Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Функциональный анализ
Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).
Абсолютно непрерывной называется такая функция , заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей , сумма модулей разностей значений функции в концах интервалов меньше чем .
Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.
Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.
Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.
Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.
Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.
Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.
Поле –кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).
Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.
Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа из [0, 1] элемент х+(1-)у принадлежит Е.
Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа , по модулю не превосходящего единицы элемент х принадлежит Е.
Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел : 1 + элемент х+у принадлежит Е.
Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число большее нуля, что для все чисел по модулю не меньших найдется элемент у из Е, что х равен у.
Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): ХR, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К р(х)= р(х).
Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).
Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): ХR, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К х= х.
Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).
Утв. Пусть р() – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Е={х: р(х)<}выпукло и поглощающее, р(х) - полунорма.
Нормированным называется такое векторное пр-во Х над полем К, если определена функция нормы из Х в R, такая, что для нее справедливы следующие условия:
Норма неотрицательна и равна нулю лишь в том случае, когда сам элемент равен нулю: х0, х=0 х=0.
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: К х= х.
Выполнено нер-во треугольника: х+ у х+у.
Метрическим пр-вом называется мн-во Х на котором задана бинарная функция (х,у), для которой справедливы следующие условия:
(х,у)=0 титт х=у. (х,у)= (у,х). (х,z) (х,у) +(у,z).
Полным называется такое метрическое пр-во, в котором любая фундаментальная посл-ть сх-ся.
Топологическим пр-вом называется такое множество Х в котором определена система его подмножеств , называемая топологией, такая, что для нее справедливы условия:
Мн-во Х и пусто мн-во принадлежит . Объединение и пересечение мн-в из лежит в .
Базой топологии пр-ва Х называется система открытых мