Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. „Формальна” автокореляція
На форм-у авто-ю вказує значення статистики Дурбіна-Ватсона, при застосуванні якого нульовою гіпотезою є некорельованість збурень, а альтернативою є те, що збурення підпорядковані процесу авторегресії першого порядку.
y=Xβ+υ. Значення статистики Дурбіна–Ватсона знаходиться за наступною формулою:
Можливі значення d належать інтервалу (0; 4). Розподіл статистики Дурбіна–Ватсона приблизно симетричний відносно двійки. Значення d, близькі до 2, вказують на відсутність автокореляції. Значення, близькі до 0, вказують на наявність автокореляції з додатнім ρ, значення, близькі до 4, вказують на наявність автокореляції з від’ємним ρ .
Наявність форм-ої авто-її може свідчити про неправильне визначення моделі по причинам:
(1)Автокореляція внаслідок неправильно визначеної функціональної форми: Нехай справжня модель має вигляд yt=βo+β1lnt+εt, а замість неї ми оцінюємо yt=βo+β1t+εt, де залишки виявляться корельованими. Правильним рішенням буде зміна функціональної форми моделі. Простим критерієм перевірки функціональної форми є критерії RESET:1)оцінюємо регресію; 2)якщо у=0, то формула правильна: y=X´β+δŷ^2 +ε (2)Автокореляція внаслідок пропущених змінних: відсутність сезонних фіктивних змінних при моделюванні показника, динаміка якого хар-ся сезонними коливаннями. Перевірка моделі на пропущені змінні здійснюється за допомогою критерія множинників Лагранжа. Обчислити LM-статистику так: необх. знайти залишки у вихідній моделі і оцінити допоміжну регресію стовпчика з одиниць відносно змінних моделі і можливих пропущених змінних, помножених на відповідні залишки. LM-статистика дорівнює сумі квадратів прогнозів залежної змінної з цієї регресії. Якщо вірна гіпотеза H0:γ=0, вона асимптотично має розподіл χ-квадрат, кількість степенів свободи якого дорівнює кількості елементів γ. У випадку відхилення нульової гіпотези змінні Z слід включити в модель і перевірити її на наявність автокореляції. (3)Автокореляція внаслідок неправильно визначеної динаміки: реакція залежної змінної на зміни незалежних змінних не є миттєвою, а розповсюджена в часі. Якщо відсутні специфічні міркування щодо характеру такої реакції найбільш доцільним шляхом є розгляд моделі з авторегресійно розподіленими лагами (ADL) yt=Xt´β+ Xt-1´γ+δyt-1 +εt замість звичайної моделі yt=Xt´β+εt. В моделі ADL слід перевірити гіпотези γ=0 і δ=0, а також перевірити її на наявність автокореляції. Крім того, внаслідок наявності лагового значення залежної змінної серед регресорів використання статистики-Дурбіна-Ватсона є некоректним, тому слід застосувати критерій множників Лагранжа.
2. ARCH-моделі
Якщо залишки можуть залежати не тільки від рівня показників, які їх моделюють, але й від попередніх залишків (дисперсія зал-ів є деякою фун-єю від своїх попередніх значень (наявна гетероскедастичність зал-ів),то викор-ся процеси, які дозволяють використовувати такі залежності.це АRСН –процеси. ARCH-процес:У нелінійних мод-ях модел-ся не тільки стан процесу, але й його дисперсія (це дозволяє будувати більш точні надійні інтервали).Суть: існує час-й ряд та виділений трен-ий та сезонний компоненти. Yт-часовий ряд, який склад-ся з залишків деякої регресії або процесу авторегресії. Це й може також бути різницями деякого іншого ряду. Тоді наш ряд можна подати у вигляді: ,
де Єт - послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з нульовим середнім та одиничною дисперсією. Тоді бт-локальне умовне станд. відхилення процесу. Нехай також , девибрані таким чином, щобдля всіх t. Така модель отримала назву АRСН (1)-процесу. У заг-му вигляді, АRСН(р)-процес зале жить від р квадратів останніх лагових змінних, тобто АR (1)-процес:,де , а знак уt, є випадковим. Якщо, то При знаходженні коеф-ів ARCH-м. викор-ся метод максимальної правдоподібності (знаходження max-у ускладнюється наявністю обмежень). За допомогою АRСН (1) -моделі прогнози підраховуються за формулою: , на основі яких можна будувати нові моделі, які призначені для аналізу відповідних часових рядів.
GARCH(p,q)-процес: (головне рів-ня показує за лежність часового ряду від деякого набору екзогенних змінних, причому ни ми можуть бути лагові значення часового ряду:,залишки модел-ся за доп. процесу, де
TGARCH –пр.нічим не відрізн. від поперед-ого, лише має розподіл Стьюдента
SGARCH-пр.його рів-ня мають вигляд: ,де Vt має пост. Щільність
3. GARCH економ-ні. методи в макроекон. прогн-ні Н-моделі
За доп.-ю ARМА-м. можна описати широкий клас часових рядів, але іноді необх. моделювати більш складні залежності, де залишки можуть залежати не тільки від рівня показників, які їх моделюють, але й від попередніх залишків. При цьому, дисперсія зал-ів є деякою фун-єю від своїх попередніх значень (наявна гетероскедастичність зал-ів). Процеси, які дозволяють використовувати такі залежності - АRСН –процеси.
GARCH процес розглядає найбільш заг. вигляд модифікації АRСН –пр-у. Головне рівняння показує за лежність часового ряду від деякого набору екзогенних змінних, причому ни ми можуть бути лагові значення часового ряду:, залишки моделюються за допомогою процесу та залишки є "білим шумом", а має норм-ий розподіл з нульовим середнім та одиничною дисперсією, тобто щільність є:
Для збереження стаціонарності, застосовуються такі обмеження:
GARCH-М процес:в цій моделі елемент гетероскедастичності додається прямо в головне рів-ня: ;;
Новий доданок представляє міру відповідності залежної змінної до змінності часового ряду. може мати нормальний або стабільний t -розподіл. Коефіцієнти моделі, як правило, вважаються додатними:
Для оцінки коеф-ів АRСН –м. використовується метод max-ої правдоподібності. Після знаходження max-му функції правдоподібності проводять тес тування на правильність вибору моделі, порівнюючи обрану модель з іншою, для якої знаходять коефіцієнти аналогічним спосо бом. Після цього, порівнюють відношення значень max-ів фун-ій пра вдоподібності з критичним значенням.
4. VAR та VEC як засоби макроеконом. прог-ня
Системи, які складаються лише із змінних(зм-их), які зал-ть тільки від її лагових значень та інших зм-их, наз-ся VAR-моделями. Ця модель описує процес, у ході якого змінні у випадку відхилення повертаються до рівноваги.Це сис. рів-нь, де кожна зм-на викор-ся для визнач. іншої зм-ї в моделі. Кожна зм-на залежить від своїх попередніх значень та поперед. значень всіх інших зм-их моделі. На від-ну від екон-чних залежностей VAR-м. ніколи не роблять обмеження про залежність зм-их, оскільки вони викор-ть попередні знач-ня зм-их,їх використ. для короткостр. прог-ня.
Якщо досліджується n змінних, кожна з яких спостерігалася протягом Т періодів. Тоді найпростіша VAR-м. описується системою рівнянь, а модель має наступний вигляд: ,
1-це одинична матриця (n+1)*(n+1);
припущення: матем. сподівання всіхдорівнюють нулеві; всі процеси "білого шуму" незалежні між собою.
для АR процесів, VAR –м. є стаціонарною, коли всі корені рів нянняза абсолютною величиною є більшими за 1. Змінна повинна бути стаціонарної, інші змінні коінтегровані. Для того щоб бути стаціонарної, змінна повинна коливатися навколо постійного середнього значення з постійною дисперсією. У випадку відхилення від рівноважного співвідношення повинні існувати сили (процес виправлення помилки), що приводити їх до рівноваги. Моделі виправлення помилки моделюють коінтегрований процес і по суті включені у формальний результат, відомий як представницька теорема Грейнджера . Існує двухстадійний процес оцінки моделі виправлення помилки: Перша стадія - оцінка регресії коінтеграції тимчасових рядів та Друга стадія - побудова наступної моделі виправлення помилки
;, де і .
Існує 3 істотних недоліка: велика кіл-ть даних для побудови моделі; вони не пояснюють економ. сутті залежності між змін-ми; вони є надто залежні від структури економіки (незначна зміна в структурі призводить до значних похибок прогнозів).
Природним розширенням VAR-м є VEC-м-ль-векторна модель корекції похибок (билет №6 допол-но)
5. Асимптотичні властивості МНК-оцінок і умови їх чинності
В багатьох випадках скінченовимірні властивості оцінок найменших квадратів можуть не зберігатись. Так, якщо збурення не є нормально розподіленими, то і розподіл МНК-оцінки вже не буде нормальним. Асимптотична теорія відповідає на питання, що трапиться, якщо гіпотетично розмір виборки стане нескінченно великим. Асимптотичні властивості використовуються для апроксимації скінченновимірних властивостей.
Консистентність.
Послідовність оцінок параметра , де n – розмір вибірки, називається консистентною, якщо збігаються за ймовірністю до справжнього значення параметра: , тобто.
Стосовно збурень достатньо 2 припущень:
С1:
С2:
Умови консистентності не потребують припущень про рівність дисперсії і некорельованість збурень.
При виконанні введених умов .
Умова С2 є значно слабшою у порівнянні з умовою про некорельованість усіх з усіма , яка необхідна для забезпечення незміщеності.
Консистентність означає, що при зростанні розділу вибірки ймовірність того, що оцінки будуть набагато відрізнятися від параметра, прямує до нуля.
В багатьох випадках неможливо довести незміщеність оцінки, або її неможливо знайти. В таких ситуаціях мінімальною вимогою до оцінок є консистентність.
Асимптотична нормальніст (АН): властивість АН дозволяє використовувати стандартні критерії перевірки гіпотез без припущення про нормальність збурень. Припустимо, що виконуються припущення про рівність дисперсій і некорельованість збурень. Тоді збігається за розподілом до на практиці приблизним розподілом b є (у випадку класичних нормально розподілених збурень).
Моделі в яких порушуються припущення про рівність дисперсії і про некорельованість збурень можна використовувати звичайний МНК (з іншими оцінками коваріаційних матриць b).
6. Векторна модель корекції похибок (VEC).
Припустимо, що дві змінні I(1), yt і zt коінтеґровані, а коінтеґраційний вектор становить Тоді всі три змінні,та та становлять І(0). Модель корекції похибок: описує коливання yt навколо його довготермінового тренду за допомогою множини екзогенних факторів хt, які становлять I(0), коливання zt навколо його довготермінового тренду, та корекції похибкищо є похибкою рівноваги у моделі коінтеґрації. Існує тісний зв'язок між моделями коінтеґрації та моделями корекції похибок. Модель у цій формі є сама по собі обґрунтованою, проте в дійсності вона є внутрішньо консистентною лише за умови коінтеґрації обох змінних. Якщо ж ні, права частина виразу не може становити I(0), навіть якщо такою мусить бути його ліва частина. В результаті те саме припущення, яке ми робимо з приводу коінтеґрації, означає (і визначається) адекватністи моделі корекції похибок, що пропонує спосіб побудови вдосконаленої моделі довготерміновим коливань значення уt, а також перевірки на коінтеґрацію. Залишки оціненої моделі коінтеґрації - оцінених похибок рівноваги — можна включити у вдосконалену модель довготермінової залежності між уt і zt, основуючись на підході Інґла та Ґрейнджера до аналізу коінтеграції.
7. Коефіцієнт детермінації
Уведемо такі позначення:
– загальна сума квадратів,
- пояснена сума квадратів, або сума квадратів регресії
–сума квадратів залишків.
Загальна сума квадратів пропорційна до вибіркової дисперсії залежної змінної. Пояснена сума квадратів пропорційна до вибіркової дисперсії незалежної змінної. Отже, дисперсія залежної змінної складається з двох частин. Перша виникає завдяки розкиду значень незалежної змінної. Тобто, ця частина пояснюється за рахунок моделі (звідси і назва – пояснена сума квадратів). Друга частина – сума квадратів залишків – виникає внаслідок збурень і не пояснюється за рахунок моделі. Формула розкладу дисперсії:
Коефіціент детермінаціїї визначається як частка поясненої і загальної сум квадратів:
Для обчислення коефіціента детермінації можна користуватись такими формулами
Коефіціент детермінації є частиною дисперсії залежної змінної , яка пояснюється за рахунок моделі, або, іншими словами, завдяки мінливості незалежної змінної. Коефіціент детермінації є мірою тісноти саме лінійного звязку між x та y. Коефіціент детермінації завжди знаходиться в межах від нуля до одиниці. Чим ближче до 1, тим точніше x пояснює y. Якщо = 1, це означає, що всі значення x та y лежать на одній прямій. Якщо = 0 ,то лінія регресії – горизонтальна пряма; це означає відсутність (лінійного) звязку між змінними. Коефіціент детермінації є мірою згоди регресії. Проілюструємо сказане графічно. На Рис. 1.2 зображено три набори даних по 100 спостережень в кожному, утворені за допомогою датчика випадкових чисел, разом з вибірковими регресійними прямими, знайденими за домогою методу найменших квадратів. В кожному випадку розраховано коефіцієнт детермінації.
8. Геометричний розподіл лагів. Оцінювання в авторегресійному вигляді
Ця модель є найбільш популярною в емпірічних дослідженнях моделей з розподіленими лагами.
Модель було запропоновано Койком, який припустив, що вплив лагових значень X на Yt експоненційно спадає з часом. Іншими словами, регресійні коефіцієнти утворюють спадну геометричну прогресію:
для
Чим ближче до нуля, тим швидше спадає вплив попередніх лагових значень.
Лагове значення залежної змінної відносить модель до класу авторегресійних або динамічних моделей.
Авторегресійна форма моделі з раціонально розподіленими лагами у випадку єдиної пояснюючої змінної має вигляд:
де εt – збурення, а кількості k–1 i l лагових значень визначаються на відміну від випадку необмежених лагів вихідним виглядом моделі (у формі рухомого середнього). Авторегресійна форма моделі з геометричним розподілом лагів є такою
У численних джерелах можна зустріти твердження про неконсистентність оцінок методу найменших квадратів за умов наявності лагових значень залежної змінної і автокорельованих збурень.
У випадку Yt-1 некорельовані з εt коректно застосувати звичайний метод найменших квадратів з використанням оцінки Неві–Веста для коваріаційної матриці оцінок параметрів. В інших випадках, наприклад для AR(1) - або для MA(1) – збурень в даній моделі, є корельованим з Yt-1. В цій ситуації найбільш простим є метод інструментальних змінних.
Інструментами для регресора X називаються змінні Z, які корельовані з X, але не корельовані з поточними збуреннями. Для знаходження оцінок потрібно відшукати принаймі не менше інструментів (які відсутні в моделі), ніж кількість ендогенних регресорів, тобто тих, які корельовані з поточними збуреннями. Техніку обчислень простіше за все описати так. Оцінювання здійснюється в два етапи. На першому етапі звичайним методом найменших квадратів оцінюються регресії ендогенних регресорів відносно інструментів, в число яких включають регресори моделі, некорельовані з поточними регресорами (екзогенні регресори). На другому етапі також звичайним методом найменших квадратів оцінюється вихідна модель, в якій значення ендогенних регресорів, замінюються на свої оцінки, знайдені на першому етапі.Крім того, при відомій структурі автокореляції збурень на другому етапі можна застосувати варіант узагальненого методу найменших квадратів, пристосований до наявного типу автокореляції збурень.
На практиці нас частіше цікавлять оцінки параметрів вихідної форми моделі. Отже їх необхідно виразити через параметри авторегресійної форми моделі, а потім в одержані формули підставити знайдені оцінки. Дисперсії можна знайти з використанням формули асимптотичної дисперсії нелінійних функцій від параметрів.
Знаючи конкретну структуру збурень (наприклад ARMA(p,q)), можна застосувати метод максимальної правдоподібності. Вигляд функції правдоподібності у випадку MA-збурень є складним і на практиці можуть виникати проблеми зі збіжністю.У випадку авторегресійних збурень існує інша дуже проста можливість. У вихідній моделі замість геометричного слід використати розподіл лагів Паскаля. Таким чином, у випадку авторегресійних збурень буває можливим звільнитись від автокореляції шляхом включення в авторегресійну форму моделі додаткових лагів, а отже, скористатись звичайним методом найменших квадратів в модифікованій моделі.
9. Геометричний розподіл лагів. Оцінювання у вихідному вигляді
для Чим ближче до нуля, тим швидше спадає вплив попередніх лагових значень.
В результаті підстановки (2.36) до (2.35) одержуємо
(2)
Запишемо (2) для моменту :
(3)
Помножимо (3) на і віднімемо від (2)
Перенесемо в праву частину рівняння:
,
де
Оскльки модель містить лагове значення залежної змінної, вона відноситься до класу авторегресійних або динамічних моделей. Збурення є процесом рухомого середнього першого порядку (МА(1)).
Миттєвий мультіплікатор дорівнює .
Рівноважний мультіплікатор:
10. Економетричні методи в економічному прогнозуванні
На практиці застосовують багато методів прогнозування. Найбільш відомими є дві методики :
1)дисперсійно-коваріаційний метод, що дозволяє зводити декілька не-зміщених прогнозів в лінійну комбінацію з найменшою дисперсією, ваги якої залежать від дисперсій та коваріацій похибок прогнозів;
2) регресійний метод, який є узагальненням дисперсійно-коваріаційного на випадок зміщеності прогнозів.
1. Дисперсійно-коваріаційний метод
Нехай існує два незміщених прогнози на період t: F1t та F2t. Нехай також дисперсії прогнозів σ21, та σ22, коваріація σ12. Новий незміщений прогноз будується за правилом: F3t=λF1t+(1-λ)F2t
Дисперсія похибки становитиме:
Мінімізуючи
вираз по , отримуємо
Звідси
де
Оскільки то комбінований прогноз є не гіршим, ніж найкращий з двох прогнозів.
На практиці часто значення дисперсій та коваріацій похибок прогнозу є невідомими, тому замість них використовують їх оцінки. Таким чином оби раються ваги для побудови нового комбінованого прогнозу.
У випадку N прогнозів, N -мірний вектор оптимальних вагів визначається за формулою:
де V— коваріаційна
матриця похибок розмірності N * N,
І- N -мірний вектор одиниць.
З вищесказаного робимо висновок, використання дисперсійно-коваріаційної комбінації є кращою, ніж вибір найкращого з прогнозів з най меншою дисперсією.
2. Регресійний метод
Регресійний метод є узагальненням попереднього методу, який інтерпретується як оцінка коефіцієнтів регресійного рівняння виду.
Новийкомбінований прогноз F1 є лінійною комбінацією N прогнозів. Коефіцієнти , i=0, 2,….N оцінюються за методом найменших квадратів. Якщо всі прогнози є незміщеними, то доданок можна опустити. В цьому випадку оцінки коефіцієнтів будуть співпадати з оцінками вектора A з попереднього методу.
Армстронг визначає 139 принципів для узагальнення знань щодо прогнозування. Звичайно, при прогнозуванні одного часового ряду не слід використовувати і половини принципів, але їх слід знати, оскільки кожний набір даних може вимагати використання відповідних методів. Необхідно виділити 5 етапів побудови прогнозів:
1. Постановка задачі.
2. Отримання інформації.
3. Виконання методів прогнозування.
4. Оцінка методів прогнозування.
5. Використання прогнозів.
