Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 2
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Digital signals processing. Z - transformation of signals.
Тема 8. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ И СИСТЕМНЫХ ФУНКЦИЙ
Чего не понимают, тем не владеют.
Иоганн Вольфганг Гете. 1770-1831 г.
Великим было хорошо. Записал мудрую мысль и пошел кофе пить. А тут иногда понимаешь как попугай нотную грамоту, владеешь как рыба ружьем, а делать приходится. И что интересно – неплохо получается. Было бы желание.
Виль Ибрагимов. Уральский геофизик, 1937-2006 г.
Содержание
Введение.
1. Z – трансформация сигналов. Определение z-преобразования. Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Отображение z-преобразования.
2. Пространство z-полиномов. Область сходимости. Примеры z-преобразования. Аналитическая форма z-образов.
3. Свойства z-преобразования. Линейность. Задержка. Преобразование свертки. Разложение сигналов на блоки последовательной свертки. Дифференцирование.
4. Обратное z-преобразование. Методы преобразования. Преобразование интегрированием по контуру. Преобразование разложением на дроби. Метод степенных рядов.
5. Применение z – преобразования. Описание дискретных систем. Геометрическая оценка АЧХ и ФЧХ системы. Вычисление частотной характеристики с помощью БПФ. Анализ устойчивости систем. Связь разностных уравнений и передаточных функций.
Введение
Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными преобразованиями сигналов и обрабатывающих данные сигналы систем. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, и его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.
Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Оно играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как для аналоговых – преобразование Лапласа. Большое значение z-преобразование имеет для расчетов рекурсивных цифровых систем обработки сигналов, а потому рассматривается отдельной темой перед началом изучения рекурсивных цифровых фильтров.
8.1. Z – ТРАНСФОРМАЦИЯ сигналов [4, 12, 22].
Определение z-преобразования. Z- преобразование является обобщением дискретного преобразования Фурье. Особенно эффективно оно используется при анализе дискретных систем и, в частности, при проектировании рекурсивных цифровых фильтров.
Впервые z-преобразование введено в употребление П.Лапласом в 1779 и повторно "открыто" В.Гуревичем в 1947 году с изменением символики на z-k. В настоящее время в технической литературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т.к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно z0), числовое пространство которых в общем случае от - до +. В дальнейшем в качестве основной будем использовать символику положительных степеней z, давая пояснения по особенностям отрицательной символики, если таковая имеется.
Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами sk = s(kDt), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в однозначное соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения sk:
sk = s(kDt) Û TZ[s(kDt)] =sk zk = S(z). (8.1.1)
где z = s+jw - произвольная комплексная переменная. В показательной форме z = rexp(-jj), где r = |z| = , j = arg(z) =argtg(w/s).
Пример 1: sk = {1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 0}.
S(z) = 1z0+2z1+0z2-1z3-2z4-1z5+0z6+0z7 = 1+2z-z3-2z4-z5.
В каузальных системах значения импульсного отклика систем существуют при k ≥ 0 и уравнение (8.1.1) действует в одностороннем варианте:
H(z) =hk zk.
В общем случае, z-преобразование – это степенной ряд с бесконечным количеством членов, поэтому он может сходиться не для всего пространства значений z. Область z, в которой z-преобразование сходится и значения S(z) конечны, называют областью сходимости.
Пример 2: Последовательность (сигнал) конечной длины, непричинная: s-k = {1, 2, 3, 2, 1}, k = 0, 1, 2, 3, 4.
S(z) = 1z0+2z-1+3z-2+2z-3+1z-4 = 1+2/z+3/z2+2/z3+1/z4.
Очевидно, что S(z) = ∞ при z = 0. Область сходимости – все значения z, за исключением z = 0.
Пример 3: Последовательность конечной длины, причинная (как импульсный отклик каузальной системы): sk = {1, 2, 3, 2, 1}, k = 0, 1, 2, 3, 4.
S(z) = 1z0+2z-1+3z-2+2z-3+1z-4 = 1+2z+3z2+2z3+z4.
S(z) = ∞ при z = ∞. Область сходимости – все значения z, за исключением z = ∞.
