Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 2
0
0,05
0,1
,15
0,2
Pi
Xi
7,8
9,88
11,96
14,04
16,12
18,2
20,3
0,1
0
1
F*(x)
X
0,5
7,8
9,88
11,96
14,04
16,12
18,2
20,3
X
Y
0
1
2
4
6
8
1,9
2,0
2,2
2,4
2,6
EMBED Equation.DSMT4
Образец оформления задания 7.
В результате некоторого эксперимента были получены данные, записанные в виде статистического ряда.
|
11,2 |
12,6 |
10,9 |
10,9 |
15,1 |
14,1 |
11,5 |
15,6 |
16,1 |
13,2 |
|
16,9 |
14,9 |
16,3 |
14,4 |
14,7 |
13 |
13,1 |
11,6 |
15,9 |
17,9 |
|
18,1 |
11,1 |
15,1 |
7,8 |
16,4 |
16,5 |
11,3 |
17,1 |
15,9 |
13,2 |
|
12,7 |
17,6 |
12,4 |
18,3 |
13 |
16,3 |
11,3 |
15,7 |
19 |
16,3 |
|
18,2 |
12,1 |
14,8 |
11,5 |
13,2 |
20,3 |
11,7 |
18,7 |
11,7 |
18,7 |
Произвести статистическую обработку результатов измерений:
1) построить интервальный вариационный ряд;
2) построить гистограмму относительных частот, эмпирическую функцию распределения и ее график (кумулянту);
3) найти выборочные числовые характеристики ;
4) по геометрическим характеристикам и по соотношениям между числовыми характеристиками выдвинуть гипотезу о законе распределения признака X;
5) проверить гипотезу о законе распределения признака X по критерию -квадрат при уровне значимости 0,05;
6) найти 95%-ые доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Решение.
1) Сначала составляем дискретный вариационный ряд, записав варианты в порядке возрастания.
|
7,8 |
10,9 |
10,9 |
11,1 |
11,2 |
11,3 |
11,3 |
11,5 |
11,5 |
11,6 |
|
11,7 |
11,7 |
12,1 |
12,4 |
12,6 |
12,7 |
13 |
13 |
13,1 |
13,2 |
|
13,2 |
13,2 |
14,1 |
14,4 |
14,7 |
14,8 |
14,9 |
15,1 |
15,1 |
15,6 |
|
15,7 |
15,9 |
15,9 |
16,1 |
16,3 |
16,3 |
16,3 |
16,4 |
16,5 |
16,9 |
|
17,1 |
17,6 |
17,9 |
18,1 |
18,2 |
18,3 |
18,7 |
18,7 |
19 |
20,3 |
Для построения интервального вариационного ряда определяем число интервалов по формуле .
. Значит, . Находим длину интервала:
.
- формула, по которой определяются границы интервалов.
Составляем расчетную таблицу в виде интервального вариационного ряда.
|
№ ин-тер-вала |
xi; xi+1) |
ci |
ni |
wi |
cini |
||
|
1 |
7,8; 9,88) |
8,84 |
1 |
0,02 |
0,0096 |
8,84 |
78,146 |
|
2 |
9,88; 11,96) |
10,92 |
11 |
0,22 |
0,1058 |
120,12 |
1311,170 |
|
3 |
11,96; 14,04) |
13 |
10 |
0,2 |
0,0962 |
130 |
1690 |
|
4 |
14,04; 16,12) |
15,08 |
12 |
0,24 |
0,1154 |
180,96 |
2728,877 |
|
5 |
16,12; 18,2) |
17,16 |
11 |
0,22 |
0,1058 |
188,76 |
3239,122 |
|
6 |
18,2; 20,3 |
19,25 |
5 |
0,1 |
0,0481 |
96,25 |
1852,81 |
|
Сумма |
S1= |
S2= |
- середина интервала; - значения частот;
- относительная частота.
2) Строим гистограмму относительных частот.
Эмпирическая функция распределения выборки находится по формуле:
,
где - число вариант, меньших x.
Строим эмпирическую функцию распределения.
Строим график эмпирической функции распределения (кумулянту).
3) Определяем выборочную среднюю по формуле .
Находим выборочную дисперсию по формуле .
.
Находим среднее квадратическое отклонение .
Для определения моды , сначала выбираем модальный интервал с наибольшей частотой.
В нашем случае это 4-й интервал.
Моду находим по следующей формуле:
, где - начальная граница модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота предмодального интервала;
- частота послемодального интервала;
- длина интервала.
.
Для определения медианы находим медианный интервал. Проверяем по порядку следующие условия:
В нашем случае 4-й интервал является медианным.
Медиану находим по формуле:
, где - начальная граница медианного интервала;
- частота медианного интервала;
- объем выборки;
- сумма частот до медианного интервала;
- длина интервала.
.
4) Так как гистограмма имеет максимум в середине таблицы с убыванием в стороны, то выдвигаем гипотезу H0.
H0: исследуемый признак X распределен по нормальному закону.
Конкурирующая гипотеза H1: исследуемый признак X распределен по закону, который не является нормальным законом.
