Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Метод векторів та його застосування
Вступ
Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як множину однаково напрямлених відрізків однакової довжини, як упорядковану пару чисел, як паралельне перенесення.
Уперше поняття вектора як напрямленого відрізка знайшло застосування в механіці для зображення фізичних векторних величин: швидкості, прискорення, сили, моменту сили тощо. Високий ступінь наочності і простота геометричних операцій над векторами як напрямленими відрізками сприяли тому, що поняття вектора знайшло загальне визнання і застосування в інших розділах фізики: в кінематиці, статиці, динаміці точки і динаміці системи, в теорії потенціалу та гідродинаміці, а також стало одним із основних понять таких наук, як векторна алгебра, векторний аналіз, теорія поля, тензорний аналіз тощо.
Проте хоча поняття вектора знайшло перше застосування в фізиці, це математичне поняття, усі операції над якими виконуються за законами математики.
Вектор як математичне поняття міцно ввійшов у шкільну математику, у різні нематематичні науки. В школі за допомогою векторного метод розв’язується багато різноманітних задач, які не мають іншого способу розв’язання.
Саме тому вивчення поняття вектора є дуже важливим в сучасних умовах розвитку математичних наук.
1. Поняття вектора
В елементарній геометрії, як відомо, відрізком AB називається сукупність всіх точок прямої, що лежать між A і B. Точки A і B називаються кінцями відрізка. При цьому, очевидно, порядок, в якому беруться кінці відрізка, несуттєвий. Однак при використанні геометрії у вивченні фізики, особливо механіки, часто доводиться розглядати напрямлені відрізки, тобто відрізки, для яких вказані початкова і кінцева точки. Тобто AB і BA геометрично один і той же відрізок, то, розглядаючи їх як напрямлені відрізки, ми повинні враховувати, що вони задають різні об’єкти.
Означення 1. Відрізок АВ називається напрямленим, якщо береться до уваги порядок його кінцевих точок. Перша точка (А) називається його початком, а друга (В) – його кінцем.
Позначають напрямлений відрізок так: АВ.
Означення 2. Довжиною напрямленого відрізка називається
довжина відрізка АВ. Позначають: . Звідси = АВ =
Означення 3. Напрямлені відрізки АВ і CD називаються однаково напрямленими (спів напрямленими), якщо однаково напрямлені промені АВ і CD, і протилежно напрямленими, якщо ці промені протилежно напрямлені.
Означення 4. Вектором називається множина однаково напрямлених (спів напрямлених) відрізків однакової довжини.
Означення 4.1. Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого вказано, яка з обмежуючих його точок рахується першою, яка –другою. Перша точка напрямленого відрізка називається початком вектора, а друга точка –кінцем.
Напрямок вектора на кресленні відмічається стрілкою, оберненою гострим кінцем до кінця вектора. В тексті вектор записується двома великими літерами латинського алфавіту зі спільною рискою зверху, при цьому перша з них позначає початок, друга –кінець вектора. Наприклад, , (мал. 1.a), причому А, C –відповідно початки, а В, D –кінці даних векторів. В деяких випадках вектор позначається також однією малою літерою, наприклад, a, b, c,… (мал. 1.b).
мал. 1.a мал. 1.b
Означення 5. Вектори і називаються однаково напрямленими (спів напрямленими), якщо спів напрямлені відповідні їм напрямлені відрізки і (мал. 2.a), і протилежно напрямленими, якщо напрямлені відрізки і протилежно напрямлені (мал. 2.b).
мал. 2.a мал. 2.b
Означення 6. Довжиною (модулем) вектора називається довжина будь-якого представника класу спів напрямлених відрізків, який визначає цей вектор.
Інакше кажучи, довжиною вектора називається довжина напрямного відрізка, який зображає цей вектор.
Модуль вектора позначають , а вектора АB – .
Вектор, початок якого збігається з його кінцем, називається нульовим вектором, позначають або . Нульовий вектор не визначає ніякого напряму, а його довжина вважається рівною нулю.
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором, або ортом.
Рівність векторів
Означення 1. Два вектори називаються рівними, якщо множини відповідних їм напрямлених відрізків збігаються. Пишуть: =.
Всі нульові вектори вважаться рівними один одному.
Із цього означення випливає така ознака рівності двох векторів.
Теорема 1. (перша ознака рівності двох векторів).