Пример 4: Последовательность конечной длины, двусторонняя (как импульсный отклик симметричного фильтра): sk = {1, 2, 3, 2, 1}, k = -2, -1, 0, 1, 2.
S(z) = 1z-2+2z-1+3z0+2z1+1z2 = 1/z2+2/z+3+2z+z2.
S(z) = ∞ при z = 0 и z = ∞. Область сходимости не включает точки z = 0 и z = ∞.
Пример 5: Последовательность бесконечной длины, причинная (как импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра): sk = 0 при k < 0, s = 1 при k ≥ 0.
S(z) = z-0+z1+z2+z3+ … = 1+z+z2+z3+ … = 1/(1-z)
Ясно, что ряд может удовлетворять условию сходимости только при |z| < 1.
Значения z, для которых S(z) = ∞, называются полюсами, а для которых S(z) = 0, называются нулями функции S(z). Как видно из примеров, для последовательностей конечной длины z-преобразование сходится везде кроме точки z=∞ для имеющих правостороннюю часть (k≥0), и точки z=0 для имеющих левостороннюю часть (k<0), в любых их комбинациях. Для бесконечных причинных последовательностей преобразование сходится везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.
По заданному или полученному в результате анализа какой-либо системы z-полиному однозначно восстанавливается соответствующая этому полиному функция путем идентификации коэффициентов степеней при zk с k-отсчетами функции.
Пример 6: S(z) = 1+3z2+8z3-4z6-2z7 = 1z0+0z1+3z2+8z3+0z4+0z5-0z6-2z7.
sk = {1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.
Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала s(k) на величину zn означает задержку сигнала (сдвиг вправо по временной оси) на n интервалов: znS(z) Û s(k-n). Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше примере выполнить умножение многочлена S(z), например на z2, выполнить обратное преобразование и получить новый сигнал sk = {0, 0, 1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.
Z-образы с положительными степенями z соответствуют каузальным (физически реализуемым) процессам и системам, которые работают в реальном масштабе времени с текущими и "прошлыми" значениями сигналов. При обработке информации на ЭВМ каузальность сигналов не относится к числу ограничений и возможно использование отрицательных степеней z, соответствующих отсчетам сигналов "вперед". Последнее применяется, например, при синтезе симметричных операторов фильтров, что позволяет производить обработку информации без внесения в сигнал фазовых искажений. При использовании символики z-1 "прошлым" значениям соответствуют значения с отрицательными степенями z, "будущим" – с положительными.
Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и спектральном анализе.
Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Запишем дискретный сигнал sk в виде суммы весовых импульсов Кронекера:
sk = s(kDt) =s(nDt) d(kDt-nDt).
Определим спектр сигнала по теореме запаздывания:
S() =s(kDt) exp(-jwkDt).
Выполним замену переменных, z = exp(-jwDt), и получим:
S() =s(kDt)zk = S(z).
Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-преобразования при z = exp(-jwDt).
Аналогичной подстановкой z = exp(-p) может осуществляться переход к дискретному преобразованию Лапласа. В общем виде:
S(w) = S(z), z = exp(-jwDt); S(p) = S(z), z = exp(-pDt). (8.1.2)
Обратное преобразование:
S(z) = S(w), w = ln z / jDt; S(z) = S(p), p = ln z/Dt. (8.1.3)
При отрицательной символике z связь между представлениями осуществляется соответственно подстановками z-1 = exp(jwDt) и z-1 = exp(p).
При zk = exp(-jwkDt) z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов kDt), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента w).
Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 8.1.1). В частности, спектральной оси частот w на z-плоскости соответствует окружность радиуса:
|z| = |exp(-jwDt)| = = 1.
Рис. 8.1.1. Комплексная z-плоскость
Подстановка значения какой-либо частоты w в z = exp(-jwDt) отображается точкой на окружности. Частоте w = 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста wN = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0). Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки wN совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают повторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по полной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала задается на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс.
Отсюда следует также, что область сходимости устойчивых каузальных систем на z-плоскости представляет собой круг единичного радиуса.
Сигналы и системы непрерывного времени очень часто описываются с помощью преобразования Лапласа. Если z=exp(-sDt), где s=s + jw, то
z = exp(-(s + jw)Dt) = exp(-sDt) exp(-jwDt).
