Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЛЕКЦІЯ № 1. “Визначники”.
П.1. Визначники другого та третього порядків.
Вираз
∆= (1.1)
називається визначником (детермінантом) другого порядку. Поняття визначник ввів В. Лейбніц.
Вираз
(1.2)
називається визначником третього порядку.
Символи називаються елементами визначника, причому перший індекс вказує на номер рядка, а другий індекс – номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Формулу (1.2) можна записати символічно у вигляді правила трикутника (правила Саррюса):
Зауважимо, що елементами визначника можуть бути не тільки числа, а й алгебраїчні чи тригоно-метричні вирази, функції тощо.
Приклад 1. Обчислити визначники: , .
П.2. Властивості визначників.
Розглянемо (на прикладі визначників третього порядку) основні властивості визначників.
При транспонуванні визначник не змінюється, тобто, визначник не зміниться, якщо переставити місцями його рядки і стовпці:
.
Ця властивість встановлює рівноправність рядків і стовпців і перевіряється безпосередньо обчисленням.
При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак. Наприклад,
.
.
.
Наслідок: спільний множник усіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника. Наприклад,
.
.
.
П.3. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця.
Нехай задано визначник третього порядку
Мінором Мij елемента aij визначника називається визначник 2-го порядку, який утворюється з даного визначника в результаті викреслення i-го рядка та j-го стовпця.
Величина
Аij= (1)i +jМij (1.3)
називається алгебраїчним доповненням елемента aij.
Приклад 2. Для визначника маємо
,
Сформулюємо тепер ще одну важливу властивість визначників.
Теорема 1. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на
алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює 0.
Доведення. ►Доведемо, наприклад, що .
.◄
Теорема 2. (Лапласа). Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення
Доведення. ►Доведемо, наприклад, першу з них. Розкриваючи визначник за формулою (1.2) і групуючи доданки, що містять елементи першого рядка, маємо,
За формулою (1.3) вирази, що стоять в дужках відповідно дорівнюють алгебраїчним доповненням , , , тому .
Аналогічно доводяться й інші рівності.◄
Запис визначника за будь-якою з формул (1.4) називають розкладом визначника за елементами відповідного рядка або стовпця.
П.4. Поняття про визначники вищих порядків.
Теорема Лапласа дає змогу ввести означення визначника довільного порядку. За означенням визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення, тобто вираз
=. (1.5)
Можна довести, що всі розглянуті вище властивості визначників третього порядку справджують для визначників будь якого порядку.
При обчисленні визначників вищих порядків доцільно за допомогою властивості 8 перетворити визначник так, щоб у деякому рядку чи стовпці всі елементи крім одного, стали нулями. Розкладаючи тоді визначник згідно з теоремою за елементами цього рядка (стовпця), дістанемо тільки один доданок, тому що всі інші доданки є добутками алгебраїчних доповнень на нуль.
П.5. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.
Система m лінійних алгебраїчних рівнянь із n невідомими x1, x2, …, xn має вигляд:
(1.6)
де aij задані коефіцієнти при невідомих; bi вільні члени системи.
Система (1.6) називається однорідною, якщо і неоднорідною, якщо хоча б одне з чисел не дорівнює нулю.
Розв’язком системи (1.6) називається така сукупність чисел x1,
x2, …, xn, яка перетворює у тотожність кожне рівняння системи.
Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.
Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.
Розглянемо систему n-го порядку (n рівнянь із n невідомими):
(1.7)
Обчислимо визначники:
Визначники , , … , утворюються з визначника відповідною заміною стовпців при невідомих вільними членами.
Тоді:
xj = (j = 1, 2, …, n); (1.8)
Формули (1.8) називаються формулами Крамера.
Приклад 3. Розв’язати методом Крамера систему
► Визначник – система має єдиний розв’язок, який знайдемо за формулами Крамера (4.10).
◄
PAGE 1