Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема: Пределы.
Пример 1.
Найти пределы функций:
1)
так как функция непрерывна в предельной точке , поэтому находим предел функции как частное значение в предельной точке.
.
2) =.
3) .
Неопределенность типа
Чтобы найти предел дробной рациональной функции при , необходимо подставить в числитель и знаменатель дроби. Если при этом получится неопределенное выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на , где - наивысшая степень знаменателя.
Пример 2. Найти предел функции: .
Решение:
Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , т.е. имеет место неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получаем:
=
так как при каждая из дробей , , , стремится к нулю.
Пример 3. Найти предел: .
Решение:
Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , т.е. имеет место неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на (наивысшая степень знаменателя), получаем:
=.
Пример 4. Найти предел: .
Решение:
Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , т.е. имеет место неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на (наивысшая степень знаменателя), получаем:
=.
Таким образом, если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел при равен нулю; если степень знаменателя меньше степени числителя, то предел при равен бесконечности ().
Неопределенность типа
Пример 5. Найти предел: .
Решение:
Вначале убеждаемся, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой, что при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай ); затем делаем преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.
1) Раскладываем знаменатель на множители и сокращаем дробь на :
.
Вообще, если ищется предел функции при , то необходимо помнить, что не принимает значения , т.е. и .
Пример 6. Найти предел: .
Решение:
Раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле ,
где и - корни трехчлена. Затем сокращаем дробь на :
.
Простейшие иррациональные выражения
Пример 6. Найти предел
Решение:
Так как непосредственная подстановка предельного значения аргумента дает неопределенность вида , то для ее раскрытия следует уничтожить иррациональность в числителе. Для этого умножим и числитель и знаменатель на множитель, сопряженный числителю, т.е. на сумму , получим:
======.
При вычислениях мы воспользовались формулой сокращенного умножения .
Пример 7. Вычислить предел .
Решение:
Так как непосредственная подстановка предельного значения аргумента дает неопределенность типа , то для ее раскрытия необходимо избавиться от иррациональности в числителе и знаменателе:
==
=.
Пример 8. Найти предел .
Решение:
При подстановке предельного значения получаем разность двух бесконечно больших величин, т.е. неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим и разделим данное выражение на сопряженное, т.е.
==.
Первый замечательный предел
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:
или .
Пример 9. Найти предел .
Решение:
Подставляя предельное значение аргумента , получаем неопределенность вида . Домножая числитель и знаменатель на 2 и, используя первый замечательный предел, имеем:
= =
Пример 10. Найти предел .
Решение:
=== =.
Пример 11. Найти предел .
Решение:
===.
Пример 12. Найти предел .
Решение:
Так как , то
====.
Второй замечательный предел
Предел функции при существует и равен числу . Число имеет значение и является основанием системы натуральных логарифмов; т.е.
. (1)
Этот предел называют вторым замечательным пределом.
Если в (1) положить , то при получим и тогда (1) примет вид: .
Пример 13. Найти предел:
Решение:
При подстановке получаем неопределенность типа . Поэтому выражение под знаком предела преобразуем так, чтобы задача сводилась ко второму замечательному пределу.
==, так как
=, где , а показатель степени .
Пример 14. Найти предел: .
Решение:
======.
В задачах найти указанные пределы:
1. а); б); в); г)
2. а); б); в); г)
3. а); б); в); г)
4.а); б); в); г)
5. а); б); в); г)
6. а); б); в); г)
7. а) ; б); в); г)
8. а); б); в); г)
9. а); б); в); г)
10. а); б); в); г)