Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №2. Повторные независимые испытания.
Пусть один и тот же эксперимент или испытание со случайным исходом проводится многократно в одних и тех же условиях. В каждом из испытаний может наступить событие А с вероятностью p, не зависящей от наступления этого события в других испытаниях. Говорят, что в этом случае испытания проводятся по схеме Бернулли.
Формула Бернулли
Вероятность того, что в n испытаниях по схеме Бернулли событие А наступит ровно m раз можно вычислить по формуле
(1),
где р – вероятность наступления события в одном испытании, q=1-p.
В Excel’e для вычисления вероятностей по формуле Бернулли можно использовать статистическую функцию
БИНОМРАСП(число_успехов;число_испытаний;вероятность_успеха ;интегральная)
Число_успехов — количество успешных испытаний - m.
Число_испытаний — число независимых испытаний - n.
Вероятность_успеха — вероятность успеха каждого испытания - p.
Интегральная — логическое значение, определяющее вид функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция БИНОМРАСП возвращает интегральную функцию распределения, то есть вероятность того, что число успешных испытаний не меньше значения аргумента «число_успехов»; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция вероятностной меры, то есть вероятность того, что число успешных испытаний равно значению аргумента «число_успехов».
Формула Пуассона
Формула Бернулли позволяет всегда вычислить точное значение вероятности , однако в случае большого числа испытаний (n>15-20) могут возникнуть вычислительные трудности. В случае, когда n достаточно велико, р – мало, а их произведение рекомендуется использовать приближенную формулу Пуассона:
(2)
В Excel’e для вычисления вероятностей по формуле Бернулли можно использовать статистическую функцию
ПУАССОН(m;λ;интегральная)
m — количество успешных событий;
— произведение числа испытаний на вероятность успеха.
Интегральная — логическое значение, определяющее форму возвращаемого распределения вероятностей. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, то функция ПУАССОН возвращает интегральное распределение Пуассона, то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до m включительно. Если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается вероятность точного равенства числа произошедших событий значению m.
Теорема Муавра-Лапласа
Еще одну приближенную формулу для вычисления вероятности дает локальная теорема Муавра-Лапласа:
(3)
Функция f(x) является четной и при можно полагать .
В Excel’e для вычисления вероятностей по этой формуле следует использовать статистическую функцию
НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)
x — значение, для которого строится распределение(см. формулу 3).
Среднее — .
Стандартное_откл —.
Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения. Для формулы необходимо этот параметр взять равным ЛОЖЬ.
Для вычисления вероятности, что число наступивших событий А будет в пределах от m1 до m2, следует воспользоваться интегральной теоремой:
, где (4)
Для вычисления в Excel’e следует каждое из значений и вычислить с помощью функции НОРМРАСП, указав в качестве последнего аргумента значение ИСТИНА.
Наивероятнейшее значение.
При испытаниях по схеме Бернулли одно или два значения m – число успехов, будут иметь самую высокую вероятность наступления. Это число называется наивероятнейшим числом наступления события А и обозначается n0. Его можно вычислить, решив два неравенства:
(5)
Интервал, описываемый этими неравенствами, в точности равен единице, поэтому если выражения (np-p) и (np+q) – целые числа, то n0 принимает два значения, иначе – одно.
Задание на лабораторную работу 2.
1. Изучить образец решения варианта 0.
2. Решить задачи 2.1-2,4 согласно варианту по образцу решения, подставив данные из таблиц 2-1-2.4
3. Написать отчет по лабораторной работе и защитить его.
Задача 2.1 Вероятность, что аудитор при проверке документации фирмы найдет ошибку – p. Аудитор проверяет n фирм. Найти вероятность того, что при проверке аудитор найдет ошибку:
а) ровно в m фирмах;
б) менее чем в k фирмах:
в) не более чем в l фирмах;
Построить полигон распределения. Найти наивероятнейшее число фирм, при проверке которых обнаружится ошибка.
Табл. 2.1
|
№ варианта |
p |
n |
m |
k |
l |
|
0 |
0.3 |
8 |
3 |
4 |
2 |
|
1 |
0.2 |
7 |
4 |
2 |
3 |
|
2 |
0.4 |
9 |
5 |
3 |
4 |
|
3 |
0.6 |
10 |
2 |
4 |
3 |
|
4 |
0.1 |
6 |
4 |
2 |
2 |
|
5 |
0.2 |
8 |
5 |
4 |
3 |
|
6 |
0.3 |
11 |
9 |
5 |
4 |
|
7 |
0.4 |
12 |
7 |
3 |
5 |
|
8 |
0.5 |
9 |
2 |
4 |
2 |
|
9 |
0.6 |
7 |
3 |
2 |
4 |
|
10 |
0.1 |
8 |
6 |
3 |
5 |
|
11 |
0.2 |
10 |
7 |
4 |
3 |
|
12 |
0.3 |
11 |
6 |
3 |
5 |
Задача 2.2 При упаковке денежных купюр в пачки в банке вероятность, что число купюр в пачке окажется ошибочным – p. Какова вероятность, что из n пачек ошибочное число купюр содержат
а) m пачек
б) не более k пачек
в) хотя бы l пачек
Найти наивероятнейшее число пачек, содержащих ошибочное число купюр. Сколько пачек требуется взять, чтобы наивероятнейшим числом пачек с ошибочным числом купюр было u пачек?
