусть дано уравнение замкнутой системы
где - передаточная функция замкнутой системы.
Тогда ДУ системы, преобразованное по Лапласу можно записать в виде:
где - характеристичес кий полином n-ной степени.
В соответствии с основной теоремой алгебры этот полином можно разложить на множители в виде:
(5)
где p1, p2, …, pn - корни характеристического уравнения А(р) = 0.
Выражение (5) действительно при любых значе ниях p, в частности при p=j. Тогда (5) можно перепи сать так:
(6)
Выражение (6) называется кривой Михайлова и обычно обозначается D(j) = A(j). Каждый сомно житель выражения (6) отображается на комплексной плоскости вектором, конец которого лежит на мнимой оси (рис.10).
Рис. 10
В основу критерия Михайлова положен принцип ар гумента: произведение комплексных чисел имеет аргумент, равный сумме аргументов всех его сомножителей.
В нашем случае при изменении от - до + векторы сомножителей (j - pi), i = 1,n, поворачиваются на угол (6). Если корни лежат в левой части полу плоскости, то изменение угла будет положительным, если в правой, - то отрицательным (вектор (j - pi) поворачи вается против часовой стрелки в левой полуплоскости и по часовой стрелке - в правой).
Запишем выражение (6) в показательной форме. Учтем, что
где ;
Тогда
(7)
Из (6) вытекает, что изменение аргумента век тора Михайлова D(j) равно сумме изменений аргумента каждого сомножителя выражения (7), т.е.
Если все корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси (т. е. система устойчива), то изменение аргумента каждого из сомножителей (j - pi) при изменении от - до + , равно +, а изменение аргу мента произведения всех сомножителей arg D(j) = + n.
Если хотя бы один корень будет расположен в правой полу плоскости (система неустойчива), то изменение аргумента вектора Михайлова arg D(j) = + (n – 2).
Заметим, что при изменении от - до + кривая Михайлова симметрична относительно оси абсцисс, что позволяет ограничиться изучением кривой в диапазоне из менения от 0 до + . Тогда условие устойчивости системы по Михайлову можно записать в виде
(8)
Годографы кривой Михайлова при изменении от 0 до + для устойчивых систем при различных значениях n приведены на рис. 11.
Рис. 11
В соответствии с (8) критерий Михайлова фор мулируется следующим образом:
для того, чтобы замкнутая система была ус тойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении со от от 0 до + вектор Михайлова D(jw) повернулся на угол .
Рассматривая расположение D(jw) на комплексной плоскости (рис.6), условие устойчивости можно сфор мулировать иначе: чтобы система была устойчива, необхо димо и достаточно, чтобы годограф вектора D(jw) прошел на комплексной плоскости последовательно n квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки), не проходя через начало координат. Если годограф про ходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. Расположение годографа на комп лексной плоскости для различных систем иллюстрируется рис. 12.
Рис. 12
Н – система неустойчива
У – система устойчива
ГУ – система на границе устойчивости
Пусть дана замкнутая АСУ, структурная схема которой представлена на рис. 13. Запишем изображение выходной величины в виде:
(9)
где - передаточная функция по каналу xy замкнутой системы.
- передаточная функция разомкнутой системы.
Рис. 13
Подставив Wxy(p) в (9), можем записать
откуда характеристическое уравнение замкнутой системы
или
В реальных системах степень полинома Вp(p) мень ше степени полинома Ap(p) вследствие инерционности дина мических звеньев. Следовательно, полином {Ap(p) + Вp(p)} имеет ту же степень, что и Ap(p).
При p=j, разложив соответствующие полиномы на множители, имеем
где p1i и p2i – корни уравнений Ap(j) + Вp(j)=0 и Ap(j)=0 соответственно; A – вещественный коэффициент.
Рис. 14
В соответствии с первым методом Ляпунова, за мкнутая система устойчива, если все корни p1i лежат в левой полуплоскости. Если разомкнутая система устойчива, то корни p2i уравнения Ap(j)=0, тоже лежат в левой полу плоскости. Поскольку при делении комплексных чисел их аргументы вычитаются, то при изменении от - до + arg [1+Wp(j)] =0. Следовательно, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора {1+Wp(j)} не охватывал начало координат при изменении от - до + . При = 0 и при соответственно 1+Wp(j)=const и 1+Wp(j)1. Годограф вектора {1+Wp(j)} представлен на рис. 14, а.
Если сместить ось ординат вправо на + 1, то начало координат в новой системе совпадет с началом вектора Wp(j), а старое начало координат в новой системе совпадет с точкой (-1;у0) (рис. 14, б).
Таким образом, критерий Найквиста можно сфор мулировать следующим образом:
чтобы замкнутая сис тема была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении от нуля до бесконечности не охватывала точку с координатами (- 1;j0).
Заметим, что обратное утверждение является только необходимым, но недостаточным условием неус тойчивости системы.
Пример 3.
Определим вид АФЧХ при различных частотных характеристиках разомкнутой системы.
Решение.
Если Т1 = 0, то АФЧХ имеет вид, показанный на рис. 14, а, если Т1 0, то АФЧХ имеет вид, пока занный на рис. 15, б. Поскольку АФЧХ разомкнутой системы с частотной функцией WP1(j) при любых Тi > 0 (i = 1, 2) не пере секает отрицательную полуось абсцисс, то эта сис тема всегда устойчива.
Годограф вектора WP2(j) представлен на рис. 15,в, и при определенных параметрах, на пример при увеличении к, может охватить точку (-1;у0). При этом система потеряет устойчивость.
Рис. 15
Пример 4.
Для условий примера 3 проверить устойчивость АСУ с помощью критерия Найквиста при коэффи циенте передачи устройства управления ky=20.
Решение.
Запишем частотную функцию разомкнутой систе мы Wp(j) в виде
Подставив в полученное выражение числовые зна чения параметров: Т0= 0,1с; = 0,45; k0 = 0,26; ky = 20, окон чательно получим
Найденная зависимость позволяет построить годог раф Wp(j) (рис.16). Как видно из рисунка, годограф Wp(j) не охватывает точку (-1, j0), пересекая ось абсцисс в точке (-0,57, j0), что свидетельствует о достаточном за пасе устойчивости при принятом коэффициенте передачи ky=20.
Рис. 16
Приложение
Вариант 1.
,
T=2, k=10, =0.5
Вариант 2.
, ,
T=2, k=10, =0.5
Вариант 3.
,
T=3, k=10, =0.5
Вариант 4.
, ,
T=2, k=10
Вариант 5.
,
T=2, k=10, =0.5
Вариант 6.
, ,
T=2, k=10
Вариант 7.
,
T=2, k=10, =0.5
Вариант 8.
, ,
T=2, k=10, =0.5
Вариант 9.
,
T=3, k=10, =0.5
Вариант 10.
, ,
T=2, k=10
Вариант 11.
,
T=2, k=10, =0.5
Вариант 12.
, ,
T=2, k=10