при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f полагая x r cos y r sin
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos , y = r sin . (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и = i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
rj = rj+1 - rj,
i = i+1 - i
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
Si = rj
i
rj (3)
Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos i, yij = rj sin i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cos, r sin)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r d dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,) = rf(r cos, r sin)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: =0,
=/4, r cos=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем
2. ПУБЛИКАЦИИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ О ГИБРИДИЗАЦИИ АТЛАНТИЧЕСКОГО ЛОСОСЯ, ИЛИ СЕМГИ (SALMO SALAR L) И КУМЖИ (SALMO TRUTTA L)
3. Эксперт и специалист
4. Аналіз трудової та соціальнотрудової сфер діяльності підприємства для студентів ЗДІА напрямку 0501
5. Я Шуру У деяких випадках зміцнюють мостовидні протези за допомогою екваторіальних коронок
6. 31 грудня 2013 року АКТ внутрішньої перевірки діловодства адміністративної практики ВДАІ Сарненсько
7. Синдром системной воспалительной реакции и сепсис
8. Аннотация nnottion стр
9. останню колонку таблички сильних і неправильних дієслів Префікс ge не отримують- Дієслова з невід
10. Конституционное разграничение законодательной компетенции между федерацией и её субъектами в Соединенных Штатах Америки и Германии
11. і Питання охорони праці на пастижному підприємстві де застосовується механізований спосіб виготовлення п
12. тематических способностей младших школьников в классах коррекции.
13. каждая великая историческая эпоха даже в новой истории человечества столь неблагоприятной для мифологии
14. Государственное регулирование природопользования и охраны природной среды
15. Аналіз економічної ефективності виробництва молока
16. Чехия
17. на тему- Институт подкупа в электоральном поведении украинцев в оценке курсантов второго курса факультет
18. тема римской Республики
19. Краевой колледж предпринимательства ДЕНЬГИ И ИХ РОЛЬ В ЭКОНОМИКЕ
20. О железнодорожном транспорте Уставом железнодорожного транспорта общего пользования и ведомственными п