Перший етап складається з постановки цілей дослідження, визначення взаємовпливу прогнозів та зовнішнього середовища. Наступним кроком є структурування задачі, виділення її компонентів, детермінованих та випадкових. На другому етапі слід виділити і визначити джерела інформації, а також, так звана чистка даних, тобто виключення з інформації помилок , зміни значень внаслідок зміни визначень економічних понять, інфляції тощо. Крім того необхідно виключити минулі систематичні та несистематичні зміни, сезонні коливання, відомі шоки. На третьому етапі слід обрати експертні та статистичні методи прогнозування. При застосуванні статистичного прогнозування слід використовувати прості, надійні методи, особливо в умовах високої невпевненості в майбутньому. При використанні експертних методів слід вимагати від експертів повного розуміння питання і їх письмового прогнозу з його обґрунтуванням. На четвертому етапі необхідно обрати один з декількох методів.Найкращий метод потрібно обрати після повного аналізу залишків, порівняння критерії точності, а також витрат на застосування методів.На п’ятому етапі необхідно подати результати дослідження до замовника.
11. Економічна інтерпретація інтегрованості і коінтегрованості
Коінтеграція – лінійна комбінація стаціонарних інтегрованих процесів.
При побудові часових рядів дані часто бувають нестаціонарними, за допомогою коінтеграції від неї можна позбавитись.
Нехай для двох часових рядів (процесів) існує деяка їх лінійна комбінація , яка є стаціонарною. Тоді кажуть, що змінні є коінтегрованими.
Більш загальне поняття: нехай часові дяди є інтегрованими порядку d, тобто I(d). Тоді лінійна комбінація цих двох рядів також буде I(d). Якщо існує лінійна комбінація цих рядів I(d-b), тоді ці ряди називаються коінтегрованими порядку (d,b). Саме коінтеграція дозволяє досліднику вводити до відповідної системи необхідний зв’язок між змінними, що призводить до більш точного оцінювання моделі.
Економічна інтерпретація – відповідні 2 змінні знаходяться у стані динамічної рівноваги (критерій Йохансона)
Процес є коінтегрованим якщо:
1) не дорівнюють нулю (коефіцієнти рівняння)
2) стаціонарний процес (відсутність сезонності та тренду)
білий шум ()
Порядок інтегрованості – перші прирости різниці є інтегрованими.
Приклад: паритет купівельної спроможності – відносні ціни та валютний курс повинні мати довгострокову динамічну рівновагу єдина зміна: зміна log співвідношення цін відбиває повну симетрію на log купівельної спроможності
- оцінює незалежність від лагової структури (вплив z на y) – оцінка рівноважного мультиплікатора.
12. Інтерпретація регресійних коефіцієнтів.
Рівняння регресії:
Якщо значення змінної xi змінити на одиницю, а решту змінних залишити постійними, то значення зміниться на bi одиниць. Таким чином, коефіцієнти регресійного рівняння є кількісною мірою впливу окремо взятих незалежних змінних на залежну змінну за умови ceteris paribus.
Коефіцієнти рересійного рівняння було б заманливо використовувати для порівняння різних незалежних змінних (факторів) за ступенем їх впливу на залежну змінну. Однак, величина регресійних коефіцієнтів залежить від одиніці виміру. Крім того, одиниці виміру різних змінних в моделі можуть мати різний економічний зміст. Отже, регресійні коефіцієнти не можна використовувати для порівняння дії різних факторів.
Найчастіше використовують два методи порівняння факторів за ступенем впливу: 1.Порівняння коефіцієнтів в регресії відносно стандартизованих змінних.2.Порівняння коефіцієнтів еластичності.
Регресія відносно стандартизованих змінних.
Коефіцієнти стандартизованої регресії є мірою впливу незалежних змінних в термінах типової величини іх зміни.
Коефіцієнти еластичності.
Найчастіше використовують коефіцієнти еластичності попиту відносно ціни та доходу в моделях попиту. Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться y у відповідь на зміну xi у 1 відсоток за умови, що решта змінних залишиться постійною.
Коефіцієнти еластичності залежать від того, при якому значенні змінної вони обчислюються. Стандартним є обчислення коефіцієнтів еластичності при середніх значеннях змінних:
,
Для порівняння не існує критерія, придатного в усіх ситуаціях. При виборі критерія треба враховувати мету дослідження, використовувати знання з тієї галузі економічної теоріїї, яка вивчає досліджуваний об’єкт.
13.Каузальність за Грейнджером
Можлива ситуація, коли певна змінна не реагує на шоки іншої змінної. Така специфічна поведінка функції імпульсної реакції (за її допомогою можна досліджувати, який вплив на майбутні значення мають відповідні шоки в минулому ) привернула широку увагу. У цьому змінна, яка зазнала шок, не впливає у розумінні Грейнджера (не є каузальною за Грейнджером) на змінну, котра не реагує на шок. Вивчення екон-ки починається, зокрема, із такого застереження: розташування x в правій частині рівняннян y = xβ + ε не означає, що x "є причиною для" y. (Прийняте правило, згідно якому причинні фактори розташовують справа – просто сподівання, на те, що певний набір причинних факторів x може бути ортогональним до інших чинників ε). Подальшим рухом у цьому напрямку є положення про те, що "причинний зв'язок (каузальність)" не можна сформулювати у вигляді гіпотези, котра допускає статистичну перевірку; такий зв’язок повинен бути відомим апріорно. Поняття каузальності за Грейнджером стало предметом широкої уваги, оскільки, як виявилось, існує певний, хоча і обмежений, контекст, у якому можна перевіряти, чи одна змінна "є причиною для" іншої й навпаки. Найбільш природне визначення "причини" – те, що причини повинні передувати ефектам. Однак, ця властивість не обов’язково виконується в контексті часових рядів.
14. Коінтеграція і модель корекції похибок: випадок 2-х змінних. Критерій Грейнджера. При побудові систем часових рядів дані часто бувають нестаціонарними. Особливо така проблема часто зустрічається в ек-ій інформації. Один з можливих розв'язків цієї проблеми полягає в тому, що кожен з часових рядів, який буде включений до відповідної моделі, модифікується за допомогою методу різниць до тих пір, поки він не стане стаціонарним. Лише після цього відбувається оцінка моделі. Альтернативою такій можливості є так звана коінтеграція. Отже, коінтеграція - це метод визначення довгострокового взаємозв'язку серед групи змінних динамічних рядів. Більш загальне поняття коінтеграції є таким. Нехай часові ряди у,, та угі є інтегрованими порядку d, тобто I(d). Тоді, як правило, лінійна комбінація цих двох рядів також буде I(d). Але якщо, існує лінійна комбінація цих ря дів І (d-b), тоді ці ряди називаються коінтегрованими порядку (d, b), що позна чають СI(d,b). Якщо відповідна лінійна комбінація може бути записана у фор мі ату,, де у] = (у,,, у2і), то вектор а називається коінтеграційним вектором. У стандартній VARМА -моделі нема обмежень щодо взаємного руху декі лькох часових рядів. Саме коінтеграція дозволяє досліднику вводити до від повідної системи необхідний зв'язок між змінними, що призводить до більш точного оцінювання моделі. Грейнджер також продемонстрував, що спільна динаміка коінтегрированих змінних може бути виражена так званою моделю корекції похибок. Така модель не тільки статистично коректна, але й може мати ясну економічну інтерпретацію. Наприклад, динаміка валютних курсів і цін визначається одночасно двома чинностями: тенденцією до згладжування відхилень від довгострокового рівноважного обмінного курсу, і короткостроковими коливаннями навколо траєкторії встановлення цієї довгострокової рівноваги. Грейнжер та Енгл показали, що якщо змінні коінтегрировані, то в них включається модель виправлення похибок. Ця модель описує процес, у ході якого змінні у випадку відхилення повертаються до рівноваги. Регресія корисна, коли аналізуються тільки два ряди, тому що в цьому випадку може бути не більше одного коефіцієнта коінтеграції. Енгл і Грейнджер (1987) розробили двухстадфійний процес оцінки моделі корекції похибок. 1 стадія - оцінка регресії коинтеграции тимчасових рядів; 2-побудова наступної моделі виправлення помилки. ; , де й .Таким чином, ми можемо використовувати МНК для оцінки поточних і від минулих спостережень й , а також значення коінтегрованої змінної. У випадку багатьох змінних може бути більше одного вектора коінтеграції. Отже, потрібна методологія, яка б визначила структуру всіх векторів коінтеграії. Такий процес був розроблений Йохансеном. Він визначає безліч тимчасових рядів у якості векторного авторегресійного (VAR) процесу.
15. Критерій Дікі-Фулера (варіант «випадкове блукання» проти тренда). Моделі для змінних, стаціонарних з точністю до тренда.
Критерій Дікі-Фулера.
Діагностика стаціонарності: простий (DF) та розширений (ADF) тест Дікі-Фулера
Основа тесту – регресія виду
∆Yt = a0 + a1t + bYt-1 + Sum(ci∆Yt-i) + ei, де
∆Yt = Yt - Yt-1.
Якщо всі сі = 0, то DF-тест, інакше – ADF-тест.
На практиці к-сть лагів для ADF-тесту не більше 10% від спростережень.
Гіпотези:
Н0: b = 0, часовий ряд є нестаціонарним, Yt ~ I(d), d>0 (d – порядок інтеграції);
H1: b < 0, часовий ряд є стаціонарним, Yt ~ I(0), тобто має порядок інтеграції 0.
Гіпотеза Н0 відкидається, якщо отриманий коефіцієнт b < 0 та t-статистика по модулю більша за абсолютну величину критичного значення статистики МакКіннона для тестування наявності одиничного кореня при заданому рівні значимості α.
| t-stat | = | b/SE(b) |;
| t-stat | > | tcritical | - Н0 відкидається, дані є стаціонарними.
Критерій Дікі-Фуллера фактично припускає, що спостережуваний ряд описується моделлю авторегрессії першого порядку (можливо, з виправленням на лінійний тренд).
