Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Д.А. ГРОЗИН
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПО КУРСУ «СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА»
ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ 270100 «СТРОИТЕЛЬСТВО»
Ижевск, 2011
УДК 624.04 (07)
М 54
Составитель: Д.А. Грозин
старший преподаватель кафедры
«Промышленное и гражданское строительство»
Рецензент: В.Н. Стукач, к.т.н., доцент
Кафедры «Промышленное и гражданское строительство» ИжГТУ
В.А. Кудрявцев, к.т.н., доцент
Главный специалист Управления государственной экспертизы при Минстрое УР
Методические указания и примеры расчета статически определимых стержневых систем по курсу «Строительная механика» для студентов направления 270100 «Строительство».
Рассмотрены примеры расчета статически определимых балок, арок и ферм на неподвижную и подвижную нагрузки.
Пособие может быть использовано для расчета домашних заданий студентами всех форм обучения по направлению 270100 «Строительство».
ЧАСТЬ I
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
Задача № 1. Расчет статически определимой многопролетной балки. Методические рекомендации.
При расчете многопролетных статически определимых балок целесообразно использовать схему взаимодействия элементов – «поэтажную схему». Такая схема позволяет свести расчет сложной балки к расчету простых балок с консолями. Для составления схемы взаимодействия в первую очередь необходимо выделить основные балки и опирающиеся на них второстепенные (подвесные балки).
Расчет на подвижную нагрузку производится при помощи линий влияния. Линии влияния опорных реакций балки на двух опорах с консолями являются основными; все остальные линии влияния строятся на базе основных. Поэтому вид и исходные ординаты линий влияния опорных реакций необходимо запомнить. При изучении построения линий влияния внутренних усилий важно усвоить общий метод: рассмотрения двух положений единичной силы – слева и справа от рассматриваемого сечения. Для статически определимых многопролетных балок построения линий влияния удобнее производить, рассматривая «поэтажную» схему.
Объемлющие этапы внутренних сил широко применяются при конструировании металлических и железобетонных балок. В задаче 1 находится сочетание неподвижных и подвижных нагрузок в расчетном сечении при определении изгибающего момента.
Задание. Для балки, выбранной согласно варианту, требуется:
Дано:
№ сечения – 1
Систему подвижных нагрузок принять следующей:
Рис. 1. Двухпролетная статически определимая балка
Решение.
За первый диск принимаем шарнирно закрепленную балку АВ с правой консолью, за второй диск – оставшуюся часть многопролетной балки. Два диска соединены жестко с помощью шарнира Ш и опорного стержня С. Такое соединение по второму принципу образования структурно неизменяемых систем дает геометрически неизменяемую систему. Таким образом, заданная двухпролетная балка геометрически неизменяема.
Составим «поэтажную» схему заданной балочной системы. При построении «поэтажной» схемы нужно вначале выделить основные балки, что легко делается мысленным удалением шарниров, соединяющих балки между собой. Те балки, которые останутся неподвижными, будут основными. Части балочной системы, получающие линейную или угловую подвижность, являются подвесными балками. Подвесные балки имеют только одну наземную опору или не имеют их вовсе. Недостающими опорами для них служат соединительные шарниры.
После построения «поэтажной» схемы заданную балку можно рассматривать как ряд простых балок. Расчет всегда начинают с верхнего этажа, так как нагрузка передается сверху вниз через реакции в шарнирах. При расчете каждой балки эпюры М и Q должны быть вычерчены отдельно, а общие эпюры надо строить под «поэтажной» схемой.
Ординаты эпюры моментов откладываются со стороны растянутых волокон (положительные вниз от оси). Знаков на эпюре моментов обычно не ставят, но обязательно надо проставлять значения характерных ординат. При построении эпюры поперечных сил положительные ординаты откладываются вверх и на эпюрах обязательно проставляются знаки.
Рассмотрим вначале второй этаж (подвесная балка). Из условий равновесия определим опорные реакции и построим эпюры Q и М, применяя метод сечений. Затем проведем расчет первого этажа (основной балки). На нее действует заданная нагрузка и реакция шарнира Ш.
Рис. 2. Подвесная балка
Рис. 3. Основная балка
Находим аналитически величину Q и М расчетном сечении 1.
Строим общие эпюры Q и М для заданной балки под «поэтажной» схемой.
Для построения линий влияния следует еще раз вычертить «поэтажную» схему, но уже без заданной нагрузки. На «поэтажной» схеме необходимо показать различные положения подвижного груза Р = 1 по отношению к расчетному сечению 1 (слева и справа от сечения).
Рис. 4. Различные положения подвижного груза
I положение груза Р = 1 – слева от сечения 1.
В этом положении груза подвесная балка ШС не работает, рассматриваем только основную балку АВ.
Внутренние силы в сечении 1 находим методом сечений, рассматривая равновесия правой отсеченной части балки АВ.
- левая прямая
- левая прямая
для I положения груза.
II положение груза Р = 1 – справа от сечения 1, но по-прежнему на основной балке АВ. Подвесная балка ШС снова не работает, следовательно и для II положения груза.
Рассмотрим равновесие левой отсеченной части балки АВ.
- первая правая прямая
- первая правая прямая на линии влияния
III положение груза Р = 1 – справа от сечения 1, но теперь груз Р = 1 находится на подвесной балке, следовательно работает вся заданная балка. Действие груза со второго этажа передается на основную балку через реакцию шарнира Ш.
- вторая правая прямая л.в.
- вторая правая прямая л.в.
Линии влияния определяемых величин строим под заданной балкой, используя базовые линии влияния опорных реакций балки на двух опорах с консолями. Вид и исходные ординаты линий влияния опорных реакций необходимо запомнить.
4.1. Определение изгибающего момента
4.2. Определение поперечной силы
4.3. Определение опорной реакции
4.4. Аналитические значения по пункту 2:
Сравнивая эти результаты со значениями, полученными по линиям влияния, видим, что они совпадают.
5.1. Определение наибольшего положительного момента.
Пусть критическими являются последовательно грузы Для этих вариантов расположения системы подвижных грузов определяем величину по следующей формуле:
.
Рис. 5. Определение при действии
подвижной нагрузки
I.
II.
III.
Следовательно,
5.2. Определение наибольшего отрицательного момента.
Пусть критическими являются вновь последовательно грузы ,,. Для трех вариантов расположения системы подвижных грузов определяем величину М1.
Рис. 6. Определение при действии
подвижной нагрузки
I.
II.
III.
Следовательно,
Задача № 2. Расчет трехшарнирной системы. Методические рекомендации.
Особенностью работы трехшарнирных систем является наличие горизонтальной составляющей опорных реакций даже при вертикальной нагрузке. Для определения этих составляющих (распора) необходимо составить дополнительное уравнение равновесия. Внутренние усилия в сечениях трехшарнирных арок и рам за счет распора меньше балочных внутренних сил того же пролета и такой же нагрузки, как в трехшарнирной системе.
Линии влияния внутренних усилий строятся на основе линий влияния моментов и поперечных сил в сечениях простых балок. Рационально использовать при построении линий влияния метод нулевых точек.
Задание. Для сплошной трехшарнирной арки требуется:
1.Провести кинематический анализ.
2.Построить эпюры внутренних силовых факторов от действия постоянной нагрузки.
3.Построить линии влияния и для заданного сечения К.
4.По линиям влияния вычислить величины внутренних усилий от заданной нагрузки и сравнить их с полученными аналитическим путем.
Дано:
Очертание оси арки – квадратная парабола:
Рис. 7. Трехшарнирная арочная система
Решение.
1. Кинематический анализ системы.
Степень свободы системы
.
- необходимое условие геометрической неизменяемости системы выполняется.
Кривой брус АС примем за первый диск, правую полуарку ВС за второй диск, землю примем за третий диск. Эти диски соединены шарнирами А, В и С, не лежащими на одной прямой. Такое соединение приводит к геометрически неизменяемой системе.
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.
2.1. Определение опорных реакций.
2.2. Построение эпюр арочных внутренних силовых факторов.
При построении эпюр и используем следующие зависимости:
где и - изгибающий момент и поперечная сила в сечении простой балки (балочные внутренние силы).
Необходимо построить балочные эпюры и , по которым определяем величину и в расчетных точках.
Разобьем ось арки на участки с равными проекциями на ось Z (десять равных частей длиной ).
Получаем одиннадцать расчетных точек, в каждой из них находим величину ординаты У с абциссой Z и угол φ – угол наклона касательной к оси арки в сечении Z.
Для всех расчетных точек по данным формулам определяем У – ординату сечения с абциссой Z и угол φ – угол наклона касательной к оси арки в сечении Z.
Строим балочные эпюры и и в каждой расчетной точке находим величину поперечной силы и изгибающего момента.
Данные расчета проводим в таблице. По табличным данным строим эпюры арочных внутренних сил М, Q и N.
Для трехшарнирных рам ординаты и необходимые углы наклона определяются непосредственно из чертежа. Следует помнить, что для правой половины арки (и рамы) угол наклона касательной отрицателен.
Рис. 8. Балочные эпюры внутренних сил
Соответствующая балочная аналогия для расчета трехшарнирных систем на рис. 8.
|
№ точек |
Z |
У |
tg φ |
sin φ |
cos φ |
H·У |
М |
cos φ |
Н sin φ |
Q |
sin φ |
H cos φ |
N |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
0 |
0 |
0 |
1,0 |
0,7071 |
0,7071 |
0 |
36,88 |
0 |
0 |
26,0778 |
34,3933 |
-8,3155 |
26,0778 |
34,3933 |
-60,4711 |
|
1 |
2,6 |
2,34 |
0,8 |
0,6252 |
0,7804 |
95,888 |
113,8176 |
-17,9296 |
30,4097 |
37,9587 |
|||||
|
2 |
5,2 (сеч.К) |
4,16 |
0,6 |
0,5150 |
0,8572 |
181,376 |
32,88 |
202,3424 |
-20,9664 |
28,1847 |
25,0496 |
3,1351 |
16,9332 |
41,6942 |
-58,6274 |
|
3 |
7,8 |
5,46 |
0,4 |
0,3714 |
0,9285 |
253,344 |
22,48 |
265,5744 |
-12,2304 |
20,8727 |
18,0649 |
2,8078 |
8,3491 |
45,1622 |
-53,5113 |
|
4 |
10,4 |
6,24 |
0,2 |
0,1959 |
0,9806 |
298,272 |
12,08 |
303,5136 |
-5,2416 |
11,8456 |
9,5286 |
2,317 |
2,3665 |
47,6964 |
-50,0629 |
|
5 |
13,0 |
6,5 |
0 |
0 |
1,0 |
316,16 |
1,68 |
316,16 |
0 |
1,68 |
0 |
1,68 |
0 |
48,64 |
-48,64 |
|
6 |
15,6 |
6,24 |
-0,2 |
-0,1959 |
0,9806 |
307,008 |
-8,72 |
303,5136 |
3,4944 |
-8,5508 |
-9,5286 |
0,9778 |
1,7082 |
47,6964 |
-49,4046 |
|
7 |
18,2 |
5,46 |
-0,4 |
-0,3714 |
0,9285 |
270,816 |
-19,12 |
265,5744 |
5,2416 |
-17,7529 |
-18,0649 |
0,312 |
7,1012 |
45,1622 |
-52,2634 |
|
8 |
20,8 |
4,16 |
-0,6 |
-0,5150 |
0,8572 |
207,584 |
-29,52 |
202,3424 |
5,2416 |
-25,3045 |
-25,0496 |
-0,2549 |
15,2028 |
41,6942 |
-56,897 |
|
9 |
23,4 |
2,34 |
-0,8 |
-0,6252 |
0,7804 |
117,312 |
-39,92 |
113,8176 |
3,4944 |
-31,5357 |
-30,4097 |
-1,126 |
24,9580 |
37,9587 |
-62,9167 |
|
10 |
26 |
0 |
1,0 |
-0,7071 |
0,7071 |
0 |
-50,32 |
0 |
0 |
-35,5813 |
-34,3933 |
-1,188 |
35,5813 |
34,3933 |
-69,9746 |
Рис. 9. Арочные эпюры внутренних сил
На эпюрах и должны быть проставлены числовые значения всех характерных ординат, в том числе и в заданном сечении К.
3. Построение линий влияния , N для сечения К.
Линии влияния внутренних усилий в сечении построим способом нулевых точек. Находим положение нулевой точки d на линии влияния по формуле:
,
где
Рис. 10. Линия влияния изгибающего момента в сечении К
Построим линию влияния поперечной силы
Рис. 11. Линия влияния поперечной силы в сечении К
Способом нулевых точек построим и линию влияния продольной силы .
Рис. 12. Линия влияния продольной силы в сечении К
Определяемое усилие .
Определение изгибающего момента .
Определение поперечной силы .
Определение продольной силы .
Аналитический расчет (см. таблицу) дает значения
.
Имеет практическое совпадение результатов обоих методов.
Задача № 3. Расчет сложной статически определимой плоской фермы. Методические рекомендации.