Табл. 2.2
|
№ варианта |
p |
n |
m |
k |
l |
u |
|
0 |
0.002 |
4000 |
6 |
3 |
2 |
5 |
|
1 |
0.003 |
3000 |
7 |
4 |
1 |
3 |
|
2 |
0.001 |
5000 |
6 |
2 |
3 |
1 |
|
3 |
0.001 |
4000 |
3 |
3 |
2 |
4 |
|
4 |
0.002 |
3000 |
2 |
4 |
1 |
2 |
|
5 |
0.004 |
2000 |
7 |
2 |
4 |
3 |
|
6 |
0.002 |
3500 |
5 |
1 |
2 |
4 |
|
7 |
0.003 |
2500 |
4 |
2 |
3 |
2 |
|
8 |
0.001 |
7000 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
9 |
0.003 |
3500 |
7 |
4 |
2 |
3 |
|
10 |
0.001 |
8000 |
5 |
1 |
2 |
5 |
|
11 |
0.002 |
4500 |
3 |
2 |
1 |
4 |
|
12 |
0.002 |
2800 |
3 |
4 |
3 |
2 |
Задача 2.3 На факультете учатся n студентов. Вероятность, что студент не имеет задолженностей – p. Найти вероятность, что задолженности имеют
а) m студентов
б) не более k студентов
в) от l до u студентов
Табл. 2.2
|
№ варианта |
p |
n |
m |
k |
l |
u |
|
0 |
0.8 |
600 |
150 |
250 |
50 |
200 |
|
1 |
0.7 |
500 |
175 |
240 |
100 |
150 |
|
2 |
0.5 |
600 |
320 |
400 |
300 |
370 |
|
3 |
0.6 |
400 |
130 |
200 |
100 |
150 |
|
4 |
0.75 |
700 |
200 |
400 |
250 |
300 |
|
5 |
0.55 |
500 |
300 |
360 |
280 |
400 |
|
6 |
0.65 |
600 |
380 |
350 |
300 |
340 |
|
7 |
0.8 |
700 |
150 |
200 |
80 |
170 |
|
8 |
0.85 |
600 |
100 |
200 |
50 |
150 |
|
9 |
0.7 |
600 |
190 |
250 |
200 |
250 |
|
10 |
0.6 |
500 |
220 |
280 |
150 |
200 |
|
11 |
0.65 |
400 |
180 |
250 |
100 |
150 |
|
12 |
0.4 |
500 |
280 |
310 |
250 |
320 |
Задача 2.4.
|
№ варианта |
Текст задачи |
|
0 |
Вероятность изготовления нестандартной детали на станке-автомате равна 0,003 . Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется не более 2 нестандартных. |
|
1 |
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле – 0,8. Какова вероятность, что при 9 выстрелах будет хотя бы 3 попадания? |
|
2 |
Вероятность приживления саженца ели в условиях нашего города равна 0,75. Какова вероятность того, что из 192 высаженных саженцев погибнут ровно 44 саженца? |
|
3 |
Вероятность, что пассажир опоздает на поезд – 0,002. Каково наивероятнейшее число опоздавших среди 4000 пассажиров? Чему равна вероятность этого числа? |
|
4 |
Вероятность встретить на улице своего преподавателя – 0,002. Какова вероятность, что среди 1000 прохожих вы встретите хотя бы одного своего преподавателя? |
|
5 |
Два равносильных противника играют в шахматы (ничьи невозможны). Что более вероятно – выиграть 3 партии из 6 или 4 партии из 8? |
|
6 |
В среднем 75% клиентов-заемщиков банка не допускают просрочки платежей. Какова вероятность, что просрочки не допускают не менее 150 клиентов из 200? |
|
7 |
Страховой агент заключает договор в 10% случаев при посещении потенциальных клиентов. Какова вероятность заключить хотя бы 1 договор при посещении 6 человек? |
|
8 |
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,02. Сколько требуется купить билетов, чтобы наивероятнейшее число выигрышных среди них оказалось равным одному? |
|
9 |
Доля изделий высшего сорта продукции составляет 80 %. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий высшего сорта будет не больше 600. |
|
10 |
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получил меньше двух разбитых бутылок. |
|
11 |
Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет 0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз. |
|
12 |
В течение семестра студент выполняет 10 контрольных работ. Вероятность, что он успешно выполнит каждую работу – 0,7. Какова вероятность, что он успешно выполнит хотя бы 8 контрольных работ? |
Образец решения.
Вариант 0.
Задача 2.1 Вероятность, что аудитор при проверке документации фирмы найдет ошибку – p. Аудитор проверяет n фирм. Найти вероятность того, что при проверке аудитор найдет ошибку:
а) ровно в m фирмах;
б) менее чем в k фирмах:
в) не более чем в l фирмах;
Построить полигон распределения. Найти наивероятнейшее число фирм, при проверке которых обнаружится ошибка.
Решение: Запишем номер задачи и данные в ячейках А1-F2. В ячейке G2 наберем формулу БИНОМРАСП(D2;C2;B2;ЛОЖЬ) – получим ответ на вопрос а). В ячейке H2 запишем формулу БИНОМРАСП(D2-1;C2;B2;ИСТИНА), так как нам нужно менее чем k фирм – первым аргументом будет значение k-1 из ячейки D2, последним аргументом будет ИСТИНА, так как требуется просуммировать все вероятности для значений от 0 до k-1, полученный результат есть ответ на вопрос б). В ячейке I2 запишем формулу 1-БИНОМРАСП(F2;C2;B2;ИСТИНА), то есть мы вычисляем сначала вероятность противоположного события – что ошибка обнаружится в l и менее чем l фирмах (поэтому последний аргумент = ИСТИНА), затем вычитаем ее из единицы, результат и есть ответ на вопрос в).
Для построения полигона распределения запишем в ячейках B4:J4