Следовательно, |z| = exp(-sDt), arg(z) = wDt = 2pfDt = 2pf/fD, где fD - частота дискретизации, при этом ось w отображается на z-плоскости единичной окружностью, правая сторона s-плоскости отображается внутрь окружности, а левая сторона – на внешнюю сторону окружности. При использовании символики z-1 отображение сторон s-плоскости на z-плоскости меняется местами.
8.2. ПРОСТРАНСТВО Z-ПОЛИНОМОВ [2, 12, 36].
Область сходимости. Полином S(z) (8.1.1) называют z-образом или z-изображением функции s(kDt). Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд S(z) сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек:
|sk||z|k < ∞
В общем случае, множества z, для которых полиномы S(z) сходится, образуют на z-плоскости определенные области, показанные на рис. 8.2.1.
Рис. 8.2.1.
Из приведенной выше связи z-преобразования с преобразованием Фурье следует, что если функция s(t) имеет спектральное представление S(w), то единичная окружность |z| = |exp (-jw)| = 1 обязательно должна входить в область сходимости полинома S(z). И наоборот, если область сходимости полинома S(z) включает в себя единичную окружность, то дискретное преобразование Фурье функции s(t) – прообраза полинома S(z), должно существовать, а в противном случае – нет. Последнее следует из того, что z-преобразование, являясь более общим случаем преобразования дискретных функций, может существовать и для функций, для которых не существует преобразования Фурье. Примером этого может служить функция единичного скачка:
un = 1, n ≥ 0; un = 0, n < 0.
Для преобразования Фурье функции u(n) не выполняется условие абсолютной суммируемости (энергия функции бесконечна). Но для z-преобразования имеем:
|uk||z|k =|z|k < ∞, при |z| < 1.
Примеры z-преобразования часто встречающихся на практике дискретных сигналов.
Импульсы Кронекера. В общем случае, для импульса Кронекера в произвольной точке числовой оси:
d(k-n) =1 при k=n, d(k-n) = 0 при k ≠ n.
Xd(z) =d(k-n) zk = zn.
Для импульса Кронекера в нулевой точке соответственно Xd(z) = z0 =1. Ряд Xd(z) сходится на всей z-плоскости.
Функция Хевисайда (единичный скачок, причинная последовательность бесконечной длины, например, импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра).
x(k) = 0 при k < 0, x(k) = 1 при k 0.
X(z) =zk = zk.
Ряд сходится при |z| < 1, при этом его сумма равна:
X(z) = 1/(1-z).
Z-преобразование действительно везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.
При использовании символики z-1:
X(z) = 1/(1-z-1) = z/(z-1), |z| > 1.
На границе области аналитичности функция X(z) имеет один простой полюс при z=1.
Экспоненциальная функция:
x(k) = 0 при k < 0, x(k) = ak при k 0.
X(z) =x(k) zk = ak zk = (az)k.
Как и в предыдущем случае, ряд сходится при |az| < 1, при этом:
X(z) = 1/(1-az), |z| < 1/a.
При использовании символики z-1:
X(z) = z/(z-a), |z| > a.
Комплексная экспонента:
x(k) = exp(jwk), k ≥ 0; x(k) = 0, k < 0.
X(z) =exp(jwk) zk =(z exp(jw))k = 1/(1- z exp(jw)), |z| < 1.
Аналитическая форма z-образов существует для z-преобразований, если возможно свертывание степенного ряда в аналитическое выражение. Выше, в примерах z-преобразования, уже приводилось приведение к аналитической форме z-образов функции Хевисайда и экспоненциальной функции. Ниже в таблице приводится z-трансформация ряда распространенных функций, которые могут использоваться для прямого и обратного преобразования.
