Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Элементы математической статистики.
1.Математическая статистика – наука, занимающаяся разработкой методов сбора, регистрации и обработки результатов наблюдений (измерений) с целью познания закономерностей случайных массовых явлений. Результаты наблюдений (измерений) называются статистическими данными.
Если в теории вероятностей считается заданной модель явления и надо произвести расчёты возможного реального течения этого явления, то в мат. статистике исходят из каких-либо известных реализаций некоторых случайных событий ( статистический данных), которые носят обычно числовой характер.
Мат. статистика разрабатывает методы, которые позволяют по этим статистическим данным подобрать подходящую теоретико- вероятностную модель.
Основные задачи математической статистики:
1) приближённое определение неизвестного закона распределения случайной величины;
2) приближённое определение неизвестных параметров распределения (их статистические оценки);
3) проверка правдоподобия гипотез о распределении случайной величины.
2. Выборочный метод сбора статистических данных.
Вся исследуемая совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью.
Множество из “n” объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью - выборкой. Число “n” – объём выборки.
Выборочный метод - метод основанный на том, что по данным обследованиям выборки, выделенной из данной генеральной совокупности, делается заключение о всей генеральной совокупности.
Репрезентативная выборка – выборка, в которую каждый объект генеральной совокупности имеет одинаковую возможность попасть.
Если выборка репрезентативна, то результаты её изучения будут близки к результатам, которые могли бы быть получены, если бы исследовалась вся генеральная совокупность.
Способы составления выборки:
1) Повторный способ (серия независимых испытаний)– отобранный объект возвращается в генеральную совокупность.
2) Бесповторный способ – объект не возвращается в генеральную совокупность и получаем серию зависимых испытаний.
Различают: 1) простой – случайный способ составления выборки, когда генеральная совокупность не расчленяется; 2) механистический способ, когда ген. совокупность расчленяется на n групп и из каждой группы выбирают по 1 объекту; 3) типический способ – случайный выбор объектов из типической группы 4) серийный - совокупность делится на группы – серии и случайным образом выбирается одна целая группа.
3.Статистическое распределение случайной величины.
Пусть Х – случайная величина, количественное значение интересующего нас признака.
Составим простой статистический ряд:
|
N |
1 |
2 |
… |
n |
|
X |
… |
-– номер измерения количественного признака.
- значение признака, полученное в этом измерении.
Возможные различные значения случайной величины Х назовём вариантами. Составим новую таблицу, в первой строке которой расположим варианты в порядке возрастания, во второй строке – соответствующие числа - частоты значений признака, показывающие, сколько раз наблюдалось i – тое значение признака. Эта таблица – статистическое распределение случайной величины Х – таблица значений признака, расположенных в порядке возрастания и соответствующих им частот.
|
Х |
… |
||||
|
… |
|||||
|
… |
|||||
|
0 |
+ |
… |
|||
|
… |
- вариационный ряд
- ряд частот значений признака
- ряд относительных частот
- ряд накопленных частот
- эмпирическая функция распределения выборки
Причём сумма частот признака равна объёму выборки n, а сумма относительных частот равна 1.
Накопленные частоты вычисляются по формуле =, а эмпирическая функция распределения определяет относительную частоту события: «значение признака Х меньше заданного ». Эмпирическая функция распределения выборки – ступенчатая неубывающая функция. .
4. Если пары чисел определяют m точек плоскости, соединённых отрезками, то полученную ломаную линию назовём полигоном частот. Аналогично, по первой и третьей строке таблицы, строится полигон относительных частот.
Интервальное распределение частот – упорядоченная последовательность интервалов варьирования значений исследуемого признака с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений исследуемого признака.
Число интервалов разбиения определяется условиями проведения исследования, может быть вычислено по формулам = или =. Для небольших выборок обычно принимают равным числу от 6 до 15.
Откладывая на оси абсцисс полученные интервалы варьирования признака, а на оси ординат соответствующие им относительные частоты, делённые на ширину интервала (числа , где - ширина интервала ), получим гистограмму непрерывного признака. Кривая, «сглаживающая» гистограмму – эмпирическая функция плотности относительной частоты. Площадь соответствующей криволинейной трапеции равна 1.
5. Выборочные характеристики:
1) Выборочная средняя - - среднее значение признака.
2) Выборочная дисперсия или -
3) Средневыборочное отклонение - показатель разброса значений признака относительно его среднего значения.
4) Мода признака - – варианта, имеющая наибольшую частоту.
5) Медиана признака –- варианта признака, делящая вариационный ряд на две части, с равным числом вариант в каждой. Если число вариант чётно, медиана равна среднему значению для двух вариант середины ряда.
6) Размах варьирования – R - разность между максимальной и минимальной вариантой.
7) Начальный эмпирический момент порядка k: . 8) - центральный эмпирический момент порядка k:
6. Точечные и интервальные оценки неизвестных параметров распределения случайной величины
Точечная статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения – это его приближённое значение, зависящее от данных выборки.
