Шпаргалка- Функциональный анализ
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Функциональный анализ
Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).
Абсолютно непрерывной называется такая функция , заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей , сумма модулей разностей значений функции в концах интервалов меньше чем .
Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.
Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.
Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.
Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.
Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.
Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.
Поле –кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).
Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.
Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа из [0, 1] элемент х+(1-)у принадлежит Е.
Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа , по модулю не превосходящего единицы элемент х принадлежит Е.
Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел : 1 + элемент х+у принадлежит Е.
Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число большее нуля, что для все чисел по модулю не меньших найдется элемент у из Е, что х равен у.
Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): ХR, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К р(х)= р(х).
Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).
Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): ХR, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К х= х.
Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).
Утв. Пусть р() – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Е={х: р(х)<}выпукло и поглощающее, р(х) - полунорма.
Нормированным называется такое векторное пр-во Х над полем К, если определена функция нормы из Х в R, такая, что для нее справедливы следующие условия:
Норма неотрицательна и равна нулю лишь в том случае, когда сам элемент равен нулю: х0, х=0 х=0.
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К х= х.
Выполнено нер-во треугольника: х+ у х+у.
Метрическим пр-вом называется мн-во Х на котором задана бинарная функция (х,у), для которой справедливы следующие условия:
(х,у)=0 титт х=у. (х,у)= (у,х). (х,z) (х,у) +(у,z).
Полным называется такое метрическое пр-во, в котором любая фундаментальная посл-ть сх-ся.
Топологическим пр-вом называется такое множество Х в котором определена система его подмножеств , называемая топологией, такая, что для нее справедливы условия:
Мн-во Х и пусто мн-во принадлежит . Объединение и пересечение мн-в из лежит в .
Базой топологии пр-ва Х называется система открытых мн-в из Х, таких, что всякое открытое мн-во из Х может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы мн-в из .
Хаусдорфова топология (????).
Теорема. Пусть Х –векторное топологическое пр-во, тогда существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых поглощающих мн-в.
Порождающая система полунорм (???).
Теорема. Локально выпуклое пр-во Х метризуемо титт, когда топология хаусдорфова и существует счетный набор порождающих полунорм.
Банаховы пр-ва. Теорема о вложенных шарах в банаховом пр-ве (КФЭ 81).
Банаховым пр-вом называется полное нормированное пр-во.
Теорема. Для того чтобы метрическое пр-во Х было полным необх. и дост., чтобы в нем любая посл-ть вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы к-рых не стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Теорема Бера. Принцип сжимающих отображений (КФЭ 83).
Сжимающим называется такое отображение полного метрического пр-ва : ХХ, что существует число r<1, такое что r (х,у)((х),(у)).
Теорема. Для сжимающего отображения существует единственная неподвижная точка (х)=х.
Теорема Бера. Полное метрическое пр-во Х не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных мн-в.
Теорема о пополнении (КГТ 12).
Пополнением метрического пр-ва Х называется метрическое пр-во У, такое, что выполнены следующие усл-я:
Y полно. Х лежит в Y. Х плотно в Y, т.е. каждая точка из Y является предельной для Х.
Теорема. Каждое метрическое пр-во Х допускает пополнение Y. Любые два пополнения пр-ва Х изометричны, причем изометрия, связывающая их, оставляет на месте точки Х.
Сепарабельность, компактность, критерий Хаусдорфа.
Сепарабельным называется такое топологическое пр-во Х, что в нем существует счетное всюду плотное мн-во Е, то есть для любого элемента из Х и для любой его окрестности найдется элемент из Е, принадлежащий этой окрестности.
Компактным подмножеством топологического пр-ва Х называется такое его подмножество А, что из любого покрытия мн-ва А системой открытых мн-в можно выделить конечное подпокрытие.
Предкомпактом называется множество, замыкание к-го компакт.
-сеть для мн-ва В является такое мн-во А, что для любого элемента из В найдется элемент из А, отстоящий от него не далее, чем на .
Критерий Хаусдорфа. Пусть Х –полное метрическое пр-во и А подмножество в Х. Мн-во А предкомпактно титт, когда для каждого >0 мн-во А обладает конечной -сетью.
Сл-е. В конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.
Непрерывные функции на метрических компактах. Эквивалентность норм в Rn.
Теорема. Пусть Х –компактное метрическое пр-во и - непрерывная на нем числовая ф-я. Тогда ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней граней.
Эквивалентными в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы |||| и |||| , что существуют положительные числа a и b для которых справедливо нер-во a||x||||x||b||x|| при всех x из X.
Теорема. В конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.
Теорема Асколи-Арцела (КГ 75).
Теорема Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на метрическом пр-ве Х с нормой =max(x). Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следующим условиям:
Мн-во А равномерно ограниченно т.е. для любой функции существует единое для всех число С, такое что модуль не превосходит это число: С (х)С.
Мн-во А равностепенно непрерывно т.е. для любой функции и для любых двух точек х и у найдутся такие числа и , что как только расстояние между точками меньше, чем разность аргументов функции меньше : >0 >0, справедливо (х)-(у)< , если (х,у)< .
Критерий предкомпактности единичного шара (КГТ 74).
Теорема. Пусть Х –лин-ое нормированное бесконечномерное пр-во, тогда единичный шар B={x: ||x||<1}не является предкомпактным мн-вом.
Евклидовы пр-ва. Неравенство Коши-Буняковского.
Евклидовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:
Определена операция ( , ): ХХС.
(х,х)0. (х,х)=0 х=0.
.
(х+у,z)= (х,z)+(y,z).
Утв. Норму в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом: .
Утв. Метрику в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом:(х,у)=||x-y||.
Теорема. Для любых двух элементов х и у из Х справедливо нер-во Коши-Буняковского:
|(x,y)|||x||||y||.
Предгильбертовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:
Определена операция ( , ): ХХС.
(х,х)0.
.
(х+у,z)= (х,z)+(y,z).
Гильбертовым пространством называется полное бесконечномерное Евклидово пр-во.
Утв. Определение Гильбертова пр-ва эквивалентно предгильбертовости пр-ва с добавлением условия (х,х)>0 при x отличных от нуля.
Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.
Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.
Опр. В Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как .
Ортогональной в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов {x}, что при различных и (х,х)=0.
Ортогональным базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее лин-ая оболочка совпадает с Х.
Ортонормированной системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов {x}, что при различных и (х,х)=0 и для всех векторов x ||x ||=1 .
Ортогонализацией л.н.з. системы векторов {y}называется процесс, ставящих ей в соотв. Новую системы векторов {x},являющуюся ортонормированной, такую, что лин-ые оболочки обоих систем совпадают.
Неравенство Бесселя, Теорема Рисса-Фишера.
Коэффициентами Фурье элемента из евклидова пр-ва X по о.н.с. {k} называется последовательность чисел ck=(,k).
Рядом Фурье по о.н.с. {k} называется ряд ckk.
Неравенство Бесселя. Для любого элемента из евклидова пр-ва X и о.н.с. {k} справедливо нер-во: .
Замкнутой называется такая о.н.с. {k}, что для любого из евклидова пр-ва X справедливо равенство Парсеваля: .
Теорема Рисса-Фишера. Пусть {k} о.н.с. в полном евклидова пр-ва X и пусть числа ck таковы, что сх-ся. Тогда существует такой элемент из X, что ck=(,k) и .
Базисы, равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пр-в.
Теорема. Любые два сепарабельных Гильбертовых пр-ва изоморфны между собой.
Лин-ые операторы в нормированных пр-вах. Непрерывность и ограниченность. Полнота пр-в Т(l1,l2).
Лин. оператором (отображением) А из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y над полем К называется отображение для которого выполнена аксиомы лин-ости и уравновешенности: (А)х=(Ах), А(х+у)= А(х)+ А(у).