Таблица 8.2.1.
|
Функция s(k), k≥0 |
z - образ S(z) |
z-1 – образ S(z) |
|
b |
b / (1-z), |z| < 1 |
bz / (z-1), |z| > 1 |
|
b k |
bz / (1-z)2, |z| < 1 |
bz / (z-1)2, |z| > 1 |
|
b k2 |
bz (1+z) / (1-z)3, |z| < 1 |
bz (z+1) / (z-1)3, |z| > 1 |
|
b ak |
b / (1 - za), |z| < 1/a |
bz / (z - a), |z| > a |
|
bkak |
baz / (1 - za)2, |z| < 1/a |
baz / (z - a)2, |z| > a |
|
cos ak |
(1-z cos a) / (1-2z cos a+z2), |z| < 1 |
z (z-cos a) / (z2-2z cos a+1), |z| > 1 |
|
sin ak |
z sin a / (1-2z cos a+z2), |z| < 1 |
z sin a / (z2-2z cos a+1), |z| > 1 |
|
b exp(-ak) |
b / (1-z exp(-a)), |z| < 1/exp(-a) |
bz / (z-exp(-a)), |z| > exp(-a) |
|
bk exp(-ak) |
bz exp(-a) / (1-z exp(-a))2, |z| < 1/exp(-a) |
bz exp(-a) / (z-exp(-a))2, |z| > exp(-a) |
В таблице приведены преобразования как для символики z, так и для символики z-1 (по Гуревичу), которая иногда бывает удобней в некоторых математических операциях. Переход из одной символики в другую достаточно прост и выполняется заменой z в одной символике на 1/z в другой.
8.3. СВОЙСТВА Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [2].
Важнейшим свойством z-преобразования является свойство его единственности. Любая последовательность s(k) однозначно определяется z-изображением в области его сходимости, и наоборот, однозначно восстанавливается по z-изображению.
Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.
Линейность: Если s(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.
Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).
Y(z) =y(k) zk =x(k-n) zk =znx(k-n) zk-n = zn x(m) zm = zn X(z).
Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zn вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.
Преобразование свертки. При выполнении нерекурсивной цифровой фильтрации односторонними операторами фильтров:
s(k) =h(n) y(k-n), k = 0, 1, 2, …
Z-преобразование уравнения свертки:
S(z) =h(n) y(k-n) zk =h(n) zn y(k-n) zk-n =
=h(n) zny(k-n) zk-n = H(z) Y(z).
Таким образом, свертка дискретных функций отображается произведением z-образов этих функций. Аналогично, для z-преобразования могут быть доказаны все известные теоремы о свойствах z-образов, что вполне естественно, т.к. при z=exp(-jw) эти свойства полностью эквивалентны свойствам спектров функций.
Разложение сигналов на блоки последовательной свертки. Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни ai, и переписать полином в виде произведения двучленов:
S(z) = a0(z-a1)(z-a2)...,
где а0- последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).
Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обратном преобразовании двучлены (z-ai) превращаются в двухточечные диполи {-ai,1}, а сигнал длиной N представляется сверткой (N-1) диполей:
sk= a0{-a1,1}*{-a2,1}*{-a3,1}* ...
Пример. sk = {1.4464, -2.32, 3.37, -3, 1}. S(z) = z4-3z3+3.37z2-2.32z+1.4464. a0 = 1.
Корни полинома S(z): a1 = 0.8+0.8j, a2 = 0.8-0.8j, a3 = 0.7+0.8j, a4 = 0.7-0.8j,
S(z) = (z-0.8-0.8j)(z-0.8+0.8j)(z-0.7-0.8j)(z-0.7+0.8j).
Корни полинома представлены на z-плоскости на рис. 8.1.1. Корни полинома комплексные и четыре двучлена в координатной области также будут комплексными. Но они являются сопряженными, и для получения вещественных функций следует перемножить сопряженные двучлены и получить биквадратные блоки: S(z) = (z2-1.4z+1.13)(z2-1.6z+1.28).
При переходе в координатную область: sk = {1.13, -1.4, 1} * {1.28, -1.6, 1}.
Таким образом, исходный сигнал разложен на свертку двух трехчленных сигналов (функций).
Дифференцирование. Если имеем s(k) S(z), то z-образ функции ks(k) можно найти, продифференцировав S(z), что бывает полезно для вычисления обратного z-преобразования функций S(z) с полюсами высокого порядка:
ks(k) z dX(z)/dz.
8.4. ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ [43]
Методы преобразования. Обратное z-преобразование позволяет восстанавливать дискретную функцию по ее z-образу. Оно широко используется, например, при определении импульсных характеристик рекурсивных цифровых фильтров. В символической форме:
x(k) = TZ-1[X(z)].