При аналитическом определении усилий в стержнях фермы используется метод сечений. При определении усилий в стержнях надо стремиться к тому, чтобы усилие в каждом стержне определялось независимо от усилий в других стержнях. Достигнуть этого удается почти во всех случаях путем правильного выбора сечения и использования одного из трех способов: моментной точки; проекций; вырезания узлов.
Особенностью построения линий влияния усилий в стержнях фермы является наличие передаточных прямых, связанное с узловой передачей нагрузки.
Расчет сложных (шпренгельных) ферм требует умения выделить основную ферму и элементы шпренгеля. Для этого необходимо знать все типы шпренгелей и схемы их взаимодействия с основной решеткой, т.е. схемы передачи нагрузки со шпренгелей в узлы основной решетки.
Задание. Для шпренгельной фермы с заданными размерами и нагрузкой требуется:
Дано:
Рис. 13. Штенгельная ферма
Схему подвижных нагрузок принять следующей:
Решение.
Рис. 14. Схема загружения постоянной нагрузкой
Рассмотрим основную форму с узловой нагрузкой, полученной в результате передачи местной нагрузки со шпренгеля в узлы основной решетки.
Определение усилия (стержень 45 является элементом первой категории). Проводим сечение I – II, моментная точка К.
,
отсюда расстояние
Определение усилия (стержень 67 является элементом первой категории). Вырезаем узел 6.
Найдем усилие . Проводим сечение II – II, моментной точкой является узел 7.
,
следовательно
.
Определение усилия (стержень 45' является элементом третьей категории). Усилие в стержне 45' равно сумме двух усилий, одно из которых возникает в элементе основной фермы, а другое – в слившемся с ним элементе шпренгеля.
Найдем усилие . Сечение II – II, моментная точка К.
.
Далее рассмотрим отдельно шпренгель.
Из условий равновесия узла 4 получаем
;
Усилие в элементе шпренгеля.
,
таким образом
усилие в элементе третьей категории.
2.Определение усилий в стержнях от временной нагрузки Q.
Рис. 15. Схема загружения временной нагрузкой
Рассмотрим основную ферму.
Определение усилия .
Определение усилия . Вырезаем узел 6.
.
Определяем усилие способом моментной точки.
,
находим .
.
Определение усилия .
Сначала найдем усилие в элементе основной фермы.
.
Усилие в элементе шпренгеля
.
Таким образом,
.
3. Построение линий влияния усилий в отмеченных стержнях.
Линия влияния (Элемент первой категории).
правее узла 4;
- правая прямая л.в. .
Левую прямую строим, используя положения о том, что она должна пройти через нулевую точку левой опоры и пересечься с правой прямой под моментной точкой К. Передаточную прямую проводим, соединяя вершины ординат линии влияния под узлами 2 и 4.
Линия влияния (Элемент первой категории).
Вырезаем узел 6.
(1)
правее узла 6;
- правая прямая.
Подставим найденную зависимость в уравнение (1):
(2)
- правая прямая.
Уравнение (2) справедливо для всех положений груза , кроме случая, когда груз приходит в узел 6.
(3)
Линия влияния (Элемент третьей категории).
Сечение II – II, моментная точка К. Передаточная прямая проходит между узлами 4 и 4'. Таким образом, элемент третьей категории всегда характеризуется укороченной передаточной прямой.
- правее узла 4'.
- правая прямая.
Левую прямую строим, используя моментную точку К. Под схемой фермы строим полученные линии влияния, на них должны быть проставлены числовые значения всех характерных ординат. На линии влияния усилия треугольник аbс является линией влияния элемента шпренгеля 45', слившемся с элементом 47 основной фермы.
4.Определение величины максимальных и минимальных усилий в стержнях от действия подвижной нагрузки . Имеем линию влияния усилия .
Рис. 17. Определение максимального усилия
Определение максимального усилия в стержне 45'. Пусть критическими являются последовательно грузы .
I. ;
II. ;
III. ;
IV. .
Следовательно, .
Определение минимального усилия в стержне 45'.
Рис. 18. Определение минимального усилия
I. ;
II. ;
III. ;
IV. .
Следовательно, .
Имеем линию влияния .
Рис. 19. Определение максимального усилия
Определение максимального усилия в стержне 67.
I. ;
II. ;
III. ;
IV. .
Следовательно, .
Рис. 20. Определение минимального усилия
Определение минимального усилия в стержне 67.
