Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Конструктивные способы определения вещественного числа[править]
Основная статья: Конструктивные способы определения вещественного числа
При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел ), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием.
Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.
Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда[3][13].
Теория фундаментальных последовательностей Кантора[править]
См. также: Теория фундаментальных последовательностей Кантора
В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:
Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными.
Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел , обозначим .
Два вещественных числа
и ,
определённые соответственно фундаментальными последовательностями и , называются равными, если
Если даны два вещественных числа и , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и :
Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число по определению больше числа , то есть , если
Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкциипополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже являетсяполным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.
Теория бесконечных десятичных дробей[править]
См. также: Теория бесконечных десятичных дробей
Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида
где есть один из символов или , называемый знаком числа, — целое неотрицательное число, — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .
Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида
и для всех
Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа
Если , то ; если то . В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что . Если , то ; если то .
Однако, при этом следует учитывать, что число . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.
Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:
Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.
Теория сечений в области рациональных чисел[править]
См. также: Теория сечений в области рациональных чисел
В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.
Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:
Если существует число , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от . Говорят также, что рациональное число производит данное сечение множества рациональных чисел.
Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:
Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.
Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:
Аксиоматический подход[править]
Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.
В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.
Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации модели абстрактного понятия «число три».
Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.
Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в видуаксиоматизацию геометрии, как-то заметил: