Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
MathCAD
Лабораторная работа №1.
Для выполнения работы необходимо выполнить все задачи из 3-х разделов
1 Простые вычисления с использованием программы MathCAD
Задача. Найти ребро куба, равновеликого шару, площадь поверхности которого равна площади боковой поверхности прямого кругового конуса, у которого высота вдвое меньше, чем длина образующей. Объем этого конуса равен 1.
Анализ. Основные геометрические формулы, используемые при расчете.
Объем конуса —
Площадь боковой поверхности конуса — .
Соотношение в конусе между радиусом основания, высотой и длиной образующей — .
Площадь поверхности шара — .
Объем шара — .
Объем куба — .
1. Запустите программу MathCAD (спросите у преподавателя путь запуска программы).
2. Откройте панель инструментов Калькулятор щелчком на кнопке Арифметические инструменты на панели инструментов Математика или с помощью команды Вид > Панели инструментов > Калькулятор.
3. Для удобства расчета будем обозначать каждую из вычисляемых величин отдельной переменной. Объем конуса обозначим как V и присвоим ему значение 1. Оператор присваивания вводится символом “:” или кнопкой Присвоить значение на панели инструментов Калькулятор. Итак, надо ввести V : 1. В документе появится полноценный оператор присваивания:
V:=l
4. Путем несложных преобразований получим, что радиус основания конуса можно вычислить по формуле:
Вводить эту формулу следует слева направо. Порядок ввода этой формулы следующий: Сначала вводим знак корня произвольной степени: кнопка Корень n-степени на панели инструментов Калькулятор или комбинация клавиш CTRL+\. Щелкните на черном квадратике, стоящем на месте показателя степени, и введите цифру 3. Щелкните на квадратике, замещающем подкоренное выражение, нажмите клавиши [V][*], Введите знак квадратного корня: кнопка Квадратный корень на панели инструментов Калькулятор или клавиша [\] — и цифру 3. Прежде чем вводить знаменатель, дважды нажмите клавишу ПРОБЕЛ. Обратите внимание на синий уголок, который указывает на текущее выражение. Предполагается, что знак операции связывает выбранное выражение со следующим. В данном случае это безразлично, но в целом этот прием позволяет вводить сложные формулы, избегая ручного ввода дополнительных скобок. Нажмите клавишу [/]. Чтобы ввести число , можно воспользоваться комбинацией клавиш CTRL+SHIFT+P или соответствующей кнопкой на панели инструментов Калькулятор.
На экране появится следующая надпись: .
5. Введите формулы для вычисления длины образующей и площади боковой поверхности конуса:
Указание знака умножения между переменными обязательно, так как иначе MathCAD сочтет, что указана одна переменная с именем из нескольких букв.
6. Для вычисления радиуса шара R введите формулу
7. Для вычисления объема шара введите формулу .
Использовать переменную V во второй раз не следует, так как теперь мы определяем совершенно другой объем.
8. Заключительная формула позволит получить окончательный результат. После этого снова наберите имя переменной а и нажмите клавишу = или щелкните на кнопке Знак равенства= на панели инструментов Калькулятор. После формулы появится знак равенства и вычисленный результат.
Вычислять можно как действительные, так и комплексные выражения. Обозначение мнимой единицы (i) следует вводить непосредственно после числового коэффициента, который нельзя опускать, даже если он равен единице.
9. Вернитесь к самому первому выражению и отредактируйте его. Вместо значения 1 присвойте переменной значение 8. Сразу же перейдите к последней введенной формуле и обратите внимание, что результат расчета сразу же стал отражать новые начальные данные.
Мы познакомились с методикой простейших вычислений в программе MathCad. Описанная техника позволяет использовать эту программу как “интеллектуальный калькулятор” для автоматического расчета по известным формулам. Особенностью программы MathCad является возможность практически мгновенного перерасчета с другими начальными данными
Задание для самостоятельной работы
1.Для угла a=xо вычислить:
cos(a); sin(a); tg(a); ctg(a)
В MathCAD по умолчанию используются радианы, для перевода в градусы необходимо умножить значение в градусах на deg: a*deg; значение с точностью до секунды вычисляется как.20о30’ соответствует записи 20*deg+30*deg².
2.Вычислить:
3.Для x=а, z=b и y=c вычислить:
Логарифм по произвольному основанию вычисляется как logb(x)= log(x,b). Подробнее можно почитать в ? → ресурс центр → Quicksheets and Reference Tables → arithmetic and algebra.
4. Вычислить значение выражение для своего варианта.
Варианты для задания 4
|
Номер варианта |
Выражение |
Исходные данные |
Исходные данные |
|
1 |
5.2, 1.08 |
x, y |
|
|
2 |
1.2, 3, 1.1 |
c, x, y |
|
|
3 |
4.22, 7, 3.3 |
b,x,y |
|
|
4 |
0.3, 9, 2.4 |
x,y,z |
|
|
5 |
6, 5, 0.66 |
x,y,z |
|
|
6 |
3.5, 4.1, 9 |
x,y,z |
|
|
7 |
7.1, 2, |
x,y |
|
|
8 |
1, 2, 3 |
x,y,z |
|
|
9 |
5.3, 4, 7.8 |
x,y,z |
|
|
10 |
9, 2.3, 1 |
x,y,z |
|
|
11 |
8, 5.6, 3.9 |
x,y,z |
|
|
12 |
7, 8, |
x,y |
|
|
13 |
11, 1 |
x,y |
|
|
14 |
12,45 |
x,y |
|
|
15 |
5.6, 77 |
x,z |
|
|
16 |
8.1, 5.55 |
x,z |
|
|
17 |
45, 60 |
x,y |
|
|
18 |
30, 60, 90 |
x,y,z |
|
|
19 |
45, 55, 5.5 |
x,y,z |
|
|
20 |
4, 44, 6.3 |
x,y,z |
|
|
21 |
53, 4.53 |
x,y |
|
|
22 |
5, 3 |
x,y |
|
|
23 |
8, 67,33 |
x,y,z |
|
|
24 |
12, 2.3, 0.11 |
x,y,z |
|
|
25 |
5, 6 |
x,y |
|
|
26 |
8.8, 45 |
x,y |
|
|
27 |
63, 78 |
x,z |
|
|
28 |
-5, 45, 0.25 |
x,y,z |
|
|
29 |
55, 88 |
x,y |
|
|
30 |
6.3, 5, 0.5 |
x,y,z |
Варианты для задания 1 и для задания 3
|
№ |
а |
b |
c |
xº |
|
|
1 |
3 |
6,55 |
5 |
|
|
5 |
1,2 |
2,2 |
10 |
|
|
7 |
5,6 |
4,1 |
15 |
|
|
67 |
5,33 |
-9 |
20 |
|
|
65 |
4,5 |
56 |
25 |
|
|
5 |
7,2 |
-78 |
30 |
|
|
7 |
5,9 |
-0,02 |
35 |
|
|
8 |
4,8 |
-54 |
40 |
|
|
9 |
1,3 |
-87 |
45 |
|
|
10 |
1,22 |
0,1 |
50 |
|
|
11 |
5,77 |
2,66 |
55 |
|
|
12 |
8,33 |
5,44 |
60 |
|
|
13 |
5,66 |
7,88 |
70 |
|
|
14 |
4,11 |
5,6 |
80 |
|
|
15 |
9,77 |
9,66 |
90 |
|
|
11 |
2,4 |
3,11 |
100 |
|
|
18 |
5,8 |
2,11 |
110 |
|
|
17 |
4,1 |
5,7 |
120 |
|
|
19 |
4,6 |
8,88 |
130 |
|
|
20 |
3,7 |
5,3 |
140 |
|
|
45 |
5,6 |
2,22 |
150 |
|
|
56 |
4,3 |
8,66 |
160 |
|
|
22 |
8,9 |
4,44 |
170 |
|
|
23 |
7,6 |
7,11 |
180 |
|
|
89 |
1,2 |
2,569 |
190 |
|
|
5 |
3,3 |
5,63 |
200 |
|
|
3 |
5,5 |
0,33 |
205 |
|
|
11 |
4,4 |
-6,9 |
203 |
|
|
66 |
6,6 |
8,9 |
250 |
|
|
777 |
8,8 |
-77,5 |
350 |
2. Повторяющиеся вычисления
Mathcad может выполнять повторяющиеся или итерационные вычисления , в этом случае он использует специальный тип переменных – дискретные аргументы. Переменная данного типа принимает диапазон значений, например, все целые числа от 0 до 10. Если в выражении присутствует дискретный аргумент, то Mathcad вычисляет выражение столько раз, сколько значений содержит дискретный аргумент.
Определение дискретного аргумента
Для того, чтобы вычислить выражение для диапазона значений, сначала определите дискретный аргумент. В примере, показанном на Рисунке 2, вычислены результаты для диапазона значений t от 10 до 20 с шагом 1.
Задание диапазона производится следующим образом:
a:=a1,a2..an, (причем .. задается нажатием клавиши «:», или с панели Калькулятор), где
a - переменная ;
a1 – первое значение в диапазоне ;
a2 - второе значение в диапазоне ;
an - последнее значение в диапазоне .
Шаг определяется как разница первого и второго значения, при отсутствии второго значения шаг равен 1 по умолчанию.
Пример: задан диапазон от 10 до 20 с шагом 1, то запись будет выглядеть следующим образом:
t:=10,11 .. 20 либо t:=10 .. 20
Это делается следующим образом:
Сначала нужно задать начало диапазона, т.е. t:=10. Указатель ввода должен остаться после цифры 10.
Напечатайте ,11 Это действие определяет второе число в диапазоне ,т.к. шаг = 1 .
Напечатайте ;20, чтобы определить последнее число в диапазоне как 20. Mathcad изображает символ точки с запятой как два символа точки подряд.
Даня переменная t может использоваться в некоторой функции . Чтобы вывести таблицу значений на экран необходимо набрать эту функцию и поставить знак = , пример показан на Рисунке 2.
Рисунок 2 - Создание таблицы ответов для дискретного аргумента.
Определение функции
Начните определение функции d(t), напечатав d(t):
Завершите определение, напечатав выражение:
1600+аcс/2[Space]*t^2[¿]
( [Space] – клавиша Пробел, [¿] – клавиша Enter)
Определение функции завершено. Имя функции – d, аргумент функции – t.
Чтобы вычислить функцию для значения 12.5 достаточно напечатать d(12.5)=. Mathcad возвратит соответствующее значение.
Чтобы вычислить функцию для каждого значения t из диапазона, определенного ранее, достаточно щёлкнуть мышью внизу других уравнений и ввести d(t)=. Mathcad выведет таблицу значений (Рисунок 3). Первые два значения, 1.11•103 и 1.007•103, записаны экспоненциальном виде.
Форматирование результата
Mathcad может устанавливать формат вывода чисел, т.е. изменять число выводимых десятичных знаков, менять экспоненциальный вид представления чисел на обычную запись с десятичной точкой и так далее.
Например, можно изменить таблицу на Рисунке 3 так, чтобы ни одно из чисел не имело экспоненциального представления:
Щёлкните мышью на таблице, выделив ее.
Выбрав пункт Результат из меню Формат (или дважды щелкните левой клавишей мыши на таблице), откроется диалоговое окно "Формат числа". Опции этого окна позволяют установить число десятичных знаков в выводимых числах, границы использования экспоненциального представления чисел и систему счисления: десятичную, восьмеричную или шестнадцатеричную.
Значение по умолчанию для "Количество десятичных знаков" – 3. Это означает, что только числа, большие или равные 103, отображаются в экспоненциальном представлении. Замените 3 на 6.
При изменении формата вывода результатов меняется только их внешний вид. Внутреннее представление чисел Mathcad всегда имеет полную точность.
Графики
Mathcad может строить двумерные графики в декартовых и полярных координатах, картины линий уровня, изображать поверхности и выводить ряд других трехмерных графиков. Все они – примеры графических областей.
Чтобы создать график в Mathcad, нужно щёлкнуть мышью на том свободном месте, где его нужно разместить, и выбрать пункт X-Y Plot из меню Графики. Появляется пустой график с полями ввода для выражений, отображаемых по осям графика. Множества точек, из которых состоит график, определяются дискретными аргументами: Mathcad , строит одну точку графика для каждого значения дискретного аргумента, задающего график.
Пример того, как создать график d(t) с одной точкой для каждого значения t, приведен ниже:
Щёлкните мышью ниже формулы для d(t) и выберите пункт X-Y Plot из меню Графики. Mathcad создаст пустой график (Рисунок 4).
Поле ввода возникнет под осью абсцисс. В него нужно ввести имя переменной t, поставив таким образом в соответствие этой оси переменную t.
Теперь нужно щёлкнуть в поле напротив середины оси ординат и ввести здесь d(t), указав Mathcad откладывать значения d(t) этой оси (Рисунок 5). Остающиеся поля предназначены для ввода границ на осях – максимального и минимального значений, откладываемых на оси. Если оставить их пустыми, Mathcad автоматически заполнит их при создании графика.
После щелчка вне графика Mathcad вычисляет и строит точки графика, как показано на Рисунке 6. Под d(t) появляется образец линии, которой нарисован график. Это помогает идентифицировать различные кривые, если на одно поле выводятся несколько графиков. По умолчанию Mathcad соединяет точки прямыми линиями и устанавливает пределы по осям.
Изменение размеров графика
Размер графика, показанного на Рисунке 6, установлен по умолчанию. В Mathcad можно установить любой размер графика: достаточно выделить график и растянуть его до желаемого размера.
Форматирование графика
График на Рисунке 3 обладает некоторыми свойствами, установленными по умолчанию, к ним относятся: деления по осям, отсутствие линий сетки и сплошная линия графика. Их можно изменить, форматируя график.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий этапы форматирования:
Дважды щёлкните по графику, чтобы вызвать соответствующее диалоговое окно. Это окно позволяет установить все доступные характеристики графика.
Щёлкните по закладке "Трассировки" в диалоговом окне, чтобы получить доступ к странице выбора характеристик кривых.
Щёлкните на строке "Trace 1" (см. Рисунок 7) в прокручивающемся списке под заголовком "Legend Label" (Лейба) чтобы Mathcad поместил текущие установки для кривой 1 в рамки под соответствующими столбцами прокручивающегося списка.
Щёлкните на стрелке под столбцом "Тип" чтобы войти в раскрывающийся список типов кривых.
Выберите пункт "bar" из этого раскрывающегося списка, щёлкнув на нём.
Нажмите кнопку "ОК" чтобы увидеть результат изменения характеристик. Mathcad изобразит график в виде столбчатой диаграммы вместо того, чтобы соединить точки сплошными линиями. Следует обратить внимание на то, что образец кривой под d(t) теперь имеет вид маленького прямоугольника на более широком основании.
Щёлкните вне графика, чтобы отменить его выделение.
Самостоятельные задания
|
Вариант |
Выражение |
Диапазон |
Шаг 1 |
Шаг 2 |
|
|
|
1 |
0,5 |
|
|
|
|
1 |
0,01 |
|
|
|
|
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
1 |
0,5 |
|
|
|
|
1 |
0,1 |
|
|
|
|
0,5 |
0,01 |
|
|
|
|
1 |
0,5 |
|
|
|
|
1 |
0,01 |
|
|
|
|
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
1 |
0,5 |
|
|
|
|
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
1 |
0,1 |
|
|
|
|
1 |
0,05 |
|
|
|
|
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
1 |
0,5 |
|
|
|
|
0,1 |
0,05 |
|
|
|
|
1 |
0,1 |
|
|
|
|
0,5 |
0,01 |
|
|
|
|
1 |
0,5 |
|
|
|
|
1 |
0,2 |
|
|
|
|
0,5 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0,2 |
|
|
|
|
0,5 |
1 |
|
|
|
|
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
1 |
0,2 |
|
|
|
|
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
1 |
0,5 |
|
|
|
|
0,5 |
0,01 |
|
|
|
|
1 |
0,05 |
|
|
|
|
0,2 |
0,5 |
Установите отличное от стандартного количество знаков после запятой.
Поменяйте систему счисления (в некоторых версиях пакета это невозможно).
