Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4 Переходный электромагнитный процесс при трехфазном КЗ в простейших цепях
4.1 Методы анализа переходных электромагнитных процессов
Уравнения, описывающие электромагнитные переходные процессы, могут быть записаны в дифференциальной или в операторной форме. Совпадая по существу, они в то же время имеют различные способы решения. Решение уравнений переходных процессов в дифференциальной форме записи называют классическим методом. Большое распространение при решении дифференциальных уравнений получил операторный метод решения задач.
4.2 Постановка задачи и допущения. Нормальный режим
Трехфазную симметричную цепь с сосредоточенными активными и индуктивными сопротивлениями при отсутствии в ней трансформаторных связей называют простейшей трехфазной цепью.
Электромагнитный процесс в такой цепи рассмотрим при допущении, что ее питание осуществляется от источника бесконечной мощности. Такой источник характеризуется неизменностью напряжения на шинах по амплитуде и по частоте.
Однако любой реальный источник обладает конечной мощностью, но если она во много раз превышает мощность элементов, за которыми рассматриваются КЗ, то напряжение на шинах питающей системы изменяется незначительно, что дает возможность в практических расчетах это изменение не учитывать.
В качестве основного допущения считаем, что между токами и напряжениями рассматриваемых цепей сохраняется линейная зависимость и, следовательно, они могут быть связаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
На рис. 4.1. представлена трехфазная симметричная цепь, питаемая источником с неизменным синусоидальным напряжением
|
(4.1) где Un – действующее значение напряжения источника питания; - фаза включения, (т.е. угол между вектором напряжения фазы А и действительной осью (рис. 4.2.)). |
|
|
Рисунок 4.1 Простейшая трехфазная цепь |
В рассматриваемой схеме емкость не учитывается, что исключает возможность возникновения колебательных контуров, а это значительно упрощает анализ протекания переходного процесса в цепи.
В нормальном режиме работы цепи по фазам протекает ток, определяемый напряжением источника питания и результирующим сопротивлением
(4.2)
где In = Un/Zn – действующее значение периодической составляющей;
- полное сопротивление цепи;
- активное сопротивление цепи;
– индуктивное сопротивление цепи;
- угол сдвига между напряжением и током той же цепи.
4.3 Анализ протекания переходного процесса
При КЗ в точке К (рис. 4.1) простейшая электрическая цепь распадается на две независимые цепи (обозначим их М и N), одна из которых М остается присоединенной к источнику, а другая N превращается в короткозамкнутый контур, ток в котором будет поддерживаться до тех пор, пока запасенная в нем энергия не перейдет в тепло в резисторах R1. Для части схемы N уравнение баланса напряжений будет:
(4.3)
Решением уравнения (4.3) будет:
, (4.4)
где io - начальное значение свободного тока,
Т1- постоянная времени затухания свободного тока.
Решение уравнения (4.4) показывает, что на участке N имеется лишь свободный ток, который затухает по экспоненте с постоянной времени Т1:
(4.5)
Так как цепь симметрична, то (4.4) правомерно для всех трёх фаз.
Векторная диаграмма и осциллограмма протекания переходного процесса представлена на рис. 4.2. Проекции вращающихся векторов токов Iа, Ib, Ic на неподвижную ось t-t дают начальные мгновенные значения токов ioa, iob, ioc, которые затухают с одинаковыми постоянными времени Та1.
|
Рис. 4.2. Векторная диаграмма (а) и осциллограмма переходного режима (б) для участка цепи N. |
Касательная к любой точке экспоненты в принятом для оси времени t масштабе дает значение постоянной времени Та1. Это свойство используется для опытного определения постоянных времени затухания апериодических свободных токов. Для большей точности точку, к которой проводят касательную, нужно брать в начальной (более крутой) части кривой. За время t=Та1 апериодический ток уменьшается в e = 2,71 разa или, что то же, до 1/e = 0,368 своего значения. В соответствии с этим, величине Та1 можно дать такое определение: это время, в течение которого переменная величина уменьшается до 0,368 своего начального значения.
После затухания апериодической составляющей заканчивается переходный процесс в части цепи N за t=0,1...0,3 с.
Рассмотрим протекание переходного процесса на участке М, получающем питание от источника бесконечной мощности.
Так как суммарное сопротивление цепи, к которой присоединен источник, уменьшилось, то ток в общем случае должен увеличиться и кроме того, должен измениться и угол сдвига тока относительно напряжения.
Обратимся к векторной диаграмме (рис.4.3), постоянной для начального момента трехфазного КЗ.
|
Пусть векторы UА, UВ, UС, IА, IВ, IС характеризуют нормальный режим цепи. Ось +1 является осью отсчета углов, а вертикаль t-t является неподвижной осью времени, т.е. мгновенные значения токов и напряжений определяются проекциями на эту ось соответствующих вращающихся векторов. Допустим, что векторы Iка, Iкв, Iкс характеризуют периодический ток установившегоcя режима. Поскольку цепь содержит индуктивность, то значение полного тока в такой цепи в момент нарушения режима не может измениться скачком. |
|
|
Рисунок 4.3 Векторная диаграмма для начального момента трехфазного КЗ простейшей цепи. |
Периодическая же составляющая тока в момент КЗ увеличилась скачкообразно, изменится магнитный поток, обусловленный этой составляющей тока. Изменение магнитного потока вызовет наведение в цепи ЭДС ∆e = - dФ / dt и появление свободной составляющей тока, начальное значение которой полностью компенсирует приращение мгновенного значения периодической составляющей. Это - апериодическая составляющая (на рис. 4.3 для фазы А IА-IКА). Таким образом, наряду с периодической составляющей тока КЗ возникает на участке М апериодическая составляющая тока КЗ. Сложение обоих токов дает значение полного тока КЗ.
Рассмотрим основные соотношения процесса для участка М. Поскольку при трехфазном КЗ симметрия фаз не нарушается, рассмотрим основные соотношения для одной фазы, например, для фазы А.
По второму закону Кирхгофа для любого момента времени:
(4.6)
которое, имея в виду, что iА+iВ+iС=0, можно представить, опуская индекс фазы:
(4.7)
где Lк = (L - M) - результирующая индуктивность фазы.
где in - вынужденная (периодическая) составляющая тока КЗ,
ia - апериодическая (свободная) составляющая тока КЗ.
(4.9)
(4.10)
Следовательно, значение тока КЗ определится выражением:
(4.11)
где Zк - комплексное сопротивление цепи КЗ,
φк - аргумент комплексного сопротивления цепи КЗ,
α - угол, определяющий значение напряжения фазы А при t=0, или фаза включения.
При рассматриваемых условиях амплитуда периодической составляющей Imк=Um/Zк остается неизменной. Начальное значение апериодической составляющей iо находится из условия, что в цепи с индуктивностью ток в момент нарушения режима сохраняется неизменным, т.е. i(-o)=i(+o). Ток до нарушения режима при t=(-0) из выражения (4.11) равен:
i(-o) = Im sin( α - φn). (4.12)
Ток в момент нарушения режима при t=(+0) из выражения (4.11)
i(+o) = Imк sin(α - φк) + io (4.13)
Следовательно,
io = Im sin(α - φн) – Imк sin(α - φк). (4.14)
Закон изменения полного тока КЗ выражается формулой:
in=Imк sin(ωt + α - φк) + [Im sin(α - φn) – Imк sin( а - φк)] еxp (- t /Тa). (4.15)
Мгновенные значения in(-o), in(+o) определяются как проекции векторов Im и Imк на линию времени t-t. Поэтому начальное значение ia(o) можно рассматривать как проекцию вектора Im-Imк на эту линию (рис. 4.4). В зависимости от момента возникновения КЗ начальное значение ia(o) может изменяться от возможной наибольшей величины, когда вектор Im-Imк параллелен оси времени, до нуля, когда этот вектор перпендикулярен оси времени.
