Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство Образования, Молодежи и Спорта
Республики Молдова
Государственный университет Молдовы
Курсовая Работа
Тема: Электрон в слое.
Работу выполнил
студент 3-го курса:
Радченко Андрей
Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
2/(2m)2/x2 U0 , x < a
H = 2/(2m0)2/x2 , a < x < a
2/(2m)2/x2 U0 , x > a
Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;
m0 - эффективная масса электрона в области II.
Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :
2I/x2 2m/2(E U0)I = 0 , x a
2II/x2 2m0/2EI = 0 , a x a
2III/x2 2m/2(E U0)I = 0 , x a
Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :
I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
I(x) = Aexp(nx).
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :
II(x) = Cexp(ikx) + Dexp(ikx).
Функция состояния для третьей области выглядит так :
III(x) = Fexp(nx).
Где
k = (2m0E/2)1/2
n = (2m(U0E)/2)1/2.
Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
I(x=a) = II(x=a)
II(x=a) = III(x=a)
I(x=a)/m = II(x=a)/m0
II(x=a)/m0 = III(x=a)/m
А в наших определениях этих функций это выглядит так :
Aexp(na) = Cexp(ika) + Dexp(ika)
m1A nexp(na) = ik/m0(Cexp(ika) Dexp(ika))
Cexp(ika) + Dexp(ika) = Fexp(na)
ik/m0(Cexp(ika) Dexp(ika)) = n/mFexp(na).
Теперь составим определитель :
|exp(na) exp(ika) exp(ika) 0 |
|m1nexp(na) 1/m0ikexp(ika) /m0ikexp(ika) 0 |
|0 exp(ika) exp(ika) exp(na) |
|0 /m0ikexp(ika) 1/m0ikexp(ika) /mnexp(na)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2 (k/m0)2)Sin(2ka) + 2kn/(mm0)Cos(2ka) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = Fexp(na){exp(ika) + exp(3ika) ( ik/m0 n/m)/(n/m + ik/m0)}
D = Cexp(2ika)( ik/m0 n/m)/(n/m + ik/m0)
A = exp(na)(Cexp(ika) + Dexp(ika)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :
A = RAF
C = RCF
D = RDF.
RA, RC, RD - известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно :
I(x) = FRAexp(nx)
II(x) = F( RCexp(ikx) + RDexp(ikx)).
III(x) = Fexp(nx).
I1 + I2 + I3 = 1
Где
I1 = F2RA2exp(2nx)dx = F2RA2(2n)1exp(2nx) =
= F2RA2(2n)1exp(2na)
I2 = F2{ RC2dx + RD2dx + RCRD*exp(2ikx)dx +
+ RC*RDexp(2ikx)dx } = F2{ 2a(RC2 + RD2) +
((exp(2ika) exp(2ika))RCRD*/(2ik) +
+ i((exp(2ika) exp(2ika))RC*RD/(2k) }
I3 = F2exp(2nx)dx = F2(2n)1exp(2na)
F2 = { RA2(2n)1exp(2na) + 2a(RC2 + RD2) +
((exp(2ika) exp(2ika))RCRD*/(2ik) +
+ i((exp(2ika) exp(2ika))RC*RD/(2k) + (2n)1exp(2na) }1.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:
2/x2 2m/2(E U0) = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:
= exp(i 2ak)
Тогда (x+2ma) = (x)m , где m=0, 1, 2,... (2)
Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.
Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
2I/x2 2m2/2(E U0)I = 0 , 0 > x > a
его решение выглядит просто:
I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).
Где n = (2m2 (U0-E) /2)1/2
Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
2II/x2 2m1/2E II = 0 , a x 0
его решение выглядит просто:
II(x) = Cexp(ipx) + Dexp(ipx).
Где p = (2m1E/2)1/2
Рассмотрим область III:
2III/x2 2m2/2(E U0)III = 0 , 2a > x > a
его решение выглядит просто:
III(x) = (Aexp(nx) + Bexp(nx)).
Запишем граничные условия:
I(x=0) = II(x=0)
II(x=a) = III(x=a)
I(x=0)/m = II(x=0)/m0
II(x=a)/m0 = III(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1
(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :
|1 1 1 1 |
|exp(ik2ana) exp(ik2ana) exp(ipa) exp(ipa) |
|n/m2 n/m2 ip/m1 ip/m1 |
|n/m2exp(ik2ana) n/m2exp(ik2ana) ip/m1exp(ipa) ip/m1exp(ipa) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1
|
0.1135703312666857 |
.6186359585387896 |
.2019199605676639 |
|
0.3155348518478819 |
.05047267055441365 |
1.263391478912778 |
|
0.4544326758658974 |
.137353840637548 |
.808172718170137 |
|
2.479933076698526 |
.4544326758658974 |
6.168062551132728 |
|
5.611693924351967 |
1.820461802850339 |
.529165865668653 |
|
1.023077302091622 |
a=10 U=10 m1=2 m2=1
|
0.1032788024178655 |
.2324238959628721 |
.41331603936642 |
|
0.6460490460448886 |
.930750939555283 |
.26759057783714 |
|
1.656787195799296 |
.098624192369327 |
|
|
2.593469359607937 |
.141805331837109 |
|
|
3.744277072860902 |
.887485640841992 |
a=10 U=10 m1=1 m2=1
|
0.05408120469105441 |
.2163802958297131 |
.4870681554965061 |
|
0.86644533469418 |
.354969224117534 |
.953300729714778 |
|
2.662383817919513 |
.418966218448088 |
.961581805911094 |
a=10 U=10 m1=0.5 m2=1
|
0.118992095909544 |
.249561710930034 |
.068004282376146 |
|
0.4754473139332004 |
.78216724725356 |
.955345679469631 |
|
1.895012565781256 |
a=10 U=10 m1=.25 m2=1
|
0.2898665804439349 |
4.30026851446248 |
|
2.479039415645616 |
.132264393019809 |