На практике X(z) в процессе расчетов обычно выражается через отношение двух многочленов от z:
X(z) = (b0 + b1 z + b2 z2 + …+ bN zN ) / (a0 + a1 z + a2 z2 + …+ aM zM ) = (8.4.1)
= x(0) + x(1)z + x(2)z2 + … (8.4.1')
Самые распространенные методы обратного преобразования из этой формы X(z):
Метод разложения в степенной ряд наиболее прост и пригоден для выполнения на компьютерах, но он не дает решения в аналитической форме. При задании большого числа точек обратного преобразования требуется также следить за возможным нарастанием числовых ошибок вследствие рекурсии его алгоритма.
Два первых метода позволяют получать результаты в аналитическом виде, но требуют вычисления полюсов функции X(z), что может представлять трудности при высоком порядке функции. При высоких порядках полюсов потребуется также дифференцирование соответствующих порядков.
Преобразование интегрированием по контуру относится к числу математически строгих методов. Оно выполняется интегрированием по произвольному замкнутому контуру C, расположенному в области сходимости и окружающему все особые точки (нули и полюсы) z-образа. Интегрирование удобнее выполнять над полюсами, расположенными внутри контура, включающего центр системы координат, т.е. в символике z-1. В этой символике мы и будем рассматривать данных параграф. Контурный интеграл обратного преобразования:
sk = (1/2pj) . (8.4.2)
Согласно теореме Коши о вычетах, интеграл (8.4.2) равен сумме вычетов (Res) подынтегральной функции относительно всех полюсов этой функции, лежащих внутри контура интегрирования. Каждый вычет связан с определенным полюсом pk:
Res[F(z), pk] = [(z-pk) F(z)] при z=pk. (8.4.3)
где F(z) = zk-1 S(z), m – порядок полюса в точке pk. Для простого полюса:
Res[F(z), pk] = (z-pk) F(z) = (z-pk) zk-1 S(z) при z=pk. (8.4.3')
Пример. Z-образ функции: X(z) = z2 / (z-0.5)(z-1)2.
x(k) = Res[F(z), p1] + Res[F(z), p2]. F(z) = zk-1 X(z) = zk+1 / (z-0.5)(z-1)2.
Функция F(z) имеет простой полюс p1 = 0.5 и полюс второго порядка p2 = 1.
Res[F(z), 0.5] = (z-0.5) zk+1 / (z-0.5)(z-1)2 = zk+1 / (z-1)2 |z=0.5 = 0.5 (0.5)k / (0.5)2 = 2(0.5)k.
Res[F(z), 1] =[(z-1)2 zk+1 / (z-0.5)(z-1)2] = [(z-0.5)(k+1)zk-zk+1] / (z-0.5)2 |z=1= 2(k-1).
Результат: x(k) = 2[(k-1) + (0.5)k].
Преобразование разложением на дроби. В этом методе z-образ (8.4.1) раскладывается на рациональные простые дроби с последующим почленным обратным преобразованием с помощью таблицы. Наиболее просто это выполняется, если функция S(z) может быть разложена по степеням z в символике z-1, т.е. представить в следующем виде:
S(z) = s(0) + s(1) z-1+ s(2) z-2 + …
Соответственно, в выражении (8.4.1) отношение многочленов также должно быть в символике z-1. Если полюсы S(z) первого порядка и N = M, то (8.4.1) можно разложить на следующую сумму:
S(z) = B0 + C1/(1-p1z-1) + C2/(1-p2z-2) + … + CM/(1-pMz-M) =
B0 + C1z/(z-p1) + C2z/(z-p2) + … + CMz/(z-pM) = B0 +Ckz/(z-pk). (8.4.4)
B0 = bN / aN.
где Сk – коэффициенты элементарных дробей, которые являются вычетами функции S(z).
Для вычисления коэффициентов Ck умножим левую и правую сторону выражения (8.4.4) на (z-pk)/z и положим z=pk, при этом в правой части за счет множителя (z-pk)=0 при z=pk обнуляются все члены суммы кроме члена с Ck данного полюса, а в левой остается произведение S(z)(z-pk)/z, что и позволяет вычислить значения Ck:
Ck = S(z)(z-pk)/z |z=pk (8.4.5)
Если в (8.4.1) N < M, то значение B0 равно нулю. Если функция S(z) в точке z=pk имеет полюс m-ного порядка, то коэффициент Ck заменяется суммой коэффициентов:
Di /(z-pk)i, (8.4.6)
Di = [ X(z) (z-pk)m/z], при z=pk. (8.4.7)
Пример. Повторим пример преобразования данным способом z-образа функции
X(z) = z2 / (z-0.5)(z-1)2, использованного в предыдущем примере. Функция имеет простой полюс p1 = 0.5 и полюс второго порядка p2 = 1.
X(z) = Cz/(z-0.5) + D1z/(z-1) + D2z/(z-1)2.
С = z/(z-1)2 = 0.5/(0.5-1)2 = 2.
D1 = [(z-1)2 X(z)/z] = [z / (z-0.5)] |z=1= -2.
D2 = (z-1)2 X(z)/z = z/(z-0.5) |z=1= 2.
X(z) = 2z/(z-0.5) + D1z/(z-1) + D2z/(z-1)2.
Обратное преобразование каждой простой дроби выполним по таблице 8.2.1.
Результат: x(k) = 2(0.5)k -2 +2k = 2[(k-1) + (0.5)k]. Результат аналогичен методу вычетов.
Если z-изображение имеет вид дробно-рациональной функции, то разложение на простые дроби с последующим применением таблицы соответствий обычно труда не представляет. Так, например:
S(z) = (b0 + b1 z-1 + b2 z-2) / (1 - a z-1) = b0/(1 - a z-1) + b1 z-1/(1 - a z-1) + b2 z-2/(1 - a z-1).
По таблице соответствия:
X(z) = 1/(1-az-1) → x(k) = ak.
Отсюда, с учетом линейности преобразования и свойства задержки:
x(k) = b0 ak + b1 ak-1 + b2 ak-2.
При преобразовании функций со знаменателями более высоких порядков предварительно следует найти полюса функции. Например, для многочлена второго порядка с полюсами p1 и p2:
S(z) = 1/(1-a1 z-1+a2 z-2) = 1/[(1-p1 z-1)(1-p2 z-1).
Представим S(z) в виде суммы дробей с неизвестными коэффициентами b1 и b2:
S(z) = b1/(1-p1 z-1)+b2/(1-p2 z-1) = (b1- b1 p2 z-1+b2-b2 p1 z-1)/[(1-p1 z-1)(1-p2 z-1).
При равенстве знаменателей в этих двух выражениях должны быть равны и числители:
(b1 + b2) – (b1 p2+b2 p1)z-1 = 1,
а это обеспечивается равенством коэффициентов при одинаковых степенях z. Отсюда получаем систему уравнений:
b1 + b2 = 1.
b1 p2+b2 p1 = 0.
Решая эту систему уравнений, находим значения коэффициентов b1 и b2, подставляем коэффициенты в S(z), выраженное в виде суммы дробей, и по таблице соответствия переводим дроби во временные функции.
Метод степенных рядов. Выражение (8.4.1) можно разложить непосредственно в степенной ряд (8.4.1') путем деления в столбик, для чего числитель и знаменатель функции выражаются предварительно через нарастающий или уменьшающийся показатель степени z. Обратное z-преобразование степенного ряда очевидно.
Пример нарастающей степени z. X(z) = (1+2z+z2) / (1-z+0.4z2).
1 + 2z + z2 | 1 – z + 0.4z2
1 – z + 0.4z2 1 + 3z + 3.6z2 + 2.4z3 + 0.96z4 + … Ряд может быть бесконечным.
3z + 0.6z2
3z – 3z2 + 1.2z3
3.6z2 – 1.2z3
3.6z2 – 3.6z3 + 1.44z4
2.4z3 – 1.44z4
2.4z3 – 2.4z4 + 0.96z5
0.96z4 – 0.96z5
0.96z4 – 0.96z5 + 0.384z6, и т.д.
Обратное преобразование выполняется путем идентификации коэффициентов степеней при zk с k-отсчетами функции: x(k) = {1, 3, 3.6, 2.4, 0.96, …}.