Критичні значення залежать від того, яка статистична модель оцінюється і яка ймовірнісна модель в дійсності породжує значення, що спостерігаються. Якщо ряд має детермінований лінійний тренд
SM: Δxt=φxt-1+ά+βt+εt, t=2,.....,T
DGP: Δxt= ά+εt, t=2,.....,T ά≠0
В обох випадках εt незалежны випадковы величини, що мають однаковий нормальний розподыл з нульовим матиметичним очікуванням. Методом найменших квадратів оцінюються параметри даної SM і обчислюється значення звичайної t-статистики tφ для перевірки гіпотези H0:φ=0. Отримане значення порівнюється з критичним рівнем tcrit, розрахованим у припущенні, що ряд, що спостерігається, у дійсності породжується даною моделлю DGP (випадкове блукання зі зносом). DS-гіпотеза відкидається, якщо tφ < tcrit.
16.Критерій Дікі-Фуллера. Модифікований кр-й Д-Ф
Критерій Дікі-Фулера (діагностика стаціонарності: простий (DF))
Основа тесту – регресія виду
∆Yt = a0 + a1t + bYt-1 + Sum(ci∆Yt-i) + ei, де
∆Yt = Yt - Yt-1.
Якщо всі сі = 0, то DF-тест, інакше – ADF-тест.
На практиці к-сть лагів для ADF-тесту не більше 10% від спростережень.
Гіпотези:
Н0: b = 0, часовий ряд є нестаціонарним, Yt ~ I(d), d>0 (d – порядок інтеграції);
H1: b < 0, часовий ряд є стаціонарним, Yt ~ I(0), тобто має порядок інтеграції 0.
Гіпотеза Н0 відкидається, якщо отриманий коефіцієнт b < 0 та t-статистика по модулю більша за абсолютну величину критичного значення статистики МакКіннона для тестування наявності одиничного кореня при заданому рівні значимості α.
| t-stat | = | b/SE(b) |;
| t-stat | > | tcritical | - Н0 відкидається, дані є стаціонарними.
Узагальнений критерій Дікі-Фулера (визначення порядку інтеграції нестаціонарного ряду)
ADF-тест:
∆2Yt = a0 + a1t + bYt-1 + Sum(ci∆2Yt-i) + ei, де
∆2Yt – другі різниці.
Н0: b = 0, часовий ряд перших різниць є нестаціонарним, ∆Yt ~ I(d), d>0;
H1: b < 0, часовий ряд перших різниць є стаціонарним, ряд має порядок інтеграції 1, Yt ~ I(1).
Далі аналогічно, t-статистика, критичне значення...
Повторення, поки не буде відкинута Н0, другі, треті,... різниці.
17. Критерій Йогансена.
Коінтеграція є статистичним виразом концепції довгострокового зв’язку між нестаціонарними змінними. Необхідною умовою коінтеграції є однаковий порядок інтегрованості нестаціонарних змінних. Нехай ми маємо нестаціонарних змінних: однакового порядку . Ми можемо зробити висновок, що ці змінні коінтегрують, якщо їхня лінійна комбінація є стаціонарним рядом, тобто .
Інгл та Гренджер ввели таке загальне поняття коінтеграції. Компоненти вектора є коінтегрованими порядку якщо: всі компоненти мають однаковий порядок інтеграції ; існує вектор коефіцієнтів такий, що лінійна комбінація є інтегрованою величиною порядку .
Тест Йохансена використовується для перевірки часових рядів на коінтеграцію. Методологія Йохансена базується на зв‘язку між рангом матриці та її характеристичними коренями. Дослідимо такий найпростіший можливий зв’язок між змінними: , де — вектор змінних порядку , — матриця коефіцієнтів моделі, — вектор збурень, які є білим шумом, але такі, що може корелювати з . , де є . Ранг матриці дорівнює кількості коінтеграційних рівнянь.
18. Метод інструментальних змінних
Одним із способів усунення корелювання пояснюючої змінної з випадковим відхиленням є метод інструментальних змінних. Сутність цього методу полягає в заміні змінної, що корелює із залишками, інструментальною змінною (ІЗ), яка повинна мати такі властивості:
♦корелювати (бажано значною мірою) із заміненою пояснюючою змінною;
♦не корелювати з випадковим відхиленням.
Зазначимо, що за допомогою методу інструментальних змінних як складової 2МНК можна отримувати обгрунтовані оцінки й оцінки стандартних відхилень для вибірок великих обсягів. Однак для малих вибірок висновки будуть не настільки конкретними
19. Метод максимальної правдоподібності для регресії
Метод можна застосувати у тому випадку, коли розподіл спостережень відомий з точністю до скінченої кількості параметрів. Спочатку розглянемо знаходження ММП-оцінок у випадку незалежних виборок.
Дискретний випадок
Нехай
y1,…, yn – незалежна виборка з дискретного розподілу, який задається набором можливих значень х1,…, хk та відповідних імовірностей
де θ параметр, який потрібно оцінити. Припустимо, що тоді . Оскільки спостереження незалежні, то ймовірність даної реалізації виборки дорівнює
.
Останній вираз, якщо його розглянути як функцію від θ називається функцією правдоподібності:
Наприклад, якщо y1,…, yn – реалізація виборки з розподілу Бернулі з імовірністю успіху θ, тобто ,тоде m-кількість одиниць серед чисел yi.
Оцінкою (методу) максимальної правдоподібності (ММП-оцінкою) називається таке значення θ, при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму. Іншими словами, за оцінку вибирається таке значення θ, при якому ймовірність спостерігати наявну реалізацію виборки є найбільшою.
Неперервний випадок.
Нехай тепер y1,…, yn - реалізація виборки з абсолютно неперервного розподілу зі щільністю f (y) = f (y, θ). Внаслідок незалежності функція спільної щільності дорівнює Остання функція, якщо її розглядати як функцію параметра називається функцією правдоподібності:
Нехай, наприклад y1,…, yn - реалізація незалежної виборки з нормального розподілу з параметрами m і δ2. Тоді , а функція правдоподібності набуває вигляду
Як і дискретному випадку, оцінки знаходяться з умови максимізації функції правдоподібності. Зауважимо, що оскільки функція правдоподібності є добутком, то технічно набагато простіше знаходити максимум її логарифму, який досягається при тих самих значеннях параметрів внаслідок монотонності логарифмічної функції.
ARMA-процес є сумою AR та MA-процесів.
Заг. вигляд ARMA(p,q)-процесу:
yt = c + Sum(φiyt-i, i=1,p) + εt + Sum(θiεt-i,i=1,q).
ARMA(p,q)-процес є стаціонарним, якщо всі корені zi р-ня
1 - φ1z - φ2z2-…- φpzp = 0
задовольняють умові |zi|>1.
ARMA(p,q)-процес є зворотним (тобто його можна перетворити у AR(∞)-процес або MA(∞)-процес), коли всі корені zi р-ня
1 + θ1z + θ2z2 +…+ θpzp = 0
задов. умові |zi|>1.
21. Моделі за лаговими змінними. Класиф-ія. Інтерпретація регресійних коеф-ів
Моделі регресії з лаговими змінними розрізняються на таки типи;
1. В моделях з розподіленними лагами регресорами є тільки поточні та минулі значення незалежним змінних. Наприклад, у випадку лише однієї незалежної змінної модель має вид;
(2.16)
В залежності від кількості k лагових значень незалежної змінної моделі з розподіленними лагами розділяються на два типии:
• моделі зі скінченими лагами
(2.17)
• моделі зі нескінченими лагами
(2.18)
В обох випадках, щоб уникнути прямування ΕYt до нескінченності припустимо, що сумма коефіцієнтів βi є скінченною;
(2.19)
2. Рівняння (2.4, 2.7, 2.13, 2.15) є прикладами моделей з розподіленними лагами.
3. Авторегресійні або динамічні моделі. В цих моделях множина регресорів містить одне або більше лагових значень залежної змінної. Наприклад,
(2.20)
Проінтерпретуємо регрессійні коефіцієнти в моделях з розподіленними лагами на прикладі моделі (2.16). В цій моделі за рівності решти умов, якщо Хt збільшиться на одиницю за період t, то ΕYt зміниться на β0 в момент t, на β1 в момент t+1 і так далі. Визначимо такі характеристики впливу;
• частковий мультіплікатор порядку . Він характеризує граничний ефект. Іншими словами, частковий мультиплікатор характеризує вплив ΕYt одиничного зростання Хt, яке відбулось за i періодів до періоду t;
• короткостроковий або миттєвий мультіплікатор. Це частковий мультіплікатор порядку i=0 і дорівнює β0. Тобто, він характеризує вплив на ΕYt одиничного зростання Xt , яке відбулось в той самий період;
• проміжний мультіплікатор порядку i. Визначається як сума перших часткових мультиплікаторів . Проміжний мультіплікатор характеризує вплив на ΕYt від зростання Xt на одиницю протягом i періодів перед t;
• довгостроковий, загальний або рівноважний мультиплікатор
визначається як сума всіх часткових мультиплікаторів . Рівноважний мультиплікатор характеризує ефект ΕYt від зростання Xt на одиницю в кожному періоді, який передує t.
22. Моделювання попиту і пропозиції за допомогою систем симулятивних рівнянь.
Розглянемо наступну функцію попиту на деякий товар:(3.1)
де qd – обсяг попиту, p – ціна товару, ε – збурення, яке відтворює випадковий зсув функції попиту. В рівнянні (3.1) збурення ε корельоване з регресором p (якщо крива пропозиції не є вертикальною). Має місце наступне твердження: якщо регресори корельовані зі збуреннями, то оцінки методу найменших квадратів будуть не тільки зміщеними, а й не консистентними. Розв’язок полягає у сумісному оцінюванні функцій попиту і пропозиції. Такі моделі відомі як системи симультативних (одночасних) рівнянь.
