Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 20
1. Найти область определения функции :.
Неравенство выполняется всегда. Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами: , т.е. , и , т.е. . Решением системы этих неравенств является одна точка . Ответ: .
2. Построить график функции: .
Область определения функции: . Преобразуем функцию: и . Функция чётная относительно разности . Поэтому достаточно построить правую часть графика, затем отобразить его влево зеркально относительно прямой . Строим по точкам график функции в интервале , затем «растягиваем» его по оси ОУ в два раза, а по оси OX – в три раза. Полученный график отображаем зеркально влево.
Ответ: Последовательность построения графика представлена на рисунках.
3. Построить график функции: .
Область определения функции: – вся числовая ось: . Сначала построим график функции , затем «растянем» полученный график в три раза по оси OX, затем сместим его на 2 единицы вниз по оси ОY. Получим график функции . Точки пересечения с осями координат и .
Ответ: Последовательность получения графика представлена на рисунке.
4. Построить график функции: .
Составим таблицу координат нескольких точек графика в первой четверти:
|
t |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
|
x |
2 |
1.3 |
0.708 |
0.25 |
0 |
|
y |
0 |
0.5 |
1.414 |
2.598 |
4 |
График симметричен относительно осей координат и относительно начала координат. Поэтому нет необходимости вычислять координаты точек в других четвертях координатной плоскости. По точкам строим график и отражаем его симметрично (относительно начала координат) в другие четверти.
Ответ: График представлен на рисунке.
5. Построить график функции: .
Функция существует, когда . Так как , то достаточно построить правую половину графика, а затем отразить его зеркально в левую полуплоскость. Составим таблицу значений функции:
|
φ |
-π/6 |
-π/12 |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
|
ρ |
0 |
0.241 |
0.5 |
1 |
1.207 |
1.366 |
1.5 |
Строим правую половину графика по этим точкам и отражаем его в левую полуплоскость.
Ответ: график представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: .
Возведём все скобки в степени и приведём подобные:
.
Ответ: .
7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:
. Ответ: .
8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение: .
Ответ: .
9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Сделаем замену переменной:
. Здесь
воспользовались первым замечательным пределом: . Ответ: .
10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).
Приведём предел ко второму замечательному пределу: :
. Предел в квадратных скобках равен числу e. Предел в показателе степени равен . Ответ: .
11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Воспользуемся эквивалентными величинами:
. Ответ: .
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничных точках области определения: . Таким образом, в точках x= -1 и x=1 функция имеет разрывы второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: .
Ответ: В точках x= -1 и x=1 функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:
. Таким образом, в точке x=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=0 равна -3.
Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти :
.
По определению . Заменим Δx на x-x0:
. Но , поэтому . В данном случае .
Ответ: .
15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда y: . Ответ: .
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :
. Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:
. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Ответ:
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .
По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:
. Найдём предел в показателе степени:
. Следовательно,
. Ответ: .
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (∞∙0):
. Ответ: .
21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням : .
Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .
Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .
Ответ: .
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки x0 с точностью до : .
Применяем формулу Тейлора:
.
Вычисляем последовательно:
.
Ответ:
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .
Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке:
,. По формуле Тейлора .
Ответ: В окрестности точки (1, 1) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (1, 1) является точкой максимума.
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
Преобразуем числитель: . Следовательно, . Сделаем замену: . Тогда . По формуле Тейлора . Подставим это
в предел: .
Ответ: .
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .
Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничной точке области определения: . Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при :. Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .
1. Область определения: .
2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция имеет разрыв в точке . Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой.
4. (по правилу Лопиталя). Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является правосторонней горизонтальной асимптотой. Других асимптот нет.
5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . Слева от точки производная положительна, справа отрицательна. Следовательно, в точке имеет место максимум функции, причём . В точке производная имеет разрыв. В интервале функция монотонно возрастает, в интервале функция монотонно убывает, в интервале функция монотонно убывает.
6. Вторая производная: . Знак второй производной определяется знаменателем (числитель всегда положительный). Если , то производная отрицательна и, следовательно, интервал - интервал выпуклости графика функции. В интервале производная положительна, следовательно, это интервал вогнутости графика функции. Точек перегиба нет. 7. График функции не пересекает осей координат.
Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум – максимум – в точке . Вертикальная асимптота , правосторонняя горизонтальная асимптота .