Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задания на практику № 1.
Теоретические положения, необходимые для выполнения практического задания (данные на лекции)
Определение. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной.
Дана непрерывная случайная величина Х, возможные значения которой принадлежат интервалу (a;b).
Выражения Х<х означает, что случайная величина Х принимает значения меньше, чем х.
Определение. Интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение, меньше чем х:
F(x)= P(X<x) (1)
Свойства функции распределения F(x) :
P(a<x<b)=F(B)-F(a) . (2)
Определение. Дифференциальной функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины (плотностью вероятностей) называется функция f(x), равная производной от интегральной функции распределения: f(x)=F’(x). (4)
Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (a;b) равна определенному интегралу от её плотности вероятностей в пределах интегрирования от a до b.
. (5)
В частности если f(x) - четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
. (6)
Свойства дифференциальной функции распределения.
1) Плотность распределения вероятности является неотрицательной функцией f(x)0.
2) . (7)
График интегральной функции распределения случайной непрерывной величины, принимающей возможные значения из интервала (a;b), выглядит следующим образом:
График плотности распределения называется кривой распределения вероятностей. Если все возможные значения непрерывной случайной величины принадлежит (a;b), то кривая распределения выглядит следующим образом:
Отметим, что площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна единице, так как:
.
Определение: Нормальным (гауссовым) законом распределения называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, дифференциальная функция распределения которого задается как:
(1)
Где а - математическое ожидание Х , σ - среднее квадратическое отклонение Х .
Теорема: Вероятность того, что нормально распределенная величина Х примет значение из интервала (α; β) равна:
, (2)
где - функция Лапласа.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания, меньше заданного положительного числа δ, определяется по формуле:
(3)
Определение: Показательным распределением непрерывной случайной величины Х называется распределение, которое имеет плотность вероятностей:
(4)
где λ постоянная положительная величина. Интегральная функция показательного распределенной случайной величины имеет вид:
Теорема: Вероятность попадания в интервал (а;b) непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, определяется как:
(5)
ПРОРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 1. Случайная величина Х задана интегральной функцией:
F(x)=
Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключенное в интервале (-1;0).
Решение. Вероятность того, что Х примет значение в интервале (-1; 0) определяется по формуле (3):
.
Пусть a=1, b=0.
Задача 2. В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение больше 0,5.
Решение. События Х>-0,5 и событие Х≤-0,5 являются противоположными, следовательно:
Р( Х>-0,5)=1-Р(Х≤-0,5).
.
Значит Р( Х>-0,5)=1-0,75=0,25.
Задача 3. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения: в интервале (0; π/3), вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (π/6; π/4).
Решение: По формуле (6):
.
Пусть a=π/6, b=π/4, при хє(0; π/3), следовательно, искомая вероятность:
.
Задача 4. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале(12, 14)
Решение. Воспользуемся формулой (2). Из условия задачи: α=12; β=14; σ=2; a=10. Тогда:
Ф(2)=0,4772; Ф(1)=0,3413 (из приложения 2).
Следовательно, искомая вероятность:
P(12<x<14)=0,4772-0,3413=0,1359.
Задача 5. Преподаватель проверяет расчетные работы со средним балом M.
Работа засчитывается, если отклонение ее балов от среднего значения по абсолютной величине меньше 7 .(Если в работе слишком много баллов, то преподаватель считает, что студент выполнил работу не самостоятельно) Считая, что случайная величина Х={отклонение баллов за работу} распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ=4 балла, найти, сколько будет засчитанных работ среди 100 проверенных.
Решение. Так как Х является отклонением, то ее математическое ожидание равно нулю, т.е. а=0.
Используем формулу (3), где σ=4 ; δ=7, получаем:
(по таблице из приложения 2). Следовательно,.
Это означает, что примерно 92 работы из 100 будут засчитаны.
Задача 6. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятностей при х и f(x)=0 при x<0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (0,13; 0,7).
Решение: Плотность вероятностей показательно распределенной Х: f(x)=, следовательно . Значит, согласно формуле (5), искомая вероятность определяется как:
P(0,13<x<0,7)=.
ЗАДАЧИ
3.1 Случайная величина Х на всей числовой оси задана интегральной функцией . Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0; 1).
3.2. Случайная величина Х задана интегральной функцией:
Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0; π/4).
3.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией:
Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:
А) меньше 1; Б) больше 3; В) не менее 3; Г) не меньше 5.
3.4. Случайная величина Х задана интегральной функцией:
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 3/4).
3.5 Дана интегральная функция непрерывной случайной величины Х:
Найти дифференциальную функцию f(x).
3.6. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х:
Найти интегральную функцию F(X).
Рекомендации: Следует воспользоваться формулой для разных интервалов f(x).
5.4. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно а=2, а среднее квадратическое отклонение =4. Написать дифференциальную функцию распределения величины Х.
5.5. Дана дифференциальная функция нормально распределенной случайной величины Х . Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
5.6. Известно математическое ожидание а=10 и среднее квадратическое отклонение =5 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значения от 15 до 20.
5.8. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением =20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г.
5.9. Гвоздь, изготавливаемый автоматом, считается стандартным, если отклонение его длины от ГОСТ-овского размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от стандартного подчинены нормальному закону распределения с математическим ожиданием а=0 и средним квадратическим отклонением =1 мм. Сколько процентов стандартных гвоздей изготавливает автомат?
5.10. Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр
5.11. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при х дифференциальной функцией , при x<0 f(x)=0.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1;2).
5.12. Непрерывная случайная величина Х показательно распределена по закону, заданному интегральной функцией при х0, и при х<0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (2; 5).