|
Рисунок 4.4 Oсциллограмма переходного процесса тока фаз |
Возможное наибольшее значение апериодической составляющей тока КЗ зависит от фазы включения α и от предшествующего режима цепи. Если до КЗ ток был отстающим, то максимум ia(o) получается при условиях, показанных на рис. 4.5, т.е. когда разность Im-Iкm параллельна оси времени t-t.
|
а) |
б) |
|
Рисунок 4.5 Условия образования наибольшей величины апериодической составляющей тока КЗ. а) - при наличии предшествующего тока; б) - при его отсутствии. |
4.4 Ударный ток короткого замыкания
Наибольшего значения полный ток КЗ достигает при наибольших значениях его составляющих. Начальное значение апериодического тока достигает максимума, когда ток предшествующего режима равен нулю (холостой ход), а в момент КЗ периодическая составляющая вынужденного тока проходит через свой максимум. Это условие принимается в качестве расчетного.
Максимальное мгновенное значение полного тока КЗ - iу называют ударным током. Найдем условия, при которых ударный ток достигает своего наибольшего значения для случая, когда ток предшествующего режима был равен нулю, т.е. Im=0. В этом случае уравнение для полного тока КЗ принимает вид:
(4.16)
и представляет собой функцию двух независимых переменных: времени t и фазы включения α. Максимум тока наступает при α = 0.
Для цепей с преобладающей индуктивностью φк≈90˚, поэтому условия возникновения наибольшей апериодической составляющей и условие, при котором достигается максимум мгновенного значения полного тока очень, близки друг другу. Поэтому в практических расчетах максимальное значение полного тока КЗ, которое называют ударным током КЗ iу, обычно находят при наибольшем значении апериодической составляющей, считая, что он наступает приблизительно через полпериода, что при f=50 Гц составляет около 0,01с с момента возникновения КЗ.
Таким образом, выражение для ударного тока КЗ можно записать в следующем виде:
(4.17)
где , (4.18)
который называют ударным коэффициентом и который показывает превышение ударного тока над амплитудой периодической составляющей, его величина находится в пределах 1<Ку<2, что соответствует предельным значениям Та, т.е. Та=0 при Lк=0 и Та = ∞ при Rк=0.
|
Рисунок 4.6 К определению ударного тока КЗ |
Естественно, чем меньше Та, тем быстрее затухает апериодическая составляющая и тем, соответственно, меньше ударный коэффициент. Влияние этой составляющей сказывается лишь в начальной стадии переходного процесса; в сетях и установках высокого напряжения она практически исчезает спустя 0,1-0,3 с, а в установках низкого напряжения она практически совсем незаметна.
4.5 Действующее значение тока короткого замыкания
В ТОЭ было показано, что действующее значение синусоидального тока In численно равно значению постоянного тока, который за время равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество тепла, что и синусоидальный ток и определяется:
При расчете действующего значения тока КЗ имеется ряд особенностей.
Под действующим значением тока КЗ для какого-либо момента времени процесса КЗ условно понимают среднеквадратичное значение тока за один период, в центре которого находится рассматриваемый момент времени. В соответствии с этим при известной зависимости i=f(t) для действующего значения тока в момент t можно записать:
Зависимость i=f(t) в общем случае сложна и поэтому для упрощения расчета It принимают, что за рассматриваемый период обе составляющие тока нe изменяются, т.е. амплитуда периодической составляющей и апериодическая составляющая неизменны; каждая из них равна своему значению в данный момент времени t.
Действующее значение периодической составляющей в момент t находят:
Действующее значение апериодической составляющей за один период при принятом допущении равно ее мгновенному значению в момент, находящийся посередине данного периода, т.е. iat = iat.
Действующее значение полного тока в тот же момент времени будет:
(4.19)
Наибольшее действующее значение полного тока КЗ Iy имеет место за первый период переходного процесса. При условии, когда ia(o)=Inm, его можно определить выражением (4.19), придав послед нему следующий вид:
(4.20)
Согласно указанным выше пределам изменений Ку величина отношения Iy/In находится в пределах: 1< Iу / In < √3.
|
Рисунок 4.7 Действующее значение тока КЗ |
Величина Iy определяется для проверки аппаратов на электродинамическую устойчивость при КЗ.