Примечание: Диапазон отображаемых значений функции задается на графике, а аргумента перед графиком.
|
Вариант |
Функция |
Диапазон переменной |
Шаг |
Диапазон значений функции |
|
|
5 |
|||
|
|
|
π/12 |
||
|
|
|
0.5 |
||
|
|
|
0.5 |
||
|
|
|
0.1 |
||
|
|
|
0.1 |
||
|
|
|
0.01 |
||
|
|
|
0.1 |
||
|
|
|
0.5 |
||
|
|
|
0.1 |
||
|
|
|
0.1 |
||
|
|
|
0.5 |
||
|
|
|
1.5 |
||
|
|
|
0.05 |
||
|
|
|
0.1 |
||
|
|
0.2 |
|||
|
|
1 |
|||
|
|
0.5 |
|||
|
|
1 |
|||
|
|
0.1 |
|||
|
|
0.5 |
|||
|
|
0.1 |
|||
|
|
0.2 |
|||
|
|
π/12 |
|||
|
|
1 |
|||
|
|
0.5 |
|||
|
|
1 |
|||
|
|
1 |
|||
|
|
0.5 |
|||
|
|
1 |
Пример решения подобных задач:
1. Определена функция f(x);
2. Задан аргумент на промежутке от 2π до 2π с шагом π/6;
3. На графике отображены значения функции на диапазоне от-1 до1.
4. Получены значения функции, заданной выше, от дискретного аргумента;
f(x)=
|
1 |
|
0.866 |
|
0.5 |
|
-1.07210-15 |
|
-0.5 |
|
-0.866 |
|
-1 |
|
-0.866 |
|
-0.5 |
|
2.72610-15 |
|
0.5 |
|
0.866 |
3 Численные методы решения уравнений
3.1 Решение уравнения с одним неизвестным с помощью функции root
Простейший способ найти корень уравнения с одним неизвестным обеспечит функция root() . Например, нам необходимо найти корень трансцендентного уравнения x=cos(x). Зададим начальное значение x:=1 (правильнее было бы сначала построить график, и уже, исходя из него, задавать начальное приближение), решение дается функцией root(x-cos(x),x). Точность вычислений определяется системной переменной TOL равной по умолчанию 10-3 и определённой в меню Математика > Параметры > Переменные. Проиллюстрируем полученное решение, определив точность вычислений 10-8.
TOL:=10-8
X0:=root(x-cos(x), x)
Для построения графика задаем x:=0,0.05..1. Две кривые строим, указав через запятую cos(x), x.
Здесь мы явно изменили значение системной переменной TOL.
Отметим ещё, что при выводе результата отображается только 3 значащих цифры после десятичной точки. Эту установку можно изменить в меню Формат > Результат в переменной: Число десятичных мест.
3.2 Поиск корней при помощи блока Given .........Find(...)
Обычно, перед тем как приступить к численному решению, исследуют исходные уравнения с тем, чтобы убедиться в существовании решения, количестве корней, а также определения их грубых приближений для задания начальной итерации.
Пусть задана система уравнений:
Нам нужно найти решение этой системы.
Выразим y как функцию от х и построим график.
Исходя из графика, можно задать начальное приближение:
x:=1, y:=1
Далее вводим служебное слово
Given
Затем описываем уравнения. Знак логического равенства вводим Ctrl = или выбираем из палитры инструментов.
Решение даёт функция Find()
Вид решения уравнения в MathCAD:
Здесь могут решаться системы уравнений с несколькими неизвестными, однако, как и в предыдущем случае, необходимо задание начальной точки, от которой будет происходить поиск решения. Решение ищется методом итераций и при наличии нескольких корней, очевидно, будет найдено лишь ближайшее решение, если оно существует.
Примечание. Количество уравнений в блоке Given .......Find(...) должно совпадать с количеством неизвестных.
3.3 Решение систем линейных уравнений
Для решения систем линейных уравнений можно использовать встроенную функцию lsolve(...) . Пусть задана система линейных уравнений:
Примечание: Использование функции lsolve() для решения систем линейных уравнений является более корректным.
Задание для самостоятельной работы
Варианты для задания №2 (номер по журналу)
Варианты для задания №3 (номер по журналу)
|
|
Рисунок 4
Рисунок 5
Рисунок 6 - График d(t)
Рисунок 7 - Панель свойств графика.