Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Реферат з вищої математики
на тему:
Кореляційний і регресивний
методи аналізу зв’язку.
Основне завдання кореляційного і регресійного методів полягає в аналізі статистичних даних для виявлення математичної залежності між досліджуваними ознаками і встановлення за допомогою коефіцієнта кореляції порівняльної оцінки щільності взаємозв’язку.
Після того, як через економічний аналіз встановлено, що зв’язок між явищами є, і визначено загальний характер цього зв’язку, статистика за допомогою кореляційного і регресійного методів надає цим зв’язкам числового виразу.
Кореляційний і регресій ний методи аналізу вирішують два основні завдання :
варіацією ознак X i Y,
Найчастіше трапляються такі типи кореляційних зв’язків:
У практиці економіко-статистичних досліджень часто доводиться мати справу з прямолінійною формою зв’язку яку описує рівняння регресії ( рис.1 ) .
На цьому графіку середній арифметичній результативної ознаки Y відповідає пряма, паралельна осі абсцис, лінійне кореляційне рівняння Y(X) зображує похила пряма, а кут нахилу між ними характеризує щільність зв’язку.
Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки Y залежно від зміни факторної ознаки X. Воно визначає математичне сподівання групових середніх результативної ознаки під впливом різних значень факторної ознаки.
У разі лінійної форми зв’яку результативна ознака змінються під впливом факторної ознаки рівномірно:
Ŷx = a0 +a1 X,
Де, Ŷx - згладжене середнє значення результативної ознаки , X - факторна ознака,
a0 і a1 - параметри рівняння , a0 – значення Y при X = 0, a1 – коефіцієнт регресії.
Коефіцієнт регресії a1, вказує на те, наскільки змінюється результативна ознака Y внаслідок зміни факторної ознаки X на одиницю.
Якщо a1 має позитивний знак,то зв’язок прямий, якщо від’ємний - зв’язок обернений.
Y X
Y(X)
Y
0
X
Рис. 1. Теоретична лінія регресії .
Параметри рівняння зв’язку визначають за способом найменших квадратів складеної і роз’язаної системи двох рівнянь з двома невідомими:
Y= na0 +a1 X ,
YX= a0 X + a1 X 2,
де n - число членів у кожному з двох порівнюваних рядів,
X - сума значень факторної ознаки , X 2 - сума кадратів значень факторної ознаки , Y - сума значень результативної ознаки, YX - cума добутків значень факторної та результативної ознак.
Рзв’язавши дану систему рівнянь, дістанемо такі параметри:
X 2 Y - X XY n XY - X Y
a0 = , a1 =
n X 2 - X X n X 2 - X X
Обчисливши за фактичними даними всі записані вище суми й підставивши їх у наведені формули, знайдемо параметри прямої.
Рз\озглянемо розрахунок параметрів лінійного рівняння зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції за даними десяти однорідних підприємств. (табл.1.)
Табл. 1
Розрахунки для визначення параметрів лінійного рівняння зв’язку факторної та результативної ознак.
|
Номер заводу |
Вартість основних виробничих фондів X, млн. грн |
Випуск продукції Y, млн. грн |
X 2 |
XY |
Y2 |
Yx = 0.167+0.421X |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
12 8 10 6 9 15 11 13 14 10 |
5,6 4,0 4,0 2,4 3,6 5,0 4,6 6,5 7,0 4,5 |
144 64 100 36 81 225 121 169 196 100 |
67,2 32,0 40,0 14,4 32,4 75,0 50,6 84,5 98,0 45,0 |
31,36 16,00 16,00 5,76 12,96 25,00 21,16 42,25 49,00 20,25 |
5,2 3,5 4,4 2,7 4,0 6,5 4,8 5,6 6,1 4,4 |
|
Разом |
108 |
47,2 |
1236 |
539,1 |
239,74 |
47,2 |
|
У середньому на один завод |
10,8 |
4,72 |
123,6 |
53,91 |
23,972 |
- |
1236 · 47.2 – 108 · 539.1 58339.2 – 58222.8 116.4
a0 = = = = 0.167
10 · 1236 – 108 · 108 12360 – 11664 696.0
10 · 539.1 – 108 · 47.2 5391.0 – 5097.6 293.4
a1 = = = = 0.421
696.0 696.0 696.0
Тоді лінійне рівняння регресії зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції матиме такий вигляд :
Ŷx = 0.167 + 0.421X.
Отже, при збільшенні вартості основних виробничих фондів на 1 млн грн. Випуск продукції зросте на 0,42 млн грн.
Послідовно підставляючи в дане рівняння значення факторної ознаки X , дістанемо згладжені значення результативної ознаки Ŷx, які й укажуть на те, яким має бути середній розмір випущеної продукції для даного розміру основних виробничих фондів ( за інших рівних умов ).