Проаналізуємо систему рівнянь попиту та пропозиції: де qd – обсяг попиту, p – ціна товару y – особистий доход, qs – обсяг пропозиції, z – неціновий фактор, який впливає на пропозицію Співвідношення (3.2) – це функція попиту (3.3) – функція пропозиції, (3.4) – тотожність локальної ринкової рівноваги. Системи симультативних рівнянь складаються з рівнянь поведінки та тотожностей. Рівняння (3.2) та (3.3) є рівняннями поведінки, а (3.4) – це тотожність. Серед змінних, які входять до систем симультативних рівнянь, розрізняють ендогенні і екзогенні. Значення ендогенних змінних визначаються в моделі, а значення екзогенних змінних – за рамками моделі. Ендогенні змінні також називають сумісно визначеними, а екзогенні змінні – предетермінованими (наперед визначеними). В групу предетермінованих змінних також включають лагові значення ендогенних змінних. Ендогенні змінні корельовані зі збуреннями в рівняннях, а екзогенні – некорельовані. В цьому останні подібні до незалежних змінних в звичайних регресійних моделях. В системі (3.2) – (3.4) змінні p, qd та qs є ендогенними, а y і z – екзогенними. Систетеми симультативних рівнянь повинні задовольняти наступній умові повноти: кількість рівнянь має співпадати з кількістю ендогенних змінних в системі.
23. Модель адаптивних очікувань
В моделі адаптивних очікувань, запропонованій Кейганом, «очікуваний» рівень пояснюючої змінної визначає поточний рівень залежної змінної Yt:
(2.57)
Наприклад, сукупний попит на гроші є функцією очікуваної довгостркової відсоткової ставки, обсяг попиту є функцією очікуваної ціни, рівень споживання є функцією очікуваного або перманентного доходу.
Кейган припустив, що очікувані значення коректуються з урахуванням нової інформації:
(2.58)
Оскільки 0<δ ≤1, то зміна очікуваного рівня є завжди меньшою ніж різниця між фактичним значенням і його очікуваним значеням .
Рівняння (2.58) відоме як «рівняння адаптивних очікувань» або «рівняння навчання на похибках».
Коефіцієнт δ називається «коефіцієнтом очікувань» . Чим більше δ, тим в більшій мірі реалізуються очікування в період t.
У крайньому випадку δ=1 всі очікування реалізуються протягом поточного періоду.
Запишемо (2.58)у такому вигляді
(2.59)
звідки видно, що очікуване значення є зваженим середнім фактичного і попереднього очікуваного значення.
Підставимо (2.59) до (2.57):
(2.60)
Запишемо (2.60)для моменту t−1, результат помножимо на (δ - 1) і віднімемо від (2.59):
(2.61)
Таким чином, ми одержали модель з геометрично розподіленими лагами, записану а авторегресійній формі. Якщо збурення у вихідній моделі (2.62) є класичними (тобто гомоскедастичними і некорельованими), то збурення в моделі, записаній у вигляді (2.61) генеруються процесом MA(1). Однак не слід думати, що модель адаптивних очікувань з необхідністю веде до появи автокорельованих збурень в авторегресійній формі моделі. Наприклад, якщо в (2.57)
то ut являють собою збурення в моделі (2.61). Зрозуміло, що ut можуть бути некорельованими і гомоскедастичними. Оскільки апріорі невідомо, якими є властивості збурень вихідної моделі в конкретних ситуаціях, то зі сказаного можна зробити висновок, що та чи інша економічна модель, яка призводить до моделі з геометричними лагами, взята сама по собі, не визначає властивості збурень в авторегресійному вигляді останньої. Отже, на нашу думку, правильним підходом буде статистичне визначення властивостей збурень в кожній конкретній ситуації.
24.Модель з випадковими ефектами.
В регресійному аналізі прийнято припускати, що всі фактори, які діють на залежну змінну,але які не входять до рівняння, явно моделюються за допомогою збурень. В нашому випадку це призводить до припущення, що iα є випадковими факторами, незалежними й однаково розділеними відносно одиниць спостережень. Таким чином, модель можна записати у вигляді
інтерпретується як похибка, яка складається з двох компонентів:
1).компоненту, специфічного для кожної одиниці спостережень, який не змінюється в часі;
2).залишкового компоненту, який припускається некорельованим в часі.
Таким чином, кореляція збурень в часі виникає завдяки ефектам iα, пов’язаних з одиницями спостережень. Отже, залишилось записати структуру цієї кореляції й застосувати узагальнений метод найменших квадратів. З точки зору обмежень, найбільш простою процедурою є така. Слід знайти оцінки звичайного методу найменших квадратів в моделі за перетвореними даними
На практиці невідомі, тому їх потрібно оцінювати.
Оцінка знаходиться з моделі з фіксованими ефектами. Оцінка знаходиться за формулою
де ei - залишки звичайного методу найменших квадратів в моделі
Оцінки одержані за допомогою описаного варіанту узагальненого методу найменших квадратів називаються оцінками з випадковими ефектами, позначаються βRE (random effects estimator) Коваріаційна матриця знаходиться за формулою
Ця коваріаційна матриця співпадає зі стандартною коваріаційною матрицею, яка розраховується при оцінюванні моделі за перетвореними даними звичайним методом найменших квадратів.
25. Модель з фіксованими ефектами.
Модель з фіксованими ефектами є моделлю з лінійної регресії, в якій константи змінюються від одиниці до одиниці
Припустимо також, що всі незалежні від усіх itxitε. Цю модель можна записати в рамках стандартної моделі регресії з використанням фіктивної змінної для кожної одиниці і в моделі
Отже, модель можна оцінити звичайним методом найменших квадратів, однак в цьому випадку модель міститиме велику кількість невідомих параметрів. Однак можна вчинити простіше. Можна показати, що ті ж самі оцінки β можна знайти з регресії з використанням даних у формі відхилень від середніх за одиницями. Спочатку зауважимо, що
а решта середніх утворюються аналогічно. Далі, запишемо
МНК-оцінка β, знайдена за цією моделю з перетвореними даними називається оцінкою з фіксованими ефектами. Позначимо їїчерез FEˆβ. Оцінки iα знаходяться так:
Оцінки є незміщеними в припущенні, що . Коваріаційна матриця
де σ-оцінка дисперсії збурень: При достатньо необмежливих припущеннях оцінки є асимптотично нормальними,. Отже, можна застосувати стандарті тестові статистики ( t-статистику, статистику Вальда).
26. Модель Логіт
Відноситься до моделей бінарного вибору. Припустимо, що нас цікавить, чому сім’я має або не має автомобіль. Нехай єдиною пояснюючою змінною є доход. Є дані про сімей . Позначимо через доход сім’ї. Визначимо залежну змінну таким чином: , якщо -та сім’я має автомобіль;
, якщо - та сім’я не має автомобіль.
, якщо ; - сім’я купує автомобіль
, Якщо
Інша можлива інтерпретація - це різниця функції користності для двох рішень. Параметри моделі оцінюються методом максимальної правдоподібності. Позначимо через функцію розподілу збурень і припустимо, що розподіл збурень є симетричним. Таким чином, функція правдоподібності має вигляд Поки що ми визначили латентну змінну з точністю до довільної константи. Дійсно, визначимо : де .
Тоді, якщо
то
то
Дисперсії збурень для двох варіантів латентної змінної відрізнятимуться в разів. Тому ми можемо одозначно визначити латентну змінну, зафіксувавши її дисперсію.
Модель Логіт одержується в припущенні, що збурення мають логістичний розподіл з ф-ю розподілу: F(x) = . Логарифм ф-ї правдоподібності має вигляд:
Для характеризації згоди моделі використовують декілька варіантів псевдо :
Для моделі зручно інтерпретувати не , а , де - відповідна функція розподілу. З виведення функції правдоподібності видно, що вираз є оцінкою імовірності тобто оцінкою імовірності того, сім’я матиме автомобіль, кредит буде повернуто, тощо. Внаслідок того, що функції розподілу монотонно зростають,знаки коєфіцієнтов інтерпретуються майже звичним чином. Для характеризації згоди моделі використовують декілька варіантів псевдо
1 .Псевдо за Амемійя
2. Псевдо за Мак Фейдом де де ;
3. Псевдо , що грунтується на коректних прогнозах.
27. Модель пробіт
Відноситься до моделей бінарного вибору. Припустимо, що нас цікавить, чому сім’я має або не має автомобіль. Нехай єдиною пояснюючою змінною є доход. Є дані про сімей . Позначимо через доход сім’ї. Визначимо залежну змінну таким чином: , якщо -та сім’я має автомобіль;
, якщо - та сім’я не має автомобіль.
, якщо ; - сім’я купує автомобіль
, Якщо
Інша можлива інтерпретація - це різниця функції користності для двох рішень. Параметри моделі оцінюються методом максимальної правдоподібності. Позначимо через функцію розподілу збурень і припустимо, що розподіл збурень є симетричним. Таким чином, функція правдоподібності має вигляд Поки що ми визначили латентну змінну з точністю до довільної константи. Дійсно, визначимо : де .
Тоді, якщо
то
то
Дисперсії збурень для двох варіантів латентної змінної відрізнятимуться в разів. Тому ми можемо одозначно визначити латентну змінну, зафіксувавши її дисперсію. Найчастіше припускають, що збурення мають стандартний нормальний розподіл. Модель, яка одержується в такому випадку отримала назву моделі пробіт. Логарифм функції правдоподібності має вигляд
Для моделі зручно інтерпретувати не , а , де - відповідна функція розподілу. З виведення функції правдоподібності видно, що вираз є оцінкою імовірності тобто оцінкою імовірності того, сім’я матиме автомобіль, кредит буде повернуто, тощо. Внаслідок того, що функції розподілу монотонно зростають,знаки коєфіцієнтов інтерпретуються майже звичним чином. Для характеризації згоди моделі використовують декілька варіантів псевдо
1 .Псевдо за Амемійя
2. Псевдо за Мак Фейдом де де ;
3. Псевдо , що грунтується на коректних прогнозах.