Для того щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб вони були однаково напрямленими і мали рівні довжини.
Доведення:
1. Необхідність. Нехай вектори і рівні. Доведемо, що і =.
Якщо =, то, за означенням 1, множини напрямлених відрізків, які відповідають цим векторам, збігаються. Тому , =. Звідси ,=, що й треба було довести.
2. Достатність. Нехай , =. Доведемо, що =. Якщо, , =, то , =, тобто і належать одній і тій же множині однаково напрямлених відрізків рівної довжини. А це означає, що =. Теорему доведено.
Наслідок. Два вектори, кожен з яких дорівнює третьому, рівні між собою.
Теорема 2. (теорема про відкладання вектора).
Від будь-якої точки простору можна відкласти вектор, рівний даному, і до того ж єдиний.
Доведення: Нехай даний вектор зображається напрямленим відрізком . Виберемо у просторі довільну точку О, сполучимо точку В з точкою О і позначимо середину відрізка ОВ через С (мал. 3). Проведемо
відрізок АС і відкладемо на його продовженні відрізок CM=АС. Чотирикутник АВМО є паралелограмом, бо його діагоналі точкою перетину діляться пополам. Звідси випливає, що промені АВ і ОМ однаково напрямлені, а відрізки АВ і ОМ рівні. Отже, ==.
Доведемо тепер, що цей вектор єдиний. Припустимо, що існує інший вектор =, відмінний від . Але ж і =, тому =. Отже, , =, тому точки M і збігаються, що суперечить припущенню. Тобто від точки O можна відкласти лише один вектор, рівний даному вектору . Теорему доведено.
Означення 2. Два вектори називаються протилежними, якщо вони протилежно напрямлені і мають рівні довжини. Вектор, протилежний до , позначається - (мал. 4). Очевидно, =-, –(-)=.
Додавання векторів, властивості операції додавання векторів
Введемо операцію додавання векторів, яка відіграє важливу роль в векторній алгебрі.
Означення. Нехай задано два вектори і . Від деякої точки A відкладемо вектор =, потім від точки B відкладемо вектор =. Вектор = називається сумою векторів і і позначається так: =+ (мал. 5). Помітимо, що для знаходження двох неколінеарних векторів доводиться будувати трикутник. Тому вказане правило додавання векторів називають правилом трикутника. Це правило можна сформулювати так: для будь-яких трьох точок A, B і C +=, або: сумою векторів і євектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що вектор відкладено від кінця вектора .
З цього правила випливає правило паралелограма: якщо вектори і відкладені від спільного початку O, =, = (мал. 6) і на них побудовано паралелограм OACB, то сумою векторів + є вектор =, який виходить з того ж початку і збігається з діагоналлю OC паралелограма.
Розглянемо властивості операції додавання векторів.
Властивість 1. Операція додавання векторів комутативна, тобто для будь-яких векторів і : +=+.
Доведення: За правилом трикутника маємо (мал. 7):
Властивість 2. Операція додавання векторів асоціативна, тобто для будь-яких векторів , , : (+)+= +(+)
Доведення: Візьмемо довільну точку A і від неї відкладемо вектори =, =, = (мал. 8). Тоді +=, (+)+=; +=; +(+)=. Отже, (+)+ =+(+).
Властивість 3. Сумою протилежних векторів є нуль-вектор: +(-)=0.
Доведення. Нехай =, тоді -=, і за правилом трикутника матимемо +(-)=+==0.
Властивість 4. Нуль-вектор є нейтральним елементом операції додавання: +=+.
Доведення: Нехай =, =, тоді за правилом трикутника +=+==.
З наведених властивостей додавання векторів випливає, що операція додавання векторів має ті ж властивості, що й операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів: (+)+=+(+)=(+)+=(+).
Сума більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника. Щоб знайти суму n векторів (мал. 9), потрібно з довільної точки O відкласти вектор =, з його кінця –вектор =,…,= (початок кожного наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор = буде сумою даних векторів.
Віднімання векторів
Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання. Означення. Різницею векторів і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор : -=якщо +=. /1/
Доведемо, що вектор існує і притому єдиний. Припустимо, що вектор існує. Тоді, додавши до обох частин рівності вектор (-) і користуючись властивостями суми векторів, маємо: (-)++=(-)+. /2/
Отже, якщо вектор існує, то він визначається попередньою рівністю /2/, а тому єдиний. Дійсно, підставивши /2/ в /1/, одержимо правильну рівність: ++(-)=.
