Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Методические указания
к выполнению курсового проекта по курсу
«Радиотехнические цепи и сигналы»
Работа состоит из 4-х этапов
Цель: Выработать навыки по разложению сигнала в тригонометрический или комплексный экспоненциальный ряд Фурье. Научиться определять взаимосвязь временных и спектральных (частотных) характеристик сигнала.
В настоящее время для спектрального анализа сигналов используется сравнительно небольшое количество полных и ортогональных базисных функций. Наибольшее применение нашли тригонометрические и комплексные экспоненциальные базисы, на которых строится классический спектральный анализ сигналов.
Однако в ряде случаев используются другие базисные функции. Выбор системы базисных функций определяется видом сигналов, задачами и методом анализа ( или синтеза). Например, при дискретизации непрерывных сигналов по времени используют функции вида . Интенсивное внедрение ЭВМ привело к широкому применению цифровой обработки сигналов. При этом наиболее эффективно разложение сигналов по системам кусочно-постоянных функций. Например, функций Уолша. Иногда целесообразно применение и других систем базисных функций, например, функций Лагерра, Эрмита, Лежандра, Чебышева.
Гармонический сигнал
(1.1)
удобно представить в виде комплексного сигнала, отображаемого вектором на комплексной плоскости. Существует два способа такого представления:
, (1.2)
где - комплексная амплитуда сигнала.
Согласно (1.2) гармоническое колебание на комплексной плоскости отображается проекцией вектора на ось действительных чисел. Этот вектор имеет постоянную длину А и вращается в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой частотой (рис 1.1).
Рис. 1.1 изображение вектора на комплексной плоскости.
, (1.3)
где - амплитуда, комплексно-сопряженная с .
На комплексной плоскости колебание отображается вектором ,а сопряженное ему колебание - вектором (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Два противоположно вращающихся вектора и и их суммарный вектор .
Оба вектора имеют длину и вращаются с угловой частотой равной угловой частоте во взаимно противоположных направлениях. Суммарный вектор ,отображающий колебание (1.3), в любой момент времени параллелен оси действительных чисел. Следовательно, мнимая часть колебания (1.3) равна нулю.
Система тригонометрических функций кратных аргументов является полной и ортогональной на интервале ,где -произвольная величина, а - период базисных функций.
Произвольный сигнал конечной мощности можно разложить на интервале в ряд по тригонометрическому базису
или
при (1.4)
Выражение (1.4) называют тригонометрическим рядом Фурье. Коэффициенты ряда и вычисляют по формулам
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Коэффициент равен среднему значению сигнала на заданном интервале времени.
Вместо выражения (1.4) часто пользуются несколько иной формой записи тригонометрического ряда Фурье
(1.8),
где , , (1.9)
Система комплексных экспоненциальных функций образует полную систему базисных сигналов попарноортогональных на интервале ,где - период этих функций, а - произвольное начало отсчета времени. Следовательно, произвольный сигнал конечной мощности можно разложить на интервале по комплексному базису
, , (1.10)
Выражение (1.10) называют комплексным экспоненциальным рядом Фурье. Коэффициенты ряда (1.10) записаны в форме, удобной для согласования их с коэффициентами тригонометрического ряда Фурье (1.8), и определяются по формуле
(1.11)
Ряд (1.10) можно получить непосредственно из ряда (1.8), если воспользоваться формулой Эйлера. Тогда
Здесь ,,
(1.12)
комплексная и комплексно-сопряженная ей амплитуды -й гармоники; и определяются по формулам (1.9). Коэффициенты ряда (1.10) можно, также, выразить через коэффициенты ряда (1.4)
Таким образом, тригонометрический (1.4), (1.8) и комплексный экспоненциальный (1.10) ряды Фурье можно рассматривать как два способа представления одного и того же ряда.
Рассмотрим спектр последовательности однополярных прямоугольных видеоимпульсов (рис. 1.4.).
Рис. 1.4. Последовательность прямоугольных видеоимпульсов.
Для разложения заданной периодической функции
воспользуемся комплексным экспоненциальным рядом Фурье (1.10). Коэффициенты ряда определяются по формуле (1.11)
,
или , (1.16)
где . Заключенное в скобки выражение имеет вид функции , которая обозначается (рис. 1.5).
Рис. 1.5. График функции.
