Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция№5
14.Уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение
, (10.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,у) в односвязной области, т.е. если существует такая функция U(x,у), что
=
В таком случае уравнение (10.1) можно переписать в виде , тогда его общее решение определяется равенством
.
Теорема. Пусть функции непрерывны вместе со своими частными производными . Для того, чтобы уравнение (10.1) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
(10.2)
Необходимость. Если (1) является уравнением в полных дифференциалах, то
(10.3)
Тогда
В силу непрерывности частных производных вторые смешанные производные здесь равны, откуда и следует (10.2).
Достаточность. Покажем теперь, что если условие (10.2) выполнено, то уравнение (10.1) является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию U(x,у) из одного из равенств
Например, интегрируя первое из них по х, определим функцию U(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции, зависящей от у
(10.4)
Здесь с(у) - произвольная функция .Теперь определим с(у) таким образом, чтобы U(x,у) удовлетворяла и второму из равенств. Дифференцируя (10.4) по у с учетом второго из равенств (2), получаем уравнение для определения функции с(у):
Можно для определения функции U(x,у) использовать формулу, доказываемую в курсе математического анализа
.
При этом в последней формуле нижние пределы интегралов и произвольны; их выбор ограничен единственным условием – интегралы в правой части этой формулы должны иметь смысл (т.е. не быть расходящимися несобственными интегралами второго рода).
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем
=
Итак,
.
Условие теоремы (2) выполнено.
Далее, находим функцию U(x,у)
так что или
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах
,
т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах
Следовательно,
,
.
Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах
Найдем теперь вторую производную
Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поэтому интегрируя Р(х,у) по переменной х с точностью до произвольной функции получим
=.
Определим теперь :
Поэтому таким образом, окончательно, получаем общий интеграл уравнения
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
(10.5)
Решение. Здесь , , следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Но это уравнение легко привести к виду du = 0 непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:
Здесь ,
Поэтому уравнение (10.5) можно записать в виде
или
Следовательно,
есть общий интеграл уравнения (10.5).
11. Интегрирующий множитель
В тех случаях, когда левая часть уравнения
М(х,у)dх + N(x,y)dy = 0 ( 11.1)
не является полным дифференциалом, удаётся подобрать функцию (x, y), после умножения, на которую левая часть (6) превращается в полный дифференциал
Такая функция (x, y) называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем
или
,
откуда
. (11.2)
Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнение в частных производных.
Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (11.2), т. е. найти интегрирующий множитель.
1.Пусть =(x). Тогда и уравнение (11.1) примет вид
. (11.3)
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть ( 11.3) была функцией только от x. В таком случае ln найдётся интегрированием по х.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
(x + y2) dx – 2xy dy = 0.
Решение. Здесь M=x+y2, N= - 2xy.
Имеем
.
Следовательно,
, , .
После умножения на ( x) уравнение
становится уравнением в полных дифференциалах. Его левую часть можно представить в виде
.
Откуда
и общий интеграл данного уравнения есть .
2. Рассмотрим случай =(у). Если есть функция, зависящая только от y, тогда уравнение (5) имеет интегрирующий множитель =(y), зависящий только от у.
Пример 1. Найти общий интеграл уравнения
Решение: Здесь M= , N=
Так как условие
не выполняется, отыскиваем интегрирующий множитель. Рассмотрим соотношение
Лекция №5
1. Уравнения, не содержащие явно одного из переменных.
Отыскание решений уравнений вида
F ( х, у, у ) = 0 (14.1)
вызывает особые трудности. Например, уравнение вообще не имеет действительных решений. Общего метода решения уравнений, неразрешимых относительно производной, нет. Рассмотрим некоторые случаи, при которых уравнение (1) имеет решение.
1. Пусть уравнение (14.1) удается разрешить относительно производной, тогда (14.1) распадается на уравнения вида
(14.2)
которые могут быть проинтегрированы вышеизложенными методами. Пусть каждое из уравнений (14.2) имеет общее решение . Совокупность общих решений уравнений (14.2) называется общим решением уравнения (14.1).
Например, уравнение имеет общее решение
.
Пример 1. Найти общий интеграл уравнения:
Решение. Разлагая левую часть уравнения на множители, получим:
,
откуда и . Оба эти уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными. Их общие интегралы:
, .
Поэтому общий интеграл исходного уравнения имеет вид
2. Пусть уравнение (14.1) имеет вид F(у) = 0, причем существует хотя бы один действительный корень
, (14.3)
т.к. уравнение не содержит х ,у то - постоянные. Тогда интегрируя (14.3) получаем, а уравнение дает общий интеграл исходного уравнения.
Пример 2. Найти общий интеграл уравнения:
Решение. Общий интеграл данного уравнения имеет вид
.