Отже, вектор, який визначається формулою /2/, є різницею векторів і : -=+(-)=. За правилом трикутника +=. Звідси
=- (мал. 10).
Отже, для побудови різниці векторів і досить відкласти ці вектори від спільного початку (=,=) і провести вектор від кінця B вектора-від’ємника до кінця C вектора-зменшуваного; цей вектор і є шуканою різницею -: =-.
Множення вектора на число
Означення. Добутком вектора на дійсне число α називається вектор , який задовольняє такі умови:
1) =*;
) , якщо α >0, і , якщо α <0.
Такий вектор позначається = α .
Операція добутку вектора на число має такі властивості.
Властивість 1. α*=0*= для будь-якого дійсного числа α і будь-якого вектора . Ця властивість випливає з умови 1) означення.
Властивість 2. Для будь-якого вектора 1*=; -1*=-. Ця властивість випливає безпосередньо з означення.
Властивість 3. Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел α і β: α(β)=(αβ) .
Доведення. Нехай α(β)=, (αβ) =. Доведемо, що =. Маємо:
=*=**,
=*=**.
Отже, =. Покажемо, що . Якщо α і β одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, . У випадку коли числа α і β протилежних знаків, , . Отже, також , що й треба було довести.
Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α(+)=α+α, для , і α R.
Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо вектори =, =, =α, =α (мал. 11). Тоді +=, α+α=. Покажемо, що =α. Оскільки вектори і α , і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB=, а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того =α*=*. Тому =α*.
Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12).
Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α (+) = α+α.
Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β)=α+β, і α, β R.
Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).
1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) і α+β однаково напрямлені. Крім того,
;
.
Отже, і вектори (α+β) та α+β рівні.
2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β)=(-β+β)=0=0; α+β= -β+ β=0, отже, властивість справджується.
Якщо α-β, тоді –α, α+β або –β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α)+ (α+β)=(-α+α+β)=β(α+β)= α+β, що і треба було довести.
. Колінеарність векторів
Означення. Два ненульових вектори і називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.
Позначення: ||(мал. 13).
Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.
Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α. /1/
Доведення.
1. Необхідність. Нехай ||. Тоді або , або . Якщо , то =, оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: ==. Позначивши α =, дістанемо =α. Якщо , то аналогічно доводиться, що = -. Нехай α = -, тоді також = α.
2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.
Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.
Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси формально можна написати: α =, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.
Відношення : двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори і однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.
3. Компланарність векторів
Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними
якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.
Очевидно, що коли компланарні вектори ,, відкласти від довільної точки O (=, =,=), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).
Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.
Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.
Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,, компланарні, а вектори , неколінеарні, то існують єдині числа α, β такі, що: = α + β. /2/
Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.
Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =, =. Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій.
Можливі два випадки:
Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори , , некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і притому єдині числа α, β, γ такі, що = α+β+γ .
Лінійна залежність векторів
Означення. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,…, серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що ++ … += 0. / 4/
Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при ==…== 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.
Сума ++ … + називається лінійною комбінацією векторів .
Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.
Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.
Доведення.
. Необхідність. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що ++ … += 0 /5/
При цьому принаймні одне з чисел , ,…, не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, 0. Тоді з рівності /5/ дістанемо:
= – – – – – .
Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів , ,…, ,…, .
=++ … +++ … +.
Цю рівність можна записати так:
++ … + + (-1) ++ … += 0.
У цій рівності коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.
Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.
Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.
Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.
Властивість 4. Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.
Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: , , то
виконується рівність 1* + 0* +… + 0* =0. 10, тому така система є лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.
Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми.
Теорема 1. Два вектори і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
Доведення.
1. Необхідність. Нехай система векторів , лінійно залежна. Тоді за
властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий: = α,
звідки випливає, що вектори і колінеарні.
2. Достатність. Нехай вектори і колінеарні. Тоді існує таке число α, що = α . Із властивості 1 випливає, що вектори і лінійно залежні. Теорему доведено.
Теорема 2. Система трьох векторів , , лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.
Доведення.
1. Необхідність. Нехай система векторів , , лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад, = α+β. Із означення суми векторів випливає, що вектори , α, β компланарні, а тоді і вектори , , будуть компланарними, бо || α, || β.