Згладжені ( теоретичні ) значення ( із заокругленням до десятих ) наведено в останній графі табл. 1. Якщо параметри рівняння визначено правильно,то
Y = Ŷх = 47,2.
Побудуємо графік, який покаже згладжування емпіричних даних рівняння прямої ( рис.1.).
Y
Рис. 2. Емпіричний і згладжені рівні ряду : 1 - Y, 2 - Ŷx =0.167+ 0.421 X, 3- Y = 4.72
Для економічної інтерпретації лінійних і нелінійних зв’язків між двома досліджуваними явищами часто використовують розраховані за рівняннями регресії коефіцієнти еластичності.
Коефіцієнт еластичності показує,на скільки процентів зміниться в середньому результативна ознака Y при зміненні факторної ознаки X на 1 %.
Відповідно до лінійної залежності коефіцієнт еластичності визначається за формулою
X X
= a1 або = a1 ,
Ŷx Y
де , коефіцієнт еластичності.
Підставивши в формулу різні значення X, дістанемо різні .
У наведеному прикладі коефіцієнт еластичності на першому підприємстві при X= 12:
X 12
1 = a1 = 0.421· = 0.97. Отже, 1% приросту вартості основних виробничих
ŶX 5.2
9
фондів випуск продукції зростає на 0,97%.На п’ятому підприємстві при X=9: 5 =0.421· = 0.95,
4
На десятому при X = 10: 10 =0.96%.
Для всіх підприємств разом коефіцієнт еластичності
X 10.8
= a1 = 0.421 · = 0.963 % .
Y 4.72
Це означає, що при збільшенні середньої вартості основних виробничих фондів на 1 % випуск продукції зростає в середньому на 0,963 %.
Якщо залежність між ознаками представити за даними,згладженими параболою другого порядку, то коефіцієнт еластичності має такий вигляд:
X
= (a1 + a2 X ) .
Y
Визначення щільності зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі ґрунтується на правилі додавання дисперсій,як і в методі аналітичного групування. Але на відміну від нього, де для оцінки лінії регресії застосовують групові середні результативної ознаки, в кореляційно-регресійному аналізі для цієї мети використовують теоретичні значення результативної ознаки.
Зобразити і обґрунтувати кореляційно-регресійний аналіз можна на прикладі графіка на рис.1. На ньому є три лінії Y – ламана лінія фактичних даних(1),ŶX - пряма похила лінія 2 теоретичних значень Y при абстрагуванні від впливу всіх факторів, крім фактора X(змінна середня) ,Y – пряма горизонтальна лінія 3, із середнього значення якої виключено вплив на Y всіх без винятку факторів ( стала середня ).
Розбіг лінії змінної середньої Ŷх з лінією сталої середньої Y пояснюється впливом факторної ознаки Х, що,в свою чергу , свідчить про існування між ознаками Y і X наповного не функціонального зв’язку.Для визначення щільності цього зв’язку потрібно обчислити дисперсію відхилень Y і Ŷх , тобто залишкову дисперсію,яка зумовлена впливом усіх факторів, крім Х. Різниця між загальною і залишковою дисперсіями дає теоретичну
( факторну ) дисперсію , яка вимірює варіацію,зумовлену фактором Х . На зіставленні цієї різниці із загальною дисперсією побудовано індекс кореляції, або теоретичне кореляційне відношення:
2 заг - 2 е 2 е 2 у
R = = 1 - , або R =
2 заг заг 2 заг
де 2 заг - загальна дисперсія, 2 е - залишкова дисперсія, 2 у - факторна ( теоретична ) дисперсія.
Факторну дисперсію обчислюють з теоретичних значень за формулою :
( Ŷx - Y ) 2
2Ŷ =
n
або за формулою без теоретичних значень:
( a 0 Y + a 1 XY ) – (Y) 2
2Ŷ = .
n
( Y – Ŷ x )
n
або за правилом додавання дисперсій 2 е = 2 заг - 2 Ŷ .
У наведеному прикладі ( за даними розрахунків у табл..1 ) факторна дисперсія
( 0.167 · 47.2 + 0.421 · 539.1 ) - 4.72 2
2 Ŷ = = 1.206.
10
Загальну дисперсію обчислимо за формулою
2 заг = Y2 - ( Y )2 = 23.974 – 22.278 = 1.696.
Залишкову дисперсію визначаємо як різницю між загальною і факторною дисперсіями :
2 е = 2 заг - 2Ŷ = 1.696 –1.206 = 0.409
Отже, знаходимо індекс кореляції за наведеними вище формулами :
2 заг - 2 е 1.696 - 0.490
R = = = 0.843.
2 заг 1.696
або 2 е 0.490
R = 1 - = 1 - = 0.843
2 заг 1.696
2 Ŷ 1.206
або R = = = 0.711 = 0.843
2 заг 1.696
Індекс кореляції вказує на щільну залежність випуску продукції від вартості основних виробничих фондів.