Норма оператора. Пусть Х, Y –нормированные пр-ва. Тогда норму оператора А можно задать так: .
Задача. Следующие нормы эквивалентны:
; ; ; ||A||=inf C: х ||Ax||C||x||.
Непрерывным называется такой лин-ый оператор А, что для любой последовательности xn сходящейся к х последовательность А(xn) сходится к А(х).
Ограниченным называется такой лин-ый оператор из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y, что он переводит ограниченное мн-во в ограниченное.
Задача. Оператор непрерывен титт, когда он ограничен.
Задача. Оператор непрерывен титт, когда он непрерывен в одной точке.
Лемма Цорна –Куратовского. Существование разрывных лин-ых функций на бесконечномерном нормированном пр-ве. Теорема Хана-Банаха в действительном случае.
Лин. функционалом определенном на лин-ом пр-ве X называется числовая функция.
Выпуклым фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x,y из X и 10 выполнено соотношение: p(x+(1-)y) p(x)+(1-)p(y).
Положительно-однородным фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x из X и >0 p(x)= p(x).
Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.
Продолжением лин-ого фун-ла , определенного на подпространстве X действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л , определенный на X, что(x)=(x) для всех x из X.
Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л , что (x)p(x) для всех x из X.
Теорема Хана-Банаха. Пусть p –однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X –лин-ое подпр-во X. Пусть лин-ый фун-л на X, подчиненные на X p(x). Тогда может быть продолжен до лин-ого фун-ла на X, подчиненного p(x) на всем X.
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия.
Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех комплексных чисел справедливы соотношения: p(x+y)p(x)+p(y), p(x)=| |p(x).
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p –однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X –лин-ое подпр-во X. Пусть лин-ый фун-л на X, такой, что | (x)|p(x) для x из X. Тогда Существует лин-ый фун-л , являющийся продолжением , такой, что | (x)|p(x) для x из X.
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (прямая теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (обратная теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве.
Непрерывные лин-ые фун-лы на С[а,в] (прямая теорема).
Сопряженные операторы.
Сопряженным пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A.
Сопряженным оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y называется такой лин. оператор A*, который отображает пр-во Y* в X*.
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Существование непрерывных функций с расходящимися рядами Фурье.
Слабая сходимость. * слабая компактность единичного шара в пр-ве, сопряженном к сепарабельному.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mmonline.ru/
2. по теме Методы выравнивания рядов динамики Для выявлении тренда тенденции развития в ряд
3. ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ ПО СПЕЦКУРСУ ИСТОРИЯ ПОЛИТИЧЕСКИХ КРИЗИСОВ В РОССИИ ХХ ~ ХХI ВВ
4. Это вовсе не означает что в то время здесь не строили из кирпича а все здания сооружали только из дерева
5. 1 Принципы оплаты труда Сущность оплаты труда проявляется в функциях которые она должна выполнять в п
6. С РОССИЕЙ ИПИ БЕЗ НЕЕ Айра Страус Зачем включать Россию в НАТО ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ К НАТО отвечает насущн
7. Тема- Как следует питаться Задачи- формирование знаний о ЗОЖ понятий здоровая и нездоровая пища ут
8. Основные вопросы организации производства на Кемеровском Молочном Комбинате
9. это такая форма заболевания которая характеризуется ограниченной протяженностью воспалительного процесс
10. Особенности российского рынка труда на современном этапе
11. Утверждаю Заведующий кафедрой Профессор П
12. В отличие от нравственных и религиозных правил правовые нормы как правило однозначны они закреплены в зак
13. Статья- Общий алгоритм оценки эффективности рекламной кампании
14. і Особливо зростає роль автоматизації в наш час коли на перший план ставляться питання інтенсивного розвит
15. Сатирические журналы Н
16. УралФронт I
17. Статистические функции в Excel.html
18. економічної політики
19. Контрольная Распределение вопросов Ф1
20. Развитие внимания младших школьников с нарушением интеллекта на уроках изобразительной деятельности