28. Модель тобіт.
В деяких ситуаціях залежна змінна є неперервною, але діапазон її значень є обмеженим. Досить часто значення залежної змінної дорівнює нулю для значної частини популяції і є додатнім для решти популяції. Як приклади можна назвати витрати на товари тривалого користування, робочі години, обсяги прямих іноземних інвестицій, зроблених фірмою.
Стандартна модель Тобіт (молель цензорованої регресії):
, ,
, якщо
, якщо
незалежні і мають розподіл
Латентна змінна як правило інтерпретується як “бажала” кількість. Логарифм функції правдоподібності має вигляд
де F-ф.р. стандартного нормального розподілу. Звернімо увагу на особливість інтерпретації регресійних коєфіцієнтів і вибіркової регресійної функції. Очікувані значення залежної змінної знаходять так:
де F- функція розподілу, а - щільність стандартного нормального розподілу. Граничний ефект незалежної змінної не дорівнює регресійному коєфіцієнту. За умови цензурування :
.
Оскільки оцінки параметрів знаходяться методом максимальної правдоподібності, то знаходження коваріаційної матриці і перевірка гіпотез здійснюється в рамках звичайної для ММП схеми.
29. Модель часткового пристосування.
Цю модель запропонував Марк Нерль. Він припустив, що поточний рівень пояснюючої змінної визначає «бажаний» рівень залежної зміної :
Наприклад, бажаний рівень запасів фірми є функцією від рівня продаж, бажаний рівень капіталу в економіці є функцією випуску.
Однак, бажаний рівень не можна спостерігати і, отже, використовувати для оцінювання. Завдяки різним причинам існує різниця між бажаним і фактичним рівнями залежної зміної:
(2.54)
Тобто, з точністю до збурення фактичний приріст залежної зміної є меньшим від бажаного в разів.
Рівняння (2.55) відоме як рівняння часткового пристосування, а називається коефіцієнтом пристосування.
Чим ближче до одиниці, тим швидше фактичний рівень наближається до бажаного.
Запишемо (2.54) у такому вигляді
(2.55)
З (2.55) видно, що фактичне значення залежної змінної в момент t дорівнює зваженому середньому її бажаного значення в момент t і фактичному значенню в момент t-1.
Підставимо (2.53) до (2.55):
Звідси
Якщо не брати до уваги властивості збурень, то (2.56)є авторегресійною формою моделі з геометричним розподілом лагів.
30. Необмежені моделі зі скінченною довжиною лагу.
Лаг – різниця між поточними та минулими моментами часу.
Необмежений підхід – використовується якщо довжина лагу K скінченна і відсутні обмеження, які стосуються характеру лагової залежності і накладаються на регресійні коефіцієнти моделі. При застосуванні такого підходу розрізняються ситуації в залежності від того, відома чи невідома довжина лагу.
Відома довжина лагу. Припустимо, що збурення задовольняють класичним умовам, застосовуємо звичайний МНК, оцінки ЗМНК будуть найкращими лінійними незміщеними оцінками.
Невідома довжина лагу ( у більшості випадків). Найб популярний підхід з такими критеріями:
1. максимізація виправленного коефіцієнта детермінації
2. мінімізація інформаційного критерія Акайке:
AIC=ln (SSR/n)+2q/n
3. мінімізація критерія Шварта
SC = ln (SSR/n) + q/n * lnq
N –кількість спостережень
Q – кількість коефіцієнтів в регресійній моделі
SRR – сума квадратів залишків
Всі ці критерії будуються на компромісі між максимізацією , який зростає при збільшенні кількості змінних в моделі, і принципом економності, тобто недопущенням розростання моделі. Найбільш чуттєвим до включення додаткових лагів є критерій Шварца (при Іп(п)>2) а найменьш чуттєвим -критерій максимізації .
Приймаючи до уваги той факт, що довжина більшості рядів економічних даних коротка, можна окреслити дві серьознІ проблеми, які виникають у випадку великої довжини лагу:
1.. Невелика кількість ступенів свободи. Чим більше довжина лагу, тим меньше кількість ступенів свободи і, отже, тим меньшою є точність оцінок і надійність перевірок гіпотез.
2.Мультиколінеарність. Чим більшою є довжина лагі, тим з більшою ймовірністю додаткові лагові змінні будуть корельованими. Мультиколінеарність також знижує точність оцінок і надійність перевірок гипотез.
31. Неправильне визначення функціональною форми. Наслідки. Діагностика. Методи вирішення проблеми.
Нехай справжня модель має вигляд , а замість неї ми оцінюємо
В такому випадку ми, напевне, стикнемося з ситуацією, подібної до зображеної на рисунку 1.
Зрозуміло, що залишки виявляться корельованими (за даними, зображеними на рисунку, які відсортовано в порядку зростання х, d = 0,948). Правильним рішенням буде не використання узагальненого методу найменших квадратів, а зміна функціональної форми моделі. Простим критерієм перевірки функціональної форми є критерії RESET.
Критерій RESET
Для перевірки лінійності в моделі , де через позначено вектор регресорів в і-му спостереженні, слід оцінити вихідну модель звичайним методом найменших квадратів, а потім в допоміжній регресії перевірити гіпотезу Можна використати стандартний -- критерій або загальний критерій Вальда зі статистикою яка асимптотично має розподіл -квадрат з степенями свободи. Якщо нульова гіпотеза відхиляється в модель потрібно включити відповідні степені та добутки вихідних змінних.
Наслідком неправильно обраної функціональної форми є:
*Неоднорідність дисперсії помилок
*Автокорельованість помилок
Для цілей діагностики можна використовувати цілий ряд різноманітних статистичних процедур, які направлені в основному на перевірку гіпотези Ho, про те, що в моделі, яка досліджується, послідовність дійсно створить процес білого шуму.
Методи вирішення проблеми:
*Прямий метод, полягає у використанні наближення, де використовується модифікований критерій Бокса-Кокса
*Використання Q-статистики Люнга-Бокса
32. Обернені зв’язки. Наслідки. Методи вирішення проблеми.
Обернені зв‘язки.
Наявність обернених зв‘язків є характерною ознакою для функції попиту.
dt = β0 + β1Pt + β2y + E (ебсолунт), де
dt –обсяг попиту,
Рt –рівень ціни,
у –дохід,
і інші фактори.
Модель означає, що попит зріс внаслідок нецінових факторів. Е і Р додатньо корельовані. Коли dt корельовано з Pt, то порушення умови слабкої екзогенності. Якщо у впливає на х, х корельована з Е.
Коректний інструмент –це зміна, яка корельована з ендогенною зміною і не корельована зі збуреннями. В моделі (прикладі, що вище) зміна яка корельована з Р, але не корельована з неціновими факторами. Це може бути зміна, яка характеризує пропозицію.
Ендогенні теорії зростання.
фі = АК модель акціонерного капіталу, фі = АКαL1+α –модель Солоу.
Методи вирішення проблеми (засоби боротьби):
1. Додати більше лагів
2. Метод інструментальних змінних
Етапи вирішення проблеми за допомогою методу інструментальних змінних:
Оцінювання регресії ендогенних змінних відносно інструментів.
Оцінюється вихідна модель, в якій фактичні значення ендогенних змінних замінюються на прогнози І етапу.
33.Особливості регресійного аналізу у випадку стаціонарних, але сильно автокорельованих часових рядів.
Особливість автокорельованого стаціонарного часового ряду полягає в тому, що члени часового ряду є статистично взаємозалежними. Ступінь тісноти статистичного зв’язку між двома випадковими величинами може бути виміряна парним коефіцієнтом кореляції або коефіцієнтом автокореляції.при аналізі зміни величини r(t) в залежності від значення t прийнято говорити про автокореляційну функцію r(t). Автокореляційна функція без вимірна, тобто не залежить від масштабу виміру часового ряду, що аналізується. Її значення по визначенню можуть коливатися від -1 до +1. крім того, із стаціонарності випливає, що r(t) = r(-t), таким чином при аналізі поведінки авто кореляційної функції обмежуються розглядом лише позитивних значень t.
Вибірковий аналог авто кореляційної функції визначається формулою:
Особливості автокорельованого стаціонарного ряду обумовлені наступним: очевидно. Чим більше рознесені в часі члени часового ряду xt і xt+t, тим слабшоє є взаємозв’язок цих членів і, відповідно, тим менше повинно бути по абсолютній величині значення r(t). При цьому в даному ряді випадків існує таке порогове значення r0, починаючи з якого значення будуть тотожньо дорівнювати нулю.
34. Особливості регресійного аналізу у випадку тренд-стаціонарних часових рядів.
35. Переваги панельних даних. Види моделй для панельних даних.
Панельні дані – різновид просторово-часових даних. Панельні дані містять інформацію про одні і ті самі одиниці, за якими велося спостереження протягом певного часу.
Переваги:
♣Можливість вивчення особливостей розвитку об’єктів в часі
♣Ефективні способи устранения гетерогенності об’єктів, яка не спостерігається
Проблеми:
Зсув в даних в зв’язку з самовідбором (відсутність або искажение відповідей на певні питання)
Истощение та ротаційні моделі як вирішення истощения
Моделі:
1. Регресія по об’єднаним даним (параметри моделі (m+1) оцінюються за допомогою МНК по всім nT спостереженням, не враховуючи особливості панельних даних; використання методу є виправданим. Якщо не предполагается використання гетерогенних характеристик об’єктів дослідження. Інакше порушуються предпосілки МНК щодо залишків)
2. Непов’язані регресії (за допомогою МНК оцінюються параметри N окремих рівнянь по T спостереженням в кожному; метод не предполагает взаємозалежності між окремими одиницями спостереження)
3. Моделі з фіксованими ефектами (в початкову модель додається (N-1)+(T-1) фіктивних змінних, які враховують індивідуальні особливості одиниць дослідження та періодів; в таких моделях різниці в одиницях дослідження моделюються через параметри моделі
Проблеми: велика кількість параметрів через включення фіктивних змінних; мультиколінеарність у випадку незначущості гетерогенності даних)
4. Моделі з випадковими ефектами (індивідуальні особливості одиниць дослідження та періодів моделюються як компоненти випадкової складової вихідної моделі
. Параметри управління оцінюються за допомогою МНК
Недоліки: скорочення кількості оцінюваних параметрів порівняно з моделями з фіксованими ефектами за рахунок більш жорстких предпосілок про незалежність трьох складових помилки моделі)
36. Переваги та недоліки необмежених VAR.
