тематических объектов
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-20
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ИСФ, лектор Косарева Л.И.
Зимняя сессия 2012 – 2013 уч. года
Линейная алгебра
- Матрицы (прямоугольная, одностолбцовая). Квадратная, диагональная, единичная, скалярная, (не-)вырожденная или (не-)особенная).
- Линейные операции с матрицами (сумма, умножение на число) и их свойства.
- Определение линейного векторного пространства. {Опр. Мн-во математических объектов...}
- Умножение матриц. Умножение строки на столбец. Перестановочные (коммутирующие) матрицы. 5 свойств произведения (5. : ). Теорема об определителе произведения квадратных матриц.
- Операция транспонирования, 4 св-ва.
- Обратная матрица. Т.1. Необходимое условие существования обратной матрицы. Т.2 о существовании и единственности обратной матрицы. Свойства обратной матрицы (5 свойств).
- Минор матрицы. Ранг матрицы. Базисный минор.
- Ступенчатая матрица (трапециевидная). Теорема об определении ранга ступенчатой матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований. Определение эквивалентных матриц. Теорема о равенстве рангов эквивалентных матриц.
- Определители (определение, 2-го и 3-го порядка, правило Саррюса, 8 свойств). Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя по элементам ряда, следствие: сумма произведений элементов одного ряда на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю. Определители высших порядков.
- Общая теория линейных систем. Основные определения: коэффициенты, свободные члены, решение, тривиальное решение, (не-)совместные, (не-)определённые, однородные.
- Матричная запись системы линейных уравнений. Основная и расширенная матрица системы, одностолбцовые матрицы неизвестных и свободных членов.
- Крамеровские системы. Т. Крамера.
- Матричная запись произвольных систем. Элементарные преобразования системы линейных уравнений (расширенной матрицы системы). Метод Гаусса. Т. Кронекера-Капелли. Базисные и свободные переменные. Общее решение. Зависимость числа решений совместной системы от соотношения числа неизвестных и ранга матрицы системы.
- Однородные системы, совместность, тривиальное решение. Теорема о существовании нетривиального решения.
Векторная алгебра
- Свободный геометрический вектор. Определение равных векторов. Нулевой вектор. Коллинеарные, сонаправленные, противонаправленные векторы.
- Линейные операции над векторами: сложение, умножение на число, свойства.
- Линейное векторное пространство.
- Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
- Пространство геометрических векторов, его размерность, базис. Разложение вектора по базису, координаты вектора.
- Декартов координатный базис. Орты осей декартовой системы координат. Утверждение об единственности представления произвольного вектора в виде линейной комбинации векторов декартова базиса.
- Проекция вектора на ось и на другой вектор. Свойства проекций.
- Определение координат вектора в декартовой прямоугольной с.к.
- Направляющие косинусы вектора.
- Орт вектора. Координаты орта. Компоненты вектора.
- Скалярное произведение. Свойства. Формулы: косинус угла между векторами, проекция на вектор, квадрат длины вектора, условие ортогональности векторов. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Запись вектора в виде вектор-строки или вектор-столбца.
- Ориентированные тройки. Циклические перестановки.
- Векторное произведение. Свойства. Условие коллинеарности векторов. Формула площади параллелограмма. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- Смешанное произведение. Теорема о геометрическом смысле смешанного произведения. Вычисление объёма параллелепипеда. Условие компланарности векторов. Определение ориентации тройки векторов.
Аналитическая геометрия
- Уравнения линии на плоскости в декартовой с.к., параметрические, в полярной с.к.
- Прямая на плоскости как алгебраическая линия 1-го порядка.
- Виды уравнений прямой: 1) через точку перпендикулярно заданному вектору; 2) общее; 3) с угловым коэффициентом; 4) в отрезках; 5) нормированное, или нормальное; 6) каноническое; 7) через две точки; 8) параметрические; 9) векторные; 10) векторно-параметрические.
- Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых.
- Плоскость в пространстве как алгебраическая поверхность 1-го порядка.
- Виды уравнений плоскости: 1) через точку перпендикулярно заданному вектору; 2) общее; 3) в отрезках; 4) нормированное, или нормальное; 5) через три точки; 6) векторное.
- Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Пучок плоскостей, связка плоскостей.
- Прямая в пространстве. Виды уравнений: 1) общие; 2) канонические; 3) параметрические; 4) векторное; 5) векторно-параметрическое.
- Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми.
- Взаимное расположение прямой и плоскости.
- Кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение. Вывод канонического уравнения. Исследование формы кривой. Эксцентриситет. Директрисы. Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду путём преобразования системы координат.
Введение в математический анализ
- Множества и подмножества. Классификация. Равные множества. Действия над множествами. Подмножества множества вещественных чисел. Окрестности.
- Ограниченные и неограниченные числовые множества. Точные грани.
- Понятие функции. Понятие числовой последовательности.
- Предел функции 1) в точке; 2) на бесконечности; 3) односторонний.
- Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- Б.м. функции и последовательности. Теоремы о б.м. Необходимое и достаточное условие существования предела.
- Б.б. функции и последовательности. Арифметические операции с б.б. функциями и последовательностями.
- Теорема о связи б.м. и б.б.
- Неопределённости, возникающие при арифметических действиях с б.м. и б.б.
- Теоремы о переменных (функции, последовательности), имеющих предел: 1) об единственности предела; 2) об арифметических операциях; 3) о пределах переменных, связанных неравенством; 4) о сжатой переменной; 5) об ограниченности переменной.
- Замечательные пределы, следствия.
- Сравнение б.м. и б.б.
- Эквивалентные функции. Теорема о замене эквивалентными в произведении и в отношении. Таблица эквивалентных б.м.
- Символ о-малое, свойства.
- Асимптотическое представление б.м.ф. Главная часть функции
- Непрерывность функции. Классификация точек разрыва