Функция осциллирует с периодом , затухая с ростом , и проходит через нуль в точках и т.д.
При функция принимает значение, равное единице .
Выражение (1.16) можно записать в виде
.
Подставляя , получим
,
соответственно комплексный экспоненциальный ряд Фурье выражается
(1.18)
Поскольку - четная функция аргумента, то . Найденный спектр (1.17) является дискретной функцией, существующей только на частотах и т.д. Амплитуды составляющих спектра пропорциональны значениям функции . Из (1.17) следует, что - действительная величина. Поэтому для частотного представления сигнала достаточно построить всего лишь один спектр.
Иногда заданную периодическую функцию характеризуют спектром амплитуд, как модулей или , и спектром фаз. При этом изменение знака функции относят к скачку ее фазы на величину , учитывая, что
где - любое целое число.
Следовательно, когда функция положительна, то фаза , а когда отрицательна- то . Поэтому фазовый спектр имеет вид ступенчатой дискретной последовательности.
Для примера покажем амплитудный и фазовый спектры для последовательности с с и с, т.е. со скважностью . Рис. 1.6
Рис. 1.6 Амлитудный и фазовый спектры последовательности прямоугольных видеоимпульсов.
С увеличением периода Т основная частота уменьшается и спектр становится плотнее, а амплитуды гармонических составляющих могут изменяться как в меньшую, так и в большую стороны. Форма огибающей спектра остается неизменной.
По графически заданному сигналу определить его аналитическое выражение и параметры. А также определить его амплитудную и фазовую спектральные плотности, активную ширину спектра.
Спектральная плотность сигнала есть ни что иное, как его частотное представление, найденное с помощью преобразования Фурье
(2.1)
Принципиально важно, что спектральная плотность – комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию, как об амплитуде, так и фазе элементарных синусоид.
Обратная задача – нахождение сигнала по известной спектральной плотности решается с помощью обратного преобразования Фурье
(2.2)
Метод спектральных разложений чрезвычайно обогащает теорию сигналов. Например, часто математическая модель сигнала, представленная функцией сложна и недостаточно наглядна. В то же время описание этого сигнала в частотной области посредством функции может оказаться простым. Но гораздо важнее другое: спектральные представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем.
Связь между длительностью импульса и шириной спектра.
Под шириной спектра обычно понимают частотный диапазон (интервал) , в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед заданного значения, например, изменяется в пределах от до .Или же считают, что в диапазоне частот сосредоточено более 90% энергии сигнала.
Известно, что произведение ширины спектра импульса на его длительность есть число постоянное, зависящее только от формы импульса и, как правило, имеющее порядок единицы
(2.3)
Исходя из равенства Парсеваля для непериодического сигнала
(2.4)
рассчитываем активную ширину спектра сигнала
(2.5)
где - коэффициент, определяющий долю энергии сосредоточенную в диапазоне частот
В частности, если оценивать активную ширину спектра прямоугольного импульса длительностью как полосу частот между и тем значением частоты, когда спектральная плотность первый раз обращается в нуль, т.е. когда . При этом .
Приведем примеры нахождения спектральной плотности для некоторых сигналов.
Пусть данный сигнал имеет амплитуду , длительность и располагается симметрично относительно начала отсчета времени. На основании формулы (2.1)
Спектральная плотность рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты. Удобно ввести безразмерную переменную и окончательно представить результат
(2.6)
График нормированной функции, построенный на основании формулы (2.6) изображен на рис. 2.2.
Рис. 2.2 График функции sin(x)/x
Рассмотрим сигнал, описываемый функцией при положительном вещественном значении параметра . Такой сигнал лишь условно можно назвать импульсом из-за его поведения при . Однако условие обеспечивает достаточно быстрое затухание. Активную длительность подобных импульсов в радиотехнике обычно определяют из условия десятикратного уменьшения уровня сигнала относительно максимального значения: , откуда . (рис. 2.3)
Рис. 2.3 Нахождение активной длительности импульса
Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса
(2.7)
Можно отметить две отличительные особенности между спектральными плотностями экспоненциального и прямоугольного видеоимпульса:
Соответствующие графики представлены на рис. 2.4. а, б.
Рис. 2.4 Амплитудная спектральная плотность а) и фазовая спектральная плотность б) экспоненциального видеоимпульса
Данный сигнал описывается функцией вида (рис. 2.5).