Стискання уже давно використовується в неструктурному моделюванні й прогнозуванні. Наприклад, уже давно відомо, що векторні авторегресії, оцінені з використанням байесового стискання, приводять до куди кращих прогнозів, ніж необмежені векторні авторегресії. "Міннесотське попереднє" - простий випадковий векторний процес - також використовується досить широко. Стискання може виявитися корисним і в структурному моделюванні й прогнозуванні. Цілком можливо, що з його допомогою вдасться оцінити прогнозні DSGE-Моделі з потенційно некоректною специфікацією, оскільки теорія динамічної стохастичної загальної рівноваги, по суті, зводиться до накладення обмежень на векторні авторегрессии. Одна можлива тут крайність -ігнорувати теорію й прогнозувати за допомогою необмеженої векторної авторегрессии (без стискання, що приблизно відповідає байесовому аналізу з розмитим попереднім). Інша можлива крайність -застосувати теорію й прогнозувати за допомогою обмеженої векторної авторегрессии (повне стискання). Більше цікаві, однак, проміжні підходи -і прогнозування за допомогою векторних авторегресій, оцінених з різними інформативними, але не видатними, попередніми. По-перше, можна використовувати статистично орієнтовані попередні (наприклад, добре відоме мінесотське), які стискуються до випадкового векторного процесу. По-друге, можна використовувати статистично орієнтовані, але сформовані під впливом попередньої теорії, наприклад, що відповідають структурі факторів. По-третє, можна використовувати попередні, засновані на теорії динамічної стохастичної загальної рівноваги, щоб стиснути оцінки в напрямку, підказаному відкрито сформульованою економічною теорією, не підганяючи дані під цю теорію.
37.Поліноміальний розподіл лагів.
В будь-якій моделі з довільними лагами коефіцієнти утворюють певну функцію лагового індекса . Оскільки вибір цієї функції повинен здійснюватися апріорно, то зрозуміло, що цей вибір може бути хибним.
Одним з методів подолання цього недоліка є застосування моделй з поліноміально розподіленими лагами, запропонований Ширлі Алмон.
Основна ідея цього методу полагає в наступному:
«справжня» функція може бути достатньо точно наближена поліномом порядку відносно лагового індекса :
для (2.28)
Підставивши (2.28) до (2.23) одержимо
або якщо формально записати
де для .
Якщо збурення задовольняють класичним умовам, то в моделі (2.29) оцінки ЗМНК будуть найкращими незміщеними лінійними оцінками.
Позначимо через МНК-оцінки . Тоді оцінки коефіцієнтів такі:
для (2.30)
Оцінки (2.30) є оцінками МНК з обмеженнями.
Дисперсії легко знайти
для (2.31)
На коефіцієнти досить часто прийнято накладати додаткові обмеження, які називаються «крайовими обмеженнями», а саме
і .
З урахуванням (2.28) ми можемо сказати
(2.33)
(2.34)
В різних ситуаціях накладають одне або обидва обмеження (2.33), (2.34). Ці обмеження є лінійними обмеженнями на коефіцієнти моделі (2.29).
Отже, щоб оцінити модель (2.29) потрібно записати модель з обмеженнями і оцінити її, використовуючи ЗМНК.
Після знаходження оцінки коефіцієнтів обчислюються так, як і в попередньому випадку.
Варто нагадати, що в результаті накладення обмежень зміняться оцінки всіх коефіцієнтів моделі.
Поки що ми вважали довжину лагів і порядок поліному відомими. В реальних ситуаціях ці величини невідомі, отже потрібні методи їх визначення.
38.Порівняння і вибір моделей регресії.
Методи економетрики дають можливість підбору підходящої моделі, що є адекватною наявним даним, в ситуації, коли не існує чіткої економічної теорії, яка описує поведінку певних економічних показників та зв’язку між ними. Вірний вибір моделі регресії дозволяє здійснити аналіз характеру зв’язку змінних. Тенденція лінійного зв’язку між знач. змінних x та y вираж. співвідношенням y=α+βx; це співвідношення виражає тенденцію: реальні знач. yі відрізн. від знач. y=α+βxі на величину εі= yі -( α+βxі), так що yі=( α+βxі)+ εі, і=1,…, n. Останнє співвіднош. визнач. лінійну модель спостережень, а співвіднош. y=α+βx –– лінійну модель зв’язку між змінними. Отже, лін. модель спостережень доцільно розгляд. при наявності об’єктивної тенденції підтримування лін. зв’язку між змінними.
Якщо ми маємо спостереження (xі, yі) і=1,…, n, та припускаємо, що гіпотетичний зв'язок між x та y має вигляд y=βx (пропорційний зв'язок між змінними), то їй буде відповідати модель спостережень yі=βxі+ εі, і=1,…, n.
За допомогою моделі простої лінійної регресіїї вивч. зв’язок між залеж. змін. y та не залеж. змін. x. Модель множин. лін. регресії опис. співвіднош. між y та набором незалеж. змін.x0, x1, ,xk-1. При наявності n спостереж. модель множин. лін. регресії запис. у вигл. yі=β0xі0+ β1xі1+…+ β k-1 xі, k-1 +εі, і=1,…, n.
де xij– значення j-ї незалежної змінної (xj) в i-му спостереженні, збурення εi задовольняють тим самим припущенням, що і в моделі простої регресії.
1. Нульове середнє: Eεi = 0,i=1,n,.
2. Рівність дисперсій: Dεi = Eε2і= σ2= const, і=1,…, n.
3. Незалежність збурень: εі та εj незалежні при i≠j.
4. Незалежність збурень та регресорів: xij та εі незалежні для всіх i та j (якщо регресори не стохастичні , то дане припущення виконується автоматично).
5. (Додаткове). Збурення εi нормально розподілені для всіх i.
39. Похибки вимірювання. Наслідки. Діагностика. Методи вирішення проблеми. Різниця між результатами виміру X' і щирим значенням Q вимірюваної величини називається похибкою виміру
Серед наявних похибок найбільш важливими є похибки пов’язані з невідповідністю форм даних, тобто, невідповідності одиниць виміру, невідповідність для відносних показників баз порівняння, одночасне використання моментних та інтервальних показників, одночасне використання показників, що фіксуються на кінець та початок періоду, просте використання значень змінних як стаціонарних, якщо після перевірки виявлена їхня не стаціонарність; використання величин без прийнятої корекції на зміни вартості, інфляції, структури та послідовності; цілий клас змінних не може бути використаний без експоненціального згладжування та логарифмування; також суттєві помилки виникають при обранні типу форми функціональної залежності між залежною та незалежною зміною;
Таким чином, ми маємо два типи погрішностей виміру:
У процесі виміру обидва види погрішностей проявляються одночасно, і погрішність виміру можна представити у вигляді суми:
де - випадкова, а - систематична погрішності.
Вплив похибок вимірювання проявляється в наступних наслідках:
Тому помилки усуваються як загально-статистичними методами, тобто застосуванням коректних методів на всіх етапах обробки даних. В подальшому специфічні помилки коректуються за рахунок суто економетричних методів:
№40 Проксі змінні
Часто для отримання коректних оцінок при аналізі нам не вистачає певних даних, які ми за певних причин не змогли включити до ряду даних при вимірюванні .Для вирішення даної проблеми в економетричному аналізі до моделі включаються фіктивні дані - проксі змінні. Данні змінні підставляються в модель замість змінної для одержання коректних даних (оцінок)
( коефіцієнт IQ є є проксі змінною для виміру розумових здібностей.)
Проксі змінні для включення їх у модель повинні бути лінійно корельованими з тою змінною, якої не вистачає.
Y=x’*(бета) + (сигма) * у(-1) + Е
Ні0 (сигма) = 0 -гіпотеза
№41. Пропущення важливих змінних.Наслідки.Діагностика.Методи вирішення проблеми
Наслідки: Внаслідок пропущених змінних може виникати автокореляція. Очевидний приклад-відсутність сезонних фіктивних змінних при моделюванні показника, динаміка якого характеризується сезонними коливаннями. Як правило точну функціональну форму у випадку нелінійної залежності, не можливо визначити з економічних міркувань. Однак у багатьох реальних ситуаціях , модель, яка вилучає степені та добутки вихідних змінних (або, частіше,– логарифмів вихідних змінних) може виявитись прийнятною апроксимацією. Якщо у повній моделі автокореляція відсутня, проблему можна вважати вирішеною.
Діагностика.
Після того, як отримані коефіцієнти відповідної моделі, останнім етапом є її перевірка на адекватність. Це можна зробити декількома шляхами. По- перше, можна визначити залишки і перевірити, чи задовольнять вони властивостям “білого шуму”. По-друге, можна порівняти модель з іншими, які утворені з даної додаванням чи відніманням одного чи двох лагових змінних чи залишків. По-третє, можна провести спектральний аналіз моделі.
Вирішення: Для того щоб позбутися пропущених змінних потрібно використати проксі змінні. Використання проксі змінних:
Підставляється в модель замість змінної, яку вона замінює. Наявність проксі змінної дозволяє одержати коректні змінні і не дозволяє оцінювати кількісну модель.
42.Розподіл лагів Паскаля(РЛП)
Проблема неправильного визначення довжини лагу відсутня в моделях з нескінченною довжиноюю лагів (1). При спробі оцінити коеф-ти моделі (2), виникає проблема: як оцінити нескінченну кількість параметрів βi з викор-ням скінченної кіл-ті спостережень. Для вирішення цієї проблеми запропоновано кілька методів, зокрема РЛП (запропонована Солоу) Коефіцієнти βi в рівнянні (2) для і= 0 (3), ∞. де (4) Коефіцієнти βi в моделі РЛП наслідують схемі «оберненого V».