Пример уменьшающихся номеров степени z. X(z) = (1+2z+z2) / (1-z+0.4z2) → (деление на zN числителя и знаменателя полинома) → (z-2+2z-1+1) / (z-2-z-1+0.4).
z-2 + 2z-1 + 1 | z-2 – z-1 + 0.4
z-2 – z-1 + 0.4 1 + 3z + 3.6z2 + 2.4z3 + 0.96z4 + … Результат тот же.
3z-1 + 0.6
3z-1 – 3 + 1.2z
3.6 – 1.2z
3.6 – 3.6z + 1.44z2
2.4z – 1.44z2
2.4z – 2.4z2 + 0.96z3
0.96z2 – 0.96z3
0.96z2 – 0.96z3 + 0.384z4, и т.д.
Метод деления полинома (8.4.1) можно выполнять рекурсивно:
x(0) = b0 / a0,
x(1) = (b1 – x(0) a1) / a0,
x(2) = (b2 – x(1) a1 – x(0) a2) / a0,
…
x(n) = (bn – (x(n-i) ai) /a0, n = 1, 2, 3, …
8.5. ПРИМЕНЕНИЕ Z – ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [43].
Описание дискретных систем обработки сигналов с помощью нулей и полюсов - наиболее широкая область использования z-преобразования. Степенной полином передаточной функции системы вида (8.4.1) с нулями ni числителя и полюсами pj знаменателя всегда может быть представлен в виде произведения сомножителей:
H(z) = K(z-ni) /(z-pj), (8.5.1)
где К – коэффициент передачи (усиления) входного сигнала. Полюсы и нули H(z) могут быть действительными и комплексными, при этом для обеспечения действительных значений коэффициентов ai и bj в (8.4.1) комплексные коэффициенты должны быть представлены комплексно сопряженными парами.
Геометрическая оценка АЧХ и ФЧХ системы. Информацию, содержащуюся в H(z), удобно отображать в виде положения нулей (кружками) и полюсов (крестиками) на z-плоскости. Диаграмма нулей и полюсов наглядно отображает свойства системы и ее устойчивость. Для устойчивых систем все полюсы должны находиться за пределами единичной окружности (внутри окружности при символике z-1) или совпадать с нулями на единичной окружности. На положение нулей ограничений не существует.
По известной диаграмме нулей и полюсов может быть выполнена геометрическая оценка частотной характеристики системы. При z=exp(-jwDt) единичная окружность |z|=1 отображает частотную ось характеристики главного частотного диапазона от w = 0 (z=1) до 2p (z=-1). Каждой точке zs = exp(-jwsDt) может быть поставлен в соответствие вектор (zs – ni) на i-нуль, модуль которого Ui = |(zs – ni)| отображает расстояние от zs до i-нуля, а аргумент fi = arg(zs – ni) - фазовый угол из zs на i-нуль, а равно и вектор (zs – pj) на j-полюс с соответствующим расстоянием Vj = (zs – pj) и фазовым углом jj = arg(zs – pj). При этом амплитудная и фазовая характеристики системы могут быть оценены по выражениям при перемещении точки ws по единичной окружности:
|H(w)| = Ui /Vj, (8.5.2)
arg(H(w)) = fi –jj. (8.5.3)
По (8.5.2) нетрудно сделать заключение, что наибольшее влияние на изменение АЧХ по частоте оказывают нули и полюсы, расположенные ближе к единичной окружности. При расположении нуля непосредственно на окружности гармоника ws в этой точке полностью обнуляется. И, наоборот, при перемещении ws к полюсу, близкому к единичной окружности, происходит резкое нарастание коэффициента усиления системы.
Вычисление частотной характеристики с помощью БПФ. Так как частотная характеристика дискретной системы – это Фурье образ ее импульсной характеристики, то для систем, описанных в общей форме (8.4.1), сначала производится разложение H(z) в степенной ряд (8.4.1'), над коэффициентами которого и выполняется БПФ. Гладкость (разрешение по частоте Df = 1/(NDt)) будет определяться количеством коэффициентов степенного ряда и при необходимости может увеличиваться дополнением ряда нулями.
Альтернативный способ – вычисление БПФ непосредственно коэффициентов bn числителя и am знаменателя выражения (8.4.1) с последующим алгебраическим делением B(k)/A(k) результатов БПФ. Количество коэффициентов bn и an в (8.4.1) обычно невелико и для получения достаточно гладких частотных характеристик их продлевают нулями до необходимого значения N = 1/(DtDf).