3. Пусть уравнение (14.1) не содержит независимой переменной
F ( у , у¢ ) = 0 (14.4)
и трудно разрешимо относительно производной, тогда целесообразно ввести параметр и заменить уравнение (14.4) двумя
,
такими, что . Так как то
,
откуда интегрируя, находим х.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Положим ; тогда .
Из равенства находим . Та как , то и . В параметрической форме общее решение запишется так:
Исключим параметр p. Для этого из первого уравнения находим t и подставляем во второе. Имеем
и .
4. Пусть уравнение (14.1) не содержит у , т.е.имеет вид
F(х,у¢) = 0 (14.5)
и трудно разрешимо относительно производной, тогда как и ранее, вводят параметр и заменяют уравнение (14.5) двумя
,
такими, что . Так как то
Пример 4. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Положим . Из равенства находим х
Общее решение уравнения получаем в параметрической форме.
5. Если дифференциальное уравнение F(х,у,у) = 0 разрешимо либо относительно искомой функции у = f(x.y'), либо относительно аргумента х = f(y,y), то оно может быть проинтегрировано путем введения параметра р = у'. Исходное уравнение перейдет в алгебраическое. Дифференцируя соответственно по х или по у, получим системы уравнений
или
решения которых находятся в явном или параметрическом виде.
Пример 5: Найти общее решение уравнения
в параметрической форме.
Решение. Положим , тогда . Равенство
перепишем в форме , так как
то .
Общее решение запишется в следующем виде:
Пример 6: Найти общее решение уравнения:
Решение. Положим, что . Тогда , или . Продифференцировав по x, имеем
.
После несложных преобразований, подставляя , получим
,
или
Произведя потенцирование, находим: . Следовательно, общее решение в параметрической форме примет вид:
Исключим параметр t. Для этого найдем выражение
и подставим в уравнение .
Таким образом, общее решение .
Пример 7: Найти общее решение уравнения:
Решение. Так как уравнение разрешимо относительно у
,
то вводя параметр найдем выражение для х :
Исключая параметр р, находим общее решение
.
15. Уравнения Лагранжа и Клеро
Уравнением Лагранжа называют уравнение вида
у = x f ( y' )+ ( y' ).
Введением параметра р = у' уравнение Лагранжа приводится к виду
у = х f ( р )+ ( р ).
Дифференцируя по х, получим
После замены у' через р и алгебраических преобразований придем к уравнению
Это линейное уравнение относительно х и производной . Его общий интеграл имеет вид
Ф ( х, р, С ) = 0. Совместно с уравнением
у = x f ( р )+ ( р ).
он дает общий интеграл уравнения Лагранжа. Произведенное преобразование возможно лишь, если
р – f ( р ) 0.
Корни уравнения p – f ( p ) = 0 дадут также решения уравнения Лагранжа, это особое решение, представляющее собой прямую линию. К уравнениям, не разрешенным относительно производной, приводят чаще всего различные геометрические задачи такие, как задачи об изогональных траекториях и др.
Уравнением Клеро называется частный случай уравнения Лагранжа, когда . Общий вид уравнения Клеро
.
Положим . Тогда . Дифференцируя по x, получим
,
то есть ,
откуда следует, что либо либо .
Из уравнения получаем . Подставляя C вместо p в уравнение , получим общее решение уравнения Клеро
,
представляющее собой семейство прямых. Уравнение вместе с дает решение уравнения Клеро в параметрической форме:
В самом деле, из этих уравнений находим, что
,
,
откуда
.
Подстановка в уравнение Клеро приводит к тождеству
.
Исключая из двух уравнений системы параметр p, получим интеграл уравнения , в виде . Этот интеграл не содержит C и, следовательно, не может быть общим интегралом. Он не может быть также получен их общего не при каких значениях С, так как не является линейной функцией. Это особый интеграл.
Пример 8. Найти общее решение уравнения , где .
Решение. Общее решение получаем непосредственно из уравнения заменой p на C:
Для получения особого решения найдем Система уравнений
представляет собой особое решение в параметрической форме. Исключим параметр p. Для этого возведем обе части второго уравнения в квадрат и разделим их на соответствующие части первого уравнения; получим , откуда .
Геометрически общее решение представляет собой однопараметрического семейство прямых , а особый интеграл параболу.
Рис.6
Непосредственно из чертежа видно, что особый интеграл (парабола) оказался огибающей семейства интегральных линий (прямых), определяемых общим решением. Это свойство не случайно.
Возможность существования особых решений связана с нарушением условий теоремы Коши. Как мы знаем, выполнение этих условий гарантирует существование и единственность решений – не может быть двух различных решений, удовлетворяющих одному тому же начальному условию. Условия единственности нарушаются во всех точках линии (параболы), которая сама оказывается решением уравнения. Это решение является особым решением уравнения.