2. Достатність. Нехай вектори , , компланарні. Якщо ||, то за попередньою теоремою вектори , лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори , , . Якщо ж не ||, то за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами = α+β. То за властивістю 1 система векторів , , лінійно залежна. Теорему доведено
4. Координати вектора
Нехай (, , ) деякий базис простору , – довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа , , такі, що
= + + .
Коефіцієнти , , розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координатою, число – другою, а число – третьою.
Якщо вектор в даному базисі має координати ,, , то скорочено це записують так: (, , ) або .
Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори , , і від деякої точки О простору (мал. 16): =, =, =, =.
Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих , , , а діагоналлю є відрізок OA. Тоді = + + , де = , = =, = .
Тому = ;
> 0, якщо і < 0, якщо ;
= ;
> 0, якщо і < 0, якщо .
Аналогічно, = ;
> 0, якщо і < 0, .
Отже, координата з точністю до знака дорівнює довжині відрізка виміряному в одиницях довжини . Знак же координати залежить від напрямку векторів і : > 0, якщо і < 0, якщо . Аналогічно зміст двох інших координат і .
Базисні вектори в самому базисі мають координати (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).
Аналогічно визначаються координати вектора в просторі . Базис цього підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів , є базисом підпростору . Тоді за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами для будь-якого вектора із підпростору існують єдині числа , такі, що = + . Коефіцієнти , цього розкладу називаються координатами вектора в базисі (,). Число називається першою координатою, а число – другою.
Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі (мал. 17):
= + = + .
= ,
> 0, якщо і < 0, якщо ;
= ;
> 0, якщо і < 0, якщо .
Базисні вектори мають координати: (1; 0), (0; 1). Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.
Розглянемо властивості координат векторів.
Теорема (2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.
Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.
Теорема: справедливі такі твердження:
Доведення: доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі (,,), (, , ), (, , ). Тоді за означенням координат вектора
= + + , = + + .
Отже, + = + + + + + = (+ ) + ( + ) + ( +).
Звідси випливає, що координати вектора + відповідно дорівнюють + +, + , + , що й треба було довести.
Аналогічно доводяться й інші властивості.
Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори (, , ), (, , ) задані в деякому базисі (,,), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.
Доведення: якщо = , то твердження очевидне. Припустимо, що .
1. Необхідність. Нехай || . Тоді існує таке число λ, що = λ, звідки випиває, що = λ, = λ, = λ;
= λ.
Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.
2. Достатність. Нехай = λ, тоді = λ, = λ, = λ. Помноживши ці рівності на вектори , , відповідно, дістанемо = λ, = λ, = λ. Додавши ці рівності дістанемо + + = λ + λ + λ або + + = λ( + + ), тобто = λ || . Теорему доведено.
5. Тривимірний векторний простір і його підпростори
Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:
,: + = + ;
, , :( +) + = + ( + );
, : + = + = ;
(-): + (-) = ;
: 1* = ;
α, β R, : α(β) = (αβ);
α R, , : α( + ) = α + α – називається векторним простором. Позначимо його .
У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.
Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:
Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.
Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.
З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.
Тому розмірність даного простору дорівнює трьом. У зв’язку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.
Означення: нехай L –непорожня множина векторів із векторного простору . Множина L називається векторним підпростором простору , якщо виконуються такі умови:
Тобто підмножина L простору буде векторним підпростором простору , якщо вона сама є векторним простором.
6. Скалярний добуток векторів
Нехай , − ненульові вектори. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =. Кутом між векторами і називається кут між променями OA і OB (мал. 18). Позначають: (,) = φ. Для будь-яких векторів і маємо 0 ≤ (,) ≤ π.
Означення: скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними: =cos(,).
Теорема: скалярний добуток векторів (, , ), (, , ), заданих в ортонормованому базисі, обчислюються за формулою:
= + + . /6/
Доведення. Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що , і розглянемо два випадки.
. Вектори і не колінеарні. Відкладемо вектори = , = (мал. 19). Нехай (, ) = φ.
З OAB за теоремою косинусів – 2 OAOBcosφ, або ,
звідки
=. Отже, = + + .
2. Вектори і колінеарні. Тоді = λ, = λ, = λ, = λ;
= λ = cos(λ, ) = λ= λ() = λ + λ + λ = + +
Теорему доведено.
З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів:
. = 0 тоді і тільки тоді, коли , якщо , .
2. = = = .
3. = .