Рис. 2.5 График гаусовского видеоимпульса.
Эффективную длительность определим из условия десятикратного уменьшения амплитуды , откуда получаем
(2.8)
Спектральная плотность рассматриваемого видеоимпульса
(2.9)
Преобразуем подинтегральное выражение так, чтобы можно было воспользоваться табличным интегралом:
Таким образом, получаем:
(2.10)
Итак, спектральная плотность гауссова импульса вещественна и описывается гауссовой функцией частоты.
Как известно, радиоимпульс задается в виде произведения некоторого видеоимпульса , играющего роль огибающей и неинтегрируемого гармонического колебания:
Рис. 2.6. Экспоненциальный радиоимпульс.
Чтобы найти спектральную плотность радиоимпульса, будем полагать известной функцию - его спектральную плотность. Спектр косинусоидального сигнала с произвольной начальной фазой получается путем обобщения формулы
(2.11)
откуда имеем
.
Спектральная плотность радиоимпульса есть свертка
.
Приняв во внимание фильтрующее свойство дельта функции, получаем окончательный результат:
(2.12)
Рис. 2.7 иллюстрирует трансформацию спектральной плотности видеоимпульса при умножении его на высокочастотный гармонический сигнал.
Рис. 2.7 Амплитудная спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса а) и радиоимпульса б).
Видно, что переход от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видеоимпульса в область высоких частот – вместо единственного максимума спектральной плотности при наблюдаются два максимума при ; абсолютные значения максимумов уменьшаются вдвое. Отметим, что графики на рис. 2.7 отвечают ситуации, когда частота значительно превышает активную ширину спектра видеоимпульса (именно такой случай обычно реализуется на практике). При этом не наблюдается ощутимого «перекрытия» спектров, отвечающим положительным и отрицательным частотам. Однако может оказаться, что ширина спектра велика настолько, что выбранное значение частоты не устраняет эффект «перекрытия». Как следствие, профили спектров видеоимпульса и радиоимпульса перестают быть подобными.
Исследование любой реальной цепи разбивается на четыре этапа.
Первый этап – составление математической модели исследуемой цепи. при выборе основных параметров реальной цепи, которые учитываются в математической модели, исходят из влияния этих параметров на процессы в цепи и задач, которые следует решить.
Второй этап – составление дифференциальных (или разностных) уравнений математической модели и их решение.
Третий этап – исследование полученных решений, в результате которых определяются характеристики исследуемой цепи.
Четвертый этап – проведение эксперимента и сравнение экспериментальных и теоретических характеристик. Это сравнение позволяет установить, насколько правильно выбрана математическая модель и насколько точны приближенные методы решения дифференциальных уравнений.
Радиотехническое устройство независимо от своего назначения и уровня сложности представляет собой систему, т.е. совокупность физических объектов, между которыми существуют определенные взаимодействия. В структуре системы можно выделить вход, на который подается исходный сигнал, и выход, откуда снимается преобразованный сигнал. Если интересуются лишь связью между сигналами на входе и выходе и не описывают внутренние процессы в системе, то говорят, что система представляет собой «черный ящик».
Закон связи между сигналами и назовем системным оператором Т, результатом воздействия которого на сигнал служит сигнал :
(3.1)
Классификацию систем проводят на основании существенных свойств их математических моделей: линейные цепи с постоянными параметрами, нелинейные и линейные цепи с переменными параметрами.
Линейные цепи с постоянными параметрами.
Линейные цепи с постоянными параметрами часто называют просто линейными цепями. Они состоят из линейных элементов, параметры которых не зависят от протекающего тока, приложенного напряжения, магнитного потока и электрического заряда, например
u=Ri, R=const.
Сопротивление R, индуктивность L и емкость C – линейные элементы.
Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами
, (3.2)
где а0, а1, …, аn постоянные величины; y – мгновенное значение отклика цепи (напряжение, ток, заряд и т.д.) на воздействующий сигнал f(t).
К линейным цепям применимы принципы суперпозиции и транспозиции. В отклике линейной цепи содержатся только те спектральные составляющие, котрые присутствуют в воздействующем сигнале, и не возникает новых частот.
Линейные цепи с переменными параметрами.
Линейные цепи с переменными параметрами кроме постоянных линейных элементов содержат хотя бы один нелинейный элемент, параметр которого изменяется во времени, например емкость, для которой зависимость между током и напряженим имеет вид
Линейные цепи с переменными параметрами описываются линейными дифференциальными уравнениями с коэффициентами (или коэффициетном), изменяющимися во времени
К линейным цепям с переменными параметрами также применим принцип суперпозиции, но не применим принцип транспозиции. В отклике содержатся спектральные составляющие, которые отсутствуют в воздействующем сигнале.
Нелинейные цепи
Нелинейная цепь содержит хотя бы один один нелинейный элемент – параметр которого зависит от уровня сигнала. Например, нелинейное сопротивление, для которого зависимость между током и напряжением имеет вид
u=R(u,i)i,
где R(u,i) – сопротивление, значение которго зависит от приложенного напряжения u или от протекающего тока i.
Нелинейные цепи описываются нелинейными дифференциальными уравнениями коэффициенты (или один из коэффициетнов) зависит от значения отклика y (напряжения, тока, заряда и т.д.):
Нелинейность называется безинерционной, если нелинейный параметр зависит от мгновенного значения напряжения или тока.
Нелинейность называется инерционной, если нелинейный параметр зависит не от мгновенных значений тока или напряжения, а, например, от их эффективного значения. Инерционные нелинейные сопротивления не вносят нелинейных искажений, т.е. ведут себя как линейные сопротивления, параметры которых определяются эффективным значением тока или напряжения. Следует отметить, что инерционные нелинейные сопротивления теряют свою инерционность на достаточно низких частотах.
Системы с сосредоточенными и распределенными параметрами.
Другой критерий классификации радиотехнических систем основан на сопоставлении физических размеров системы и рабочей длины волны. Если характерный размер системы (например, наибольшая длина соединительных проводников цепи) оказывается гораздо меньше длины волны, то получается система с сосредоточенными параметроми. Для описания таких цепей принято использовать их абстрактные модели, называемые принципиальными схемами.
На частотах в несколько тысяч мегагерц, в так называемом сверхвысокочастотном (СВЧ) диапазоне, физические размеры большинства устройств оказываются сравнимыми с длиной волны передаваемых колебаний, так что становится необходимым учет конечного времени распространения сигнала. Такие системы называются системами с распределенными параметрами (распределенные или волновые системы).
Замечательная особенность линейных систем — справедливость принципа суперпозиции — открывает прямой путь к систематическому решению задач о прохождении разнообразных сигналов через такие системы. Способ динамического
представления позволяет представлять сигналыв в виде сумм элементарных импульсов. Если удастся тем или иным способом иайти реакцию на выходе, возникающую под воздействием элементарного импульса на входе, то окончательным этапом решения задачи явится суммирование таких реакций.
Намеченный путь анализа основан на временнóм представлении свойств сигналов и систем. В равной мере применим, а порой и более удобен анализ в частотной области, когда сигналы задаются рядами или интегралами Фурье. Свойства систем при этом описываются их частотными характеристиками, которые указывают закон преобразования элементарных гармонических сигналов.
Импульсная характеристика определяется как реакция цепи на дельта-импульс (δ-функцию).
Следует ясно представить себе, что импульсная характеристика, так же как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собственных колебаний.
Вычисление импульсных характеристик. Как правило, нахождение частотных коэффициентов передачи линейных систем не вызывает принципиальных затруднений. Поэтому если требуется вычислить импульсную характеристику g(t) системы, то целесообразно воспользоваться спектральным методом, согласно которому
. (3.7)
Переходной характеристикой называют реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию σ(t).
Между импульсной и переходной характеристиками имеется тесная связь
(3.10)
или
. (3.11)
Комплексная функция
(3.1)
называется частотной передаточной функцией,
где g(t) – импульсная характеристика цепи.
Формула (3.1) устанавливает принципиально важный факт — частотная передаточная функция и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому всегда, зная функцию К(jw), можно определить импульсную характеристику
(3.2)
Таким образом, любую такую систему можно рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной или переходной характеристик, либо в частотной области, задавая частотную передаточную функцию. Оба подхода равноценны и выбор одного из них диктуется удобствами получения исходных данных о системе и простотой вычислений.
Функция К(jw) имеет простую интерпретацию: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой ω и комплексной амплитудой, то комплексная амплитуда выходного сигнала
(3.3)
Часто пользуются представлением частотной передаточной функции в показательной форме:
(3.4)
Обе входящие сюда вещественные функции носят специальные названия: |К(jw)| - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), φk(w) — фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.