Коефіцієнт детермінації ( R 2 ) характеризує ту частину варіації результативної ознаки Y, яка відповідає лінійному рівнянню регресії :
2Ŷ 1.206
R2 = = = 0.711
2 заг 1.696
Отже, в обстеженій сукупності заводів 71.1% варіації випуску продукції пояснюється різними рівнями оснащеності заводів основними виробничими фондами.
Індекс кореляції набирає значень від 0 до 1. Коли R=0, то зв’язку між варіацією ознак Y i X немає.Залишкова дисперсія дорівнює загальній, 2 е = 2 заг , а теоретична дисперсія дорівнює нулю, 2 заг= 0, Всі теоретичні значення YX збігаються із середніми значеннями Y, лінія ŶX на графіку збігається з лінією Y, тобто набуває горизонтального положення .
При R=1 теоретична дисперсія дорівнює загальний, 2 Ŷ = 2 заг , а залишкова 2 е = 0.
Фактичні значення Y збігаеться з теоретичними ŶX , зв’язок між досліджуваними ознаками лінійно-функціональний.
Індекс кореляції оцінює щільність зв’язку.Він, як і емпіричне кореляційне відношення,вимірує лише щільність зв’язку і не вказує на її напрямок.
Аби доповнити дослідження визначенням напрямку зв’язку в разі лінійної залежності використовують лінійний коефіцієнт кореляції.
XY – X Y
r = .
x у
Значення r коливається в межах від – 1 до +1. Додатне значення відповідає прямову зв’язку між ознаками, а від’ємне – зворотному. Оцінюють щільність зв’язку за схемою ( табл. 1 )
Таблиця 2
|
Зв’язок |
Лінійний коефіцієнт кореляції |
|
|
Прямий зв’язок |
Зворотний зв’язок |
|
|
Слабкий Середній Щільний |
0.1....0.30 0.3....0.70 0.7....0.99 |
|
Всі дані для обчислення лінійного коефіцієнта кореляції в наведеному прикладі є в табл.1.
x= Х2 - (Х)2 = 123.6 – 10.82 = 6.96 = 2.638
y= Y2 - (Y)2 = 23.974 – 4.722 = 1.302
XY – X Y 53.91 – 10.8 · 4.72 2.9340
r = = = = 0.854
x у 2.638 · 1.302 3.4349
x 2.638
r = а1 = 0.421 · = 0.853,
у 1.302
тобто відповідь вийшла ідентичною.Це означає,що зв’язок між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції сильний ( щільний ) і прямий.
Абсолютне значення лінійного коефіцієнта кореляції збугається з індексом кореляції ( відхилення становить 0.01 ).
Знаведених формул коефіцієнта кореляції можна визначити коефіцієнт регресії, не розраховуючи рівняння зв’язку:
XY – X Y 2.934
a1 = = = 0.421
2x 6.960
або y 1.302
а1 = r = 0.853 · = 0.421.
x 2.638
Перевірку сили зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі здійснюють за допомогою тих самих критеріїв і процедур,що й у аналітичному групуванні.Ступені вільності залежать від числа параметрів рівняння регресії k1 = m –1 і кількості одиниць дослуджіваної сукупності
k2 = n – m.
Істотність зв’язку коефіцієнта детермінації R2 перевіряють за допомогою таблиці критерію F для 5 % - го рівня значущості. Так, при k1 = m –1= 2 – 1 = 1 ( для лінійної моделі) і k2 = n – m = 10 – 2 = 8.
Фактичне значення F-критерію у наведеному вище прикладі визначають за формулою
R2 k2 0.711 8
F ф = = · = 19.68.
1 - R2 k1 1 – 0.711 1
Критичне значення Fт ( 0.95 ) = 5.32 набагато менше від фактичного Fт ( 0.95 ) Fф ( 5.32 19.68) , що підтверджує істотність кореляційного зв’язку між досліджуваними ознаками.
Для встановлення достовірності обчисленого нами лінійного коефіцієнта кореляції використовують критерій Стьюдента ( t – критерій ):
r
tr = ,
r
де r - середня похибка коефіцієнта кореляції,яку визначають за формулою :
1 – r2
r =
При достатньо великому числі спостережень ( n > 50) коефіцієнт кореляції можна вважати достовірним, якщо він перевищує свою похибку в три і більше разів, а якщо він менший ніж три, то зв’язок між досліджуваними ознаками X i Y не доведено.
У наведеному прикладі середня похибка коефіцієнта кореляції
1 – r2 1 – 0.853 2 1 – 0.723 0.277
r = = = = = 0.092
Відношення коефіцієнта кореляції до його середньої похибки
0.853
tr = = 9.27
0.092
Це дає підставу вважати, що обчислений лінійний коефіцієнт кореляції достатньо точно характеризує щільність зв’язку між досліджуваними ознаками.