Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Содержание
1.Теория Фредгольма……………………………………………………………2
2. Однородные уравнения…………………………………………………….2
3. Неоднородные уравнения…………………………………………………4
4. Определитель Фредгольма и основные результаты.……………………………………………………………………………5
5. Уравнения Фредгольма 1-го рода……………………………………6
1. Теория Фредгольма
Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.
Названа в честь основного разработчика — шведского математика Эрика Ивара Фредгольма.
2. Однородные уравнения
Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:
Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:
где функция f — задана, а g — неизвестна. Здесь L — линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за L эллиптический оператор:
в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:
где - дельта-функция Дирака. Далее:
Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция K(x,y) известна как функция Грина, или ядро интеграла. В общей теории, x и y могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или m-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.
Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:
Где — собственные числа, а — собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.
Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:
Где — двойственен к . В данной форме, объект K(x,y) часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:
Поскольку обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора K(x,y) убывают к нулю.
3. Неоднородные уравнения
Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:
может быть написано формально как:
Тогда формальное решение:
Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор
Заданному набору собственных векторов и собственных значений K можно сопоставить резольвенту конкретного вида:
с решением:
Необходимое и достаточное условие существования такого решения — одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням , в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:
Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром.
Резольвента пишется в альтернативной форме:
4. Определитель Фредгольма и основные результаты
Определитель Фредгольма обычно определяется как:
, где
, и так далее.
Соответствующая дзета-функция:
Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта — Пойа.
Основные результаты
Классические результаты данной теории — это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.
Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро — это компактный оператор, где пространство функций — это пространство равностепенно непрерывных функций.
Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на компактных многообразиях.
5. Уравнения Фредгольма 1-го рода
Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:
при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.
6. Уравнения Фредгольма 2-го рода
Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:
Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: ,а ядро и свободный член должны быть непрерывными: , либо удовлетворять условиям:
Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми.
Если на , то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.