3. Статистическая оценка называется эффективной, если при заданном “n” она имеет наименьшую дисперсию.
Выборочная средняя - - является несмещённой и состоятельной оценкой мат. ожидания.
Несмещённая оценка дисперсии – исправленная выборочная дисперсия - .
7. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения.
Предполагаем, что известен вид функции распределения исследуемой случайной величины (например, равномерное дискретное, или непрерывное экспоненциальное или нормальное и т.д.).
Для определения неизвестных параметров этого известного распределения составляем уравнения, в левой части которых – теоретические, а в правых – эмпирические моменты одинаковых порядков. Число таких уравнений равно числу неизвестных параметров распределения (для равномерного -2, для показательного – 1, для нормального – 2 и т. д.)
8. Доверительный интервал – случайный интервал, в пределах которого с вероятностью находится неизвестный оцениваемый параметр. - доверительная вероятность, или надёжность оценки.
1.Доверительный интервал для оценки мат ожидания нормально распределённой СВ :
<<+, где
2.Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения СВ : ,
где s –несмещённое выборочное среднеквадратичное отклонение, q – табличная функция, зависящая от объёма выборки n и надёжности оценки .
9. Статистические гипотезы – предположения о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.
Выдвигаемую гипотезу называют нулевой (основной) гипотезой. Обозначают .
Гипотезу, противоречащую основной называют конкурирующей или альтернативной -
В результате проверки гипотез могут совершаться ошибки первого и второго рода.
Ошибка первого рода – отвергается гипотеза , а она правильная - риск.
Ошибка второго рода – принимается гипотеза , а она неправильная - риск.
, , ,
Статистический критерий – случайная величина, служащая для проверки основной гипотезы.
Критическая область – область значений критерия, при которых гипотеза отвергается.
Область принятия гипотезы - область значений критерия, при которых гипотеза принимается.
10. Задачи проверки статистических гипотез:
1. О равенстве дисперсий (распределение Фишера- Снедекора)
2.О равенстве мат.ожиданий (распределение Стьюдента)
3. О равенстве мат.ожидания заданному числу при неизвестной дисперсии (распределние Стьюдента)
4. О равенстве мат.ожидания заданному числу при известной дисперсии (Функция Лапласа)
Критерий Пирсона: Выдвигается гипотеза о виде распределения неизвестной СВ, по данным выборки, находим точечные оценки параметров распределения этой СВ методом моментов. Находим теоретические частоты, вычисляем значение критерия Пирсона и сравниваем его с критическим, взятым из тб. распред , для заданных степеней свободы и уровня значимости.
Элементы теории корреляции
11. Основные задачи теории корреляции – определение вида зависимости между случайными величинами и определение силы или тесноты этой зависимости.
Пусть в результате n испытаний (или в выборке объёма n) получены значения признаков X и Y.
Неупорядоченный статистический ряд значений случайных величин X и Y - таблица, первая строка которой – номер испытания, вторая – значение признака X, полученное в i-том испытании, третья – соответствующее значение признака Y.
Если некоторые пары значений признаков повторяются, ряд можно упорядочить и представить в виде корреляционной таблицы, то есть таблицы, содержащей матрицу частот nij , в которой результаты наблюдения обоих признаков записаны в порядке возрастания.
Корреляционная зависимость-
X - функциональная зависимость – взаимнооднозначная зависимость
Статистическая зависимость: любому значению признака X соответствует закон распределения соответствующих значений признака Y.
Корреляционная зависимость: частный случай статистической зависимости, при которой каждому значению одной случайной величины ставится в соответствие числовая характеристика соответствующего распределения другой. или точнее
12. Среднее арифметическое значение величины У, вычисленное при условии, что Х принимает фиксированное значение, называется условным средним и обозначается . Аналогично, -условное среднее величины Х, при У = у. Например=
Линия, проходящая через точки с координатами (- это эмпирическая линия регрессии Y на X. Для неё можно выбрать аппроксимирующую функцию, теоретическую линию регрессии.
Уравнения линий линейной регрессии: и
13. Выборочный эмпирический корреляционный момент – величина, служащая для оценки тесноты связи между случайными величинами. == Если0 Х и У независимы. Размерность коэффициента корреляции равна произведению размерностей случайных величин Х и У. Для получения безразмерной величины, разделим его на произведение средних квадратичных отклонений. Получим выборочный коэффициент корреляции: =.
Свойства выборочного коэффициента корреляции.
1) Значения коэффициента корреляции изменяются на множестве . , то есть
2) Чем больше , тем теснее связь между изучаемыми количественными признаками.
3) Если=1 –связь между случайными величинами становится функциональной.
4) Если=0 –корреляционная линейная зависимость между изучаемыми признаками отсутствует. Но это не исключает существования какого-либо другого вида корреляционной зависимости (например показательной).