В процессе обработки результатов получили, что .
Оцениваем параметры выбранного закона распределения.
Математическое ожидание .
Находим исправленное среднее квадратическое отклонение:
5) Для проверки гипотезы о законе распределения признака X по критерию 2-квадрат при уровне ошибки =0,05 необходимо найти теоретические вероятности Pi попадания случайной величины X в интервал i по формуле
, где (x)-функция Лапласа.
Для удобства вычислений составим таблицу.
|
i |
xi |
i |
ni |
Pi |
nPi |
||
|
1 |
7,8 |
-5 |
-0,5 |
(7,8; 9,88) |
1 |
0,0505 |
2,525 |
|
2 |
9,88 |
-1,64 |
-0,4495 |
(9,88; 11,96) |
11 |
0,1336 |
6,68 |
|
3 |
11,96 |
-0,90 |
-0,3159 |
(11,96; 14,04) |
10 |
0,2523 |
12,615 |
|
4 |
14,04 |
-0,16 |
-0,0636 |
(14,04; 16,12) |
12 |
0,2826 |
14,13 |
|
5 |
16,12 |
0,58 |
0,2190 |
(16,12; 18,2) |
11 |
0,1859 |
9,295 |
|
6 |
18,2 |
1,31 |
0,4049 |
(18,2; 20,3) |
5 |
0,0951 |
4,755 |
|
7 |
20,3 |
5 |
0,5 |
|
|
|
|
nPi – теоретические частоты.
Мы видим, что в первой и шестой строках теоретические частоты nP1<5 и nP6<5. Значит, первую строку объединяем со второй, а шестую с пятой строкой. В результате получим новую таблицу.
|
i |
nPi |
ni |
|
|
1 |
9,205 |
12 |
0,8487 |
|
2 |
12,615 |
10 |
0,5421 |
|
3 |
14,13 |
12 |
0,3211 |
|
4 |
14,05 |
16 |
0,2706 |
|
= |
Итак, t=1,9825.
Степени свободы определяем по формуле:
k=m-r-1, где m – число интервалов
r – число параметров теоретического распределения.
В нашем случае: k=4-2-1=1.
По таблице значений - критерия Пирсона при k=1 и =0,05 определяем 2кр=3,8.
Так как t=1,9825<2кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу H0.
6) Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении нормально распределенной случайной величины X определяется по следующей формуле:
,
где - выборочное среднее;
- исправленное среднее квадратическое отклонение;
n – объем выборки;
t - число, которое определяется по таблице значений t=t(, n) при заданной
надежности и объеме выборки n
При =0,95 и n=50 определяем t=2,009.
13,698<a<15,300
Доверительный интервал с заданной надежностью для среднего квадратического отклонения нормально распределенного признака X по исправленному среднему квадратическому отклонению определяется по формуле:
при q<1
При =0,95 и n=50 определяем q=0,21.
2,226<<3,410
Образец оформления задания 8.
Экспериментальная зависимость признака Y от фактора X имеет вид:
|
Xi |
2 |
3 |
3,5 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
Yi |
2 |
1,9 |
2,1 |
2,2 |
2,4 |
2,3 |
2,5 |
2,5 |
Требуется:
1) найти уравнение линейной регрессии ;
2) найти выборочный коэффициент корреляции ;
3) выяснить значимость уравнения регрессии при ;
4) построить линию регрессии и экспериментальные точки .
Решение.
1) Коэффициенты и b уравнения линейной регрессии находятся по следующим формулам:
;
,
где число наблюдений. В нашем случае .
Чтобы определить коэффициенты и b, а так же коэффициент корреляции , составляем расчетную таблицу.
Тогда получаем
;
.
Итак, уравнение линейной регрессии имеет вид:
.
2) Выборочный коэффициент корреляции находится по следующей формуле:
.
Тогда получаем
.
3) Выше получили, что коэффициент корреляции .
Так как рассмотренная выборка отобрана случайна, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля.
При заданном уровне значимости проверим нулевую гипотезу H0.
H0: равенство нулю генерального коэффициента корреляции, т.е. .
Конкурирующая гипотеза H1: .
Если нулевая гипотеза будет отвергнута, то это значит, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированны, т.е. связаны линейной зависимостью. Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y некоррелированы, т.е. не связаны линейной зависимостью.
Для проверки нулевой гипотезы найдем статистику по следующей формуле:
,
где сумма квадратов, обусловленная регрессией;
остаточная сумма квадратов;
n – число наблюдений;
l – число групп в корреляционной таблице или число оцениваемых параметров в несгруппированной выборке.
Для определения статистики t составляем расчетную таблицу.
Значения находим из уравнения регрессии, подставляя соответствующие значения . Среднюю выборочную находим следующим образом:
.
Итак, получаем .
В нашем случае число наблюдений . Поскольку рассматривается линейная регрессия, то число оцениваемых параметров.
При по таблицам распределения Фишера находим .
Вычисляем статистику.
.
Так как , то уравнение линейной регрессии значимо. Принимаем конкурирующую гипотезу H1: .
4) Строим линию регрессии и экспериментальные точки .