В инженерных расчетах частотную передаточную функцию линейных систем часто находят методами теории цепей на основании принципиальных схем, не прибегая к составлению дифференциальных уравнений.
Говоря о спектральном методе анализа прохождения радиотехнических сигналов через линейные стационарные системы, обычно имеют в виду целый комплекс математических приемов, в основе которых лежит использование свойств частотной передаточной функции системы. Ниже на конкретных примерах показано применение спектрального подхода как к задаче нахождения реакции системы, так и к проблеме числовой оценки выходного сигнала.
Основная формула. Пусть на входе некоторой линейной стационарной системы действует детерминированный сигнал uвх(t), заданный обратным преобразованием Фурье:
(4.1)
Будем полагать, что известна частотная передаточная функция К(jw) системы. Находим представление выходного сигнала:
(4.2)
Здесь выходной сигнал представлен в виде суммы элементарных спектральных составляющих входного сигнала с комплексными амплитудами , умноженными на функцию K(jw). Частотная передаточная функция цепи K(jw), определяющая относительный вклад составляющих спектра входного сигнала в сигнал uвых(t), имеет смысл весовой функции.
Формула спектрального метода, свидетельствует о том, что частотная передаточная функция системы служит множителем пропорциональности между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:
(4.3)
Практическая ценность спектрального метода нахождения выходной реакции в каждом конкретном случае зависит от того, удается ли провести интегрирование в формуле (4.2).
Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Действительно, входной сигнал можно разложить по системе δ – функций:
(4.4)
т.е. представить интегральной суммой элементарных сигналов вида , где имеет смысл постоянного коэффициента при дельта-функции .
Отвечающая ему выходная реакция
(4.5)
Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Соотношение (4.5) свидетельствует о том, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций — входного сигнала и импульсной характеристики системы. Очевидно, формула (4.5) может быть записана также в виде
(4.6)
Итак, если импульсная характеристика g(t) известна, то дальнейшие этапы решения сводятся к полностью формализованным операциям.
Для физически реализуемой системы должен выполняться принцип причинности:, т.е. t≥τ. Тогда верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменен иа текущее значение времени:
(4.7)
Физически реализуемая система должна быть, кроме того, устойчивой. Это означает, что ее импульсная характеристика должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости
(4.8)
или
(4.9)
Для последовательной схемы (а) и параллельной схемы (б) . Эти схемы эквивалентны, если
, ,
или
, .
Для резистивно-индуктивных цепей рис. 5.1:
, , .
Эти схемы эквивалентны, если
,,
, .
Рис. 5.1.
Для резистивно-емкостных цепей, рис. 5.2:
, , .
Эти схемы эквивалентны, если
, ,
,
Рис. 5.2.
СОДЕРЖАНИЕ
|
[1] 1 Исследование спектральных характеристик периодических сигналов [1.1] 1.1 Разложение сигналов по тригонометрическому и комплексному экспоненциальному базису [1.1.1] 1.1.1. Гармонический и комплексный экспоненциальный сигналы. [1.1.2] 1.1.2. Тригонометрический ряд Фурье. [1.1.3] 1.1.3. Комплексный экспоненциальный ряд Фурье [2] 2. Исследование спектральных характеристик импульсных сигналов [2.0.1] 2.1 Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса. [2.0.2] 2.2. Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса. [2.0.3] 2.3. Спектральная плотность гауссова видеоимпульса. [2.0.4] 2.4. Спектральная плотность экспоненциального радиоимпульса. [3] 3. Исследование временных и частотных характеристик линейных цепей [3.1] 3.1. Импульсные, переходные и частотные характеристики линейных цепей [3.1.1] 3.1.1 Импульсная характеристика. [3.1.2] 3.1.2. Переходная характеристика [3.1.3] 3.1.3. Частотный коэффициент передачи [3.1.4] 3.1.4. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики [4] 4. Исследование прохождения импульсного сигнала через линейную узкополосную цепь [4.1] 4.1 Спектральный метод [4.2] 4.2 Интеграл Дюамеля. [5] 5. Эквивалентность последовательных и параллельных схем замещения ветвей цепи переменного тока при фиксированной частоте ω |
PAGE 7