Аби записати модель з РЛП підставимо (3) до (2) отримаємо (5)
В моделі (5) невідомі параментри α, β, λ, r. Модель з геометрично розподіленими лагами є частковим випадком (5) при r=1
Однією з основних переваг моделей з розподіленими лагами є можливість досліджувати розподіл в часі реакції залежної змінної на зміну визначальних факторів. Причиною уведення структур розподілів лагів, були такі недоліки моделей з необмеженими лагами як мультиколінеарність і необхідність визначення максимальної довжини лагу (надійність статистичних методів визначення максимальної довжини лагу також зменшується внаслідок мультиколінеарності).
44. Стратегії дій у випадку виявлення автокореляції.
Автокореляцiя, або часова кореляцiя збурень виникає у моделях, побудованих за даними, якi є часовими рядами. (виникло вiдхилення вiд закономiрної поведiнки), то вплив вiд цього може спостерiгатись на протязi декiлькох наступних перiодiв часу.
Автокореляція внаслідок неправильно визначеної динаміки.
За допомогою критерію множинників Лагранжа перевіряють гіпотезу автокореляція відсутня протии. збурення утворюють процес або , тобто має місце автокореляція порядку . Для обчислення LM-статистики потрібно оцінити допоміжну регресію залишків звичайного методу найменших квадратів відносно (заповняючи пропущені значення -лагових залишків нулями ). Нехай - коєфіцієнт детермінації в цій регресії. В припущенні, що нульова гіпотеза вірна, статистика
,де Т-кількість спостережень, асимптотично має розподіл -квадрат з p степенями свободи. Зауважимо, що при даний критерій може використовуватись як альтернатива критерію Дурбіна-Ватсона, навіть в ситуаціях коли останній можна застосовувати.
Звичайний метод найменших квадратів
Для оцінювання моделей з автокорельованими збуреннями можна використати звичайний метод найменших квадратів: як-зазначалося вище, проблеми існують скоріше не з оцінками параметрів (хоча вони і не будуть оптимальними ), а зі стандартною оцінкою коваріаційної матриці. Неві та Вест запропонували наступну оцінку, яка є консистентною в досить широких умовах стосовно природи автокореляції
де залишки звичайного методу найменших квадратів, діагональна матриця з .t-м діагональним елементом, рівним , -вектор значень регресорів в .t-му спостереженні, Константа визначається таким порядком автокореляції, що автокореляцією вищих порядків можна знехтувати. Звичайному МНК віддають перевагу при невпевненості щодо характеру автокореляції.
Якщо дані відсортовані географічним принципом, корельованість залишків може свідчити про відсутність змінних, які характеризують регіональні відмінності. Цю проблему можна розв’язати шляхом включення до моделі фіктивних змінних.
50. Фіктивні змінні.
У попередніх розділах ми розглядали змінні, які можна вимірювати за допомогою кількісних шкал (вартість капіталу, рівень інфляції, обсяг попиту і т.ін.). Однак, у багатьох випадках на поведінку змінної, яку ми вивчаємо впливають якісні фактори, наприклад, наявність або відсутність вищої освіти, статеві, расові відмінності. Для врахування дії подібних чинників застосовують фіктивні змінні. Фіктивні, або бінарні змінні можуть приймати два значення: 0 та 1. Розглянемо декілька прикладів. Нехай ми вивчаємо залежність заробітної платні від віку та рівня освіти за допомогою такої моделі
де y – величина зарплатні, x1 – вік у роках, x2 – рівень освіти, який вимірюється у роках навчання. Припустимо, що нам потрібно виявити, чи існує відмінність в оплаті праці між чоловіками і жінками. Для цього ми утворюємо фіктивну змінну D :
D = 1 для чоловіків і D = 0 для жінок. Модель набуде вигляду
Величина коефіціента β3 показує відмінність у седньому рівні заробітної платні між чоловіками і жінками, які мають однаковий вік та рівень освіти.
Для того, щоб відтворити в моделі вплив якісного фактора, який може приймати m рівнів, в модель потрібно включити m–1 фіктивну змінну.
Розглянемо модель, яка вивчає ринкову вартість квадратного метра житла:
На ціну квадратного метра житлової площі впливає, на якому поверсі знаходиться квартира, причому важливо, чи є поверх першим, останнім, або ні першим, ні останнім. Тобто фактор «поверх» приймає три значення. Отже, ми формуємо дві фіктивні змінні D1 і D2:
Тепер модель має вигляд
За такого вибору фіктивних змінних середня ціна квадратного метра квартири, розташованої на «середньому» поверсі є базовою. За умови рівності змінних (факторів) x1, ...,xk-1 середня ціна квадратного метра квартири, розташованої на першому поверсі відрізняється від базового рівня на величину γ1, а квартири, розташованої на останньому поверсі – на величину γ2.
Фіктивні змінні також використовують для врахування cезонного ефекту. Наприклад, залежність між змінними x та y на основі щоквартальних даних можна досліджувати за допомогою такої моделі:
де D1, D2, та D3 – сезонні фіктивні змінні, які визначаються наступним чином:
49,48 . Узагальнена модель Логіт, Пробіт
Найчастіше припускають, що збурення мають стандартний нормальний розподіл. Модель, яка одержується в такому випадку отримала назву моделі пробіт. Логарифм функції правдоподібності має вигляд
Модель логіт одержується в припущенні, що збурення мають логістичний розподіл з функцією розподілу
Логарифм функції правдоподібності має вигляд
Для обох моделей зручно інтерпретувати не де F- відповідна функція розподілу. З виведення функції правдоподібності видно, що вираз тобто оцінкою імовірності того, сім’я матиме автомобіль, кредит буде повернуто, тощо. Внаслідок того, що функції розподілу монотонно зростають,знаки коєфіцієнтов інтерпретуються майже звичним чином. Для характеризації згоди моделі використовують декілька варіантів псевдо R2
Визначимо прогнози наступним чином:
Частка некоректних прогнозів дорівнює
Позначимо через долю одиниць у виборці. Визначимо
Псевдо R2 визначається таким чином
45. Структурні моделі векторної авторегресії
Структурні моделі (SVAR) включають обмеження, отримані з макроекономічної теорії та використовуються для структурного виводу та аналізу політики. Структурна модель виглядає таким чином:
, де вектор констант, ηt - помилки.
Структурні моделі складаються ззалежностей, основаних на економічних засадах., наприклад, ВВП моделюється як сума приватного споживання, інвестицій, державних витрат та балансу торгівлі. Основні вимоги до структурної моделі потребують побудови близько 30 рівнянь, причому, якщо треба дослідити більш ретельно деякий сектор економіки, кількість рівнянь значно збільшується. В результаті модель стає громіздкою, важко зрозуміти її основні ознаки, а її прогнозна точність може виявитися гіршою за елементарну модель.
Обидва типи структурних та VAR моделей можуть бути використані для прогнозування розвитку економічних змінних. VAR моделі виробляють прогнози на короткий період часу, але вони надто залежні від структури економіки. Лише незначна зміна в структурі призводить до значних похибок прогнозів. На відміну від VAR моделей структурні моделі більш гнучкі, що дозволяє їх легко розуміти та вносити до них корективи.
Структурний аналіз на основі VAR моделей
1. Причинність за Гренджером
Розглянемо дві змінні
та
При побудові VAR -моделі необхідно знати, чи потрібно взагалі використовувати всю наявну інформацію. Іноді буває, що побудова моделі з обмеженою кількістю інформації є більш вдалою. Причинність за Гренджером – це тест, який дозволяє визначити, чи впливає наявність однієї зі змінних на точність моделі чи ні.
2. Імпульсний аналіз
Розглянемо стандартну VMA-модель:
де H0 – одинична матриця.
Кожна матриця коефіцієнтів має вигляд
.
Елемент цієї матриці показує, як зміниться значення yі в залежності від j -го шоку τ періодів назад. Таким чином
Виразяк функція від τ називається імпульсно-відповідною функцією. За її допомогою можна досліджувати, який вплив на майбутні значення мають відповідні шоки в минулому.
46. Схема дослідження залежностей між часовими рядами
Мультиколінеарність – кореляція двох чи декілька пояснювальних змінних у рівнянні регресії. Для виміру мк-ності використовується покказник VIF.
Якщо залишки мають постійну дисиперсію, вони гомоскедастичні, але якщо вони непостійні, то гетероскедастичні (тест White).
47. Типи часових рядів. Хибна регресія.
Послідовність, записана у порядку зростання індексу, називається часовим рядом. Процес може бути неперервним, або дискретним. Часовий ряд моментний, якщо значення процесу формується в даний момент. Часовий ряд агрегований, якщо значення рівня утворюються шляхом агрегування за певний період.
Хибна регресія
Фиктивная (ложной, паразитной - spurious) линейная связь между соответствующими показателями. И такие ситуации часто встречаются при рассмотрении показателей, динамика изменений которых обнаруживает заметный тренд (убывание или возрастание).
Близкие к единице значения коэффициента детерминации соответствуют близким по абсолютной величине к единице значениям коэффициента корреляции между переменными y и x . Но этот коэффициент корреляции равен
При фиксированных значениях Var(x) и Var(y), значение r yx будет тем ближе к 1 , чем большим будет значение Cov(y,x) > 0 . совпадением знаков разностей для максимально возможной доли наблюдений переменных y и x , что как раз и имеет место, когда в процессе наблюдения обе переменные возрастают или обе переменные убывают по величине.
Из сказанного следует, что близость к единице абсолютной величины наблюдаемого значения коэффициента детерминации не обязательно означает наличие причинной связи между двумя рассматриваемыми переменными, а может являться лишь следствием тренда значений переменных.