Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция № 10
9.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
Выведем формулу перехода от декартовых координат к полярным в двойном интеграле.
Пусть - непрерывная функция на ограниченной замкнутой области. Так как в этом случае предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения области на части, разобьем область на части линиями.
с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, то есть - двумерный элемент площади в полярных координатах.
Пусть теперь область правильная относительно, то есть любой луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области пересекает границу области только в двух точках. Повторный интеграл по области в этом случае представим в виде
Если любая окружность, проходящая через внутреннюю точку области пересекает линию границы в двух точках, то повторный интеграл примет вид
Если полюс лежит внутри области и любой луч пересекает границу не более чем в одной точке, то для вычисления удобно использовать формулу
Пример. Вычислить двойной интеграл в
полярной системе координат по области, ограниченной линиями
, расположенной в I квадранте.
Решение.
Пример. Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат по области, ограниченной
окружностью.
Решение. Перейдем к полярным
координатам c полюсом в точке:Угол изменяется от до
Подставляя полярные координаты в уравнение окружности, получим, откуда или Двойной интеграл по области сводится к повторному Вычислим повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:
9. 4. Двойной интеграл в полярной системе координат.
Рассмотрим двойной интеграл
(13)
Если разбиение области D проводить прямыми, параллельными координатным осям, т.е. координатными линиями декартовой системы координат: x=const, y=const, то
.
В других системах координат элемент площади удобнее выразить иначе.
1. Элемент площади в полярной системе координат.
Пусть требуется вычислить интеграл (13) в полярной системе координат, причем полюс совпадает с началом координат и полярная ось совпадает с осью абсцисс.
Тогда декартовы координаты точки выражаются через полярные по формулам:
Рис.24.
(14)
Значение интеграла (I3) не зависит от способа разбиения области D на частичные, поэтому разобьём её системой координатных линий полярной системы (рис.24):
=const (лучи, выходящие из полюса) и =const (концентрические окружности с центром в полюсе).
Тогда, если разбиение области D достаточно мелкое ( и малы), то каждую элементарную площадку можно считать прямоугольником со сторонами и (с точностью до бесконечно малых высшего порядка).
Рис. 25.
Тогда
(15)
элемент площади в полярной системе.
2. Переход в двойном интеграле к полярным координатам.
Чтобы преобразовать интеграл (13) к полярной системе координат, нужно х и у в функции f(x,y) выразить через и по формулам (14) и взять элемент площади (15):
(16)
Для вычисления двойного интеграла в полярной системе координат его сводят к повторному.
а) Пусть область D не содержит полюса и ограничена двумя лучами и и кривыми и , причём линии пересекают границу не более чем в двух точках
Рис.26.
(С1 и С2) – точки входа и выхода.
Тогда
(17)
б) Полюс и любой луч пересекает гра- ницу области только в одной точке (рис.27). Тогда
(18)
Рис. 27.
Замечание. Оба интеграла а формулах (17) и (18) могут иметь постоянные пределы лишь в том случае, когда границей области D служат координатные линии и .
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
, где
D – круг радиуса 1 с центром в начале координат (рис.28).
Рис. 28.
Перейдем к полярным координатам
.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
D:
Перейдем к полярным
координатам по формулам (14)
Рис. 29
Полученное уравнение описывает окружность с центром в точке (1,0) и радиуса 1 (рис. 29).
9.5.Приложения двойных интегралов.
Двойные интегралы применяются для вычисления площадей плоских фигур и поверхностей, объемов пространственных тел, механических величин связанных с непрерывным распределением массы в плоской области, а также для решения многих других задач.
Геометрические приложения двойных интегралов
1. Площадь области на плоскости выражается формулой
2. Объем тела, где
непрерывная неотрицательная в области
функция, выражается формулой
Физические приложения двойных интегралов
Пусть - материальная бесконечно тонкая пластинка с плотностью. Тогда справедливы следующие формулы:
1. - масса пластинки;
2. - статические моменты пластинки относительно осей
3. - координаты центра тяжести пластинки;
4. - моменты инерции пластинки относительно осей
5. - момент инерции пластинки относительно начала координат.
Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Решение. Данное тело можно представить в виде
,
где - область на плоскости, ограниченная кривыми, то есть. Переходя от двойного интеграла к повторному, получим
Пример. Найти моменты инерции относительно осей пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в первом квадранте.
Решение.
. Чтобы свести каждый из этих интегралов к повторному, нужно область разбить на три части. Удобнее перейти к полярным координатам:. Тогда изменяется от до, а при каждом значении переменная изменяется от (значение на кривой, уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до (значение на кривой Следовательно,
Аналогично получаем
Задачи для самостоятельного решения
1. Свести двойной интеграл к повторному двумя способами, если:
а) - область, ограниченная кривыми
б) - круг
в) - треугольник со сторонами, лежащими на прямых
г) - кольцо
д) - область, ограниченная кривыми;
е) - область, лежащая вне окружности и внутри кривой.
2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:
а) б) в )
г) д)
е) ж)
3. Вычислить двойные интегралы:
а) б)
в) где
г) где
д) где
е) где - область, ограниченная кривыми
;
ж) где - область , ограниченная кривой
з) где - область , ограниченная кривыми
4. В следующих интегралах перейти к полярным координатам
а) б)
в).
5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
а)
б)
в)
6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми:
а)
б)
в)
Ответ: а) б)
в)
7. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки если ее плотность в точке пропорциональна расстоянию от точки до точки
Ответ:
8. Найти моменты инерции и относительно осей и однородной пластинки с плотностью, ограниченной кривыми:
а)
б)
в)
г)
Ответ: а) б) в) г)
9. Найти моменты инерции и относительно осей и однородной пластинки с плотностью, ограниченной кривыми:
а)
б)
Ответ: а) б)
Ответ: Взяв ось в качестве оси абсцисс, получаем Так как, по условию, то приходим к равенству