Анализ устойчивости систем выполняется для рекурсивных систем с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-систем). Такие системы описываются либо непосредственно в виде разностного уравнения, либо передаточной функцией в виде z-образа импульсной характеристики или разностного уравнения. Общее условие устойчивости импульсной характеристики системы:
|h(k)| < ∞.
Для рекурсивных систем начальный индекс суммирования равен нулю. Практически это означает, что любой ограниченный входной сигнал в устойчивой системе порождает ограниченный выходной сигнал.
В устойчивой системе все полюсы передаточной функции H(z) должны находиться за границами единичной окружности z=exp(-jwDt) (внутри окружности при символике z-1). Система с полюсом на единичной окружности также считается неустойчивой (потенциально неустойчивой), даже если во входном сигнале нет гармоники с частотой, соответствующей положению данного полюса на окружности. Это определяется тем, что в соответствии с (8.5.1) коэффициент усиления системы в точке полюса равен бесконечности и любой бесконечно малый сигнал на этой частоте даст бесконечно большой сигнал на выходе. Естественно, что для практических систем понятия бесконечности не существует и можно пытаться принять определенные меры для исключения таких критических частот. Так, например, в интегрирующих системах полюс находится на нулевой частоте и из входного сигнала можно исключить постоянную составляющую, но при этом изменяется и характер интегрирования (только динамические составляющие входного сигнала). Следует также учитывать, что во входных сигналах обычно всегда присутствует определенный статистический шум, наблюдаются скачки, присутствует шум квантования и т.п. эффекты с непрерывным частотным спектром, которые могут приводить к огромным ошибкам при обработке данных в потенциально неустойчивых системах. Практически осуществимый способ повышения устойчивости систем – компенсировать полюсы на окружности нулями в этих же точках, но это может приводить к существенному изменению частотной характеристики системы.
Оценку устойчивости рекурсивной системы можно проводить и по виду ее импульсной характеристики (вычислением обратного z-преобразования или подачей импульса Кронекера на вход (алгоритм) системы). Если значения коэффициентов увеличиваются по мере роста номеров – система неустойчива. Если они очень медленно уменьшаются (медленно стремятся к нулю) – система устойчива минимально, имеет большое время установления рабочего режима, при определенных условиях может давать большие погрешности в обрабатываемых данных.
Связь разностных уравнений и передаточных функций рекурсивных систем. Стандартная запись разностного уравнения системы (связи входного воздействия x(k) и выходного сигнала y(k) при известных постоянных параметрах нерекурсивной bn и рекурсивной am трансформации сигналов):
y(k) = bn x(k-n) -am y(k-m). (8.5.4)
От разностного уравнения с использованием свойства задержки z-преобразования
bn x(k) bn X(z),
bn x(k-n) bn zn X(z),
нетрудно перейти к z-образу разностного уравнения системы:
Y(z) = bn X(z) zn -am Y(z) zm. (8.5.5)
Отсюда, передаточная функция системы:
Y(z) (1+am zm) =bn X(z) zn.
H(z) = Y(z) / X(z) = bn zn /(1+am zm). (8.5.6)
И, наоборот, при приведении выражения (8.4.1) к виду (8.5.6) (нормировкой на a0) можно без дальнейших преобразований переходить к выражению (8.5.4).
Пример. Передаточная функция: H(z) = 2(1-z) / (2+z). Определить алгоритм вычислений.
H(z) = Y(z)/X(z) = (1-z) / (1+0.5z).
Y(z) + 0.5 z Y(z) = X(z) – z X(z).
y(k) + 0.5 y(k-1) = x(k) – x(k-1)
Результат: y(k) = x(k) – x(k-1) - 0.5 y(k-1)
литература
2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.- 448 с. (с. 388-391)
4. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
12. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. - М.: Недра, 1985.- 300 с.
22. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1993.- 350 с.
42. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. СПб, ИАнП РАН, 1999.
43. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с.
Главный сайт автора ~ Лекции по сигналам ~ Практикум
О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.
Copyright ©2008 Davydov А.V.