I. ;
II. ;
III. ;
IV. .
Следовательно, .
|
№ стержня |
Усилие в стержнях от нагрузок |
Расчетные усилия |
||||
|
Постоянная |
Временная |
Подвижная |
||||
|
max |
min |
N max |
N min |
|||
|
45' |
11,11 |
-12,5 |
6,667 |
-5,0 |
5,277 |
-6,39 |
|
67 |
0 |
0 |
1,778 |
-2,224 |
1,778 |
-2,224 |
Задача № 4. Определение перемещений в статически определимой раме. Методические рекомендации.
Расчет сооружений на жесткость связан с определением их деформаций, т.е. вычислением перемещений отдельных точек. Кроме того, умение определять перемещения является основой для расчета статически неопределимых систем.
Все перемещения следует определять по формуле Мора с использованием метода Верещагина. Построение эпюр моментов (грузовых и единичных) следует сопроводить расчетами и строить их со стороны растянутых волокон.
Сложные эпюры для «умножения» их на единичные рекомендуется делить на части с тем, чтобы обеспечить определение их площадей и положений центров тяжести.
Поскольку в рамах жесткости ригеля и стойки обычно различны и заданы только их соотношения, искомые перемещения должны быть выражены через или .
Задание.
Для рамы с заданными размерами и нагрузкой требуется определить горизонтальное перемещение и угол поворота в расчетных сечениях.
Рис. 21. Статически определимая рама
Найти: 1. Горизонтальное перемещение сечения 1 рамы - ∆1р.
2. Угол поворота сечения 2 - ∆2р.
Решение.
При определении любых перемещений в стержневых системах всегда рассматриваются два состояния заданной системы: действительное и вспомогательное единичное, которое зависит от искомого перемещения. Единичное состояние получают, освобождая заданную систему от заданного воздействия, в данном случае устраняем нагрузку. При определении линейных перемещений в расчетном сечении прикладывается единичная сила, при нахождении угла поворота – единичный момент.
Действительное состояние
Единичное состояние для определения ∆1р.
- интеграл Мора.
- формула Верещагина.
следовательно горизонтальное перемещение сечения 1 совпадает с выбранным направлением единичной силы .
Единичное состояние для определения ∆2р.
следовательно сечение 2 повернулось против часовой стрелки.
Литература
Содержание
стр.
|
1. |
Расчет статически определимой многопролетной балки……………………………………………………. |
3 |
|
2. |
Расчет трехшарнирной системы……………………...... |
17 |
|
3. |
Расчет сложной статически определимой плоской фермы…………………………………………………….. |
27 |
|
4. |
Определение перемещений в статически определимой раме…………………………………….............................. |
46 |
Отзыв
на методическую разработку старшего преподавателя кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Д.А. Грозина
«Методические указания и примеры расчета статически определимых стержневых систем по курсу «Строительная механика»
для студентов направления 270100 «Строительство»
В методической разработке рассматриваются примеры расчета статически определимых стержневых систем на неподвижную и подвижную нагрузки. Для студентов строительных специальностей строительная механика является одной из основных базовых дисциплин, освоение этого курса немыслимо без выполнения расчетнографических работ, предусмотренных рабочей программой. При составлении методических указаний учтен опыт работы кафедры «Промышленное и гражданское строительство» ИжГТУ.
Приведенные примеры расчета многопролетной балки, арочной системы, шпренгельной фермы, рамы относятся к первой части курса строительной механики. Пособие может быть использовано для расчета домашних заданий студентами всех форм обучения по направлению 270100 «Строительство».
Рецензенты: В.Н. Стукач, к.т.н., доцент кафедры
«Промышленное и гражданское строительство» ИжГТУ
Отзыв
на методическую разработку старшего преподавателя кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Д.А. Грозина
«Методические указания и примеры расчета статически определимых стержневых систем по курсу «Строительная механика»
для студентов направления 270100 «Строительство»
В методической разработке рассматриваются примеры расчета статически определимых стержневых систем на неподвижную и подвижную нагрузки. Для студентов строительных специальностей строительная механика является одной из основных базовых дисциплин, освоение этого курса немыслимо без выполнения расчетнографических работ, предусмотренных рабочей программой. При составлении методических указаний учтен опыт работы кафедры «Промышленное и гражданское строительство» ИжГТУ.
Приведенные примеры расчета многопролетной балки, арочной системы, шпренгельной фермы, рамы относятся к первой части курса строительной механики. Пособие может быть использовано для расчета домашних заданий студентами всех форм обучения по направлению 270100 «Строительство».
Рецензенты: В.А. Кудрявцев, к.т.н., доцент,
Главный специалист Управления
Государственной Экспертизы
при Министерстве строительства и архитектуры УР.