4. (α ) = α(),α R;
5. ( + ) = + .
Формула, аналогічна до формули /6/, має місце і в просторі . Справді, нехай в ортонормованому базисі простору задано вектори (, ), (, ). Тоді, користуючись властивостями 1–5, дістанемо: = ( + )( + )= + ( + ) + = + . Отже, = + /7/
З означення скалярного добутку і /6/, /7/ випливають такі формули для обчислення косинуса кута між векторами:
– у просторі :
cos(, ) = ;
– в просторі :
cos(, ) = .
Векторна алгебра може ефективно використовуватися для розв’язування задач елементарної геометрії.
Практична частина
Задача 1. Довести, що коли точка D ділить відрізок AB у відношеннях m: n, а C –довільна точка площини, то /*/.
Доведення: Введемо позначення:
AD: DB = m: n; = ; = .
|| = , але = – ,
= – , тому – = – .
Звідси (1 + ) = + , і остаточно = + , що і треба було довести.
Задача 2. Якщо точки M і N належать відрізкам AB і CD, та AM: MB = CN: ND = m: n, то виконується рівність = + .
Доведення: за умовою та за формулою, що була доведена в задачі 1, маємо: =+=(+)+(+)= + +(m+n). Вираз m+n= , отже ми довели, що і треба було довести.
Задача 3. У трикутнику ABC точка O –центр описаного кола, H –точка перетину його висот. Довести, що .
Доведення: за умовою (за означенням скалярного добутку). Проте, , , тому ()()=0 /1/. Крім того, ()()=0 /2/ (як радіуси описаного кола). Віднімаючи /2/ від /1/, матимемо ()( – ) = 0. Аналогічно з умов = 0 і , маємо ()( – ) = 0. Оскільки і , то вектор, перпендикулярний до кожного з них, може бути тільки нульовим, тобто – = 0. Звідси , що і треба було довести.
Задача 4. В коло вписано чотирикутник ABCD, перетинаються в точці M. Через середину S сторони CD проведено пряму SM так, що (AB) (SM) = K. Довести, що AK: KB = : .
Доведення: позначимо AK: KB = x. Тоді за формулою /*/ (див. задачу 1) . Оскільки вектори і колінеарні, а точка S є серединою відрізка CD, то . Використавши рівність MA MC = MBMD = k дістанемо . Отже, , а
. За теоремою про єдність розкладу вектора за двома не колінеарними векторами маємо
Звідси x = .
Задача 5. Дано три точки A, B, C і деяка точка O. Довести, що рівність /#/ при AB є необхідною і достатньою умовою належності точок A, B, C одній прямій.
Доведення: Необхідність. Нехай точки A, B, C належать одній прямій, тоді . Ця рівність рівносильна такій .Звідси .
Достатність. Нехай . Тоді або , тому і колінеарні, і, отже, A, B, C належать одній прямій.
Задача 6. Точка D належить стороні BC трикутника ABC. Довести, що .
Доведення: за формулою /#/ маємо . Оскільки
. Отже, , що і треба було довести.
Задача 7. Довести, що косинус кута між медіанами катетів рівнобедреного трикутника дорівнює .
Доведення: нехай задано рівнобедрений прямокутний трикутник OAB (OA = OB = a), точки M і N – відповідно середини OA і OB. Розмістимо цей трикутник в прямокутну систему координат так, щоб точка O збігалася з початком координат, а катети OA і OB лежали на відповідних осях координат x і y. Тоді в цій системі координат матимемо A (a; 0), B (0; a), M(; 0), N (0;). Вектори, які збігаються з медіанами, матимуть координати (-a; ) і (; a). Кут між медіанами – це кут між векторами і , який знайдемо за формулою: cos(,), що й треба було довести.
Задача 8. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2: 1, рухаючи від вершин.
Доведення: нехай , , – медіани трикутника ABC; і перетинаються в точці O. Тоді (бo || ) і (бо ||). Звідси - = . Враховуючи єдність розкладу вектора за двома неколінеарними векторами і , знаходимо, що k = -1, – p = 1. Отже, , то . За умовою , тому , або OC: = 2: 1 і, отже, точки C, O, належать одній прямій. З цього випливає, що медіана також проходить через точку О і ділиться нею у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини, що й треба було довести.
Задача 9. Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD. Чи є лінійно залежними вектори: а) і ; б) і ; в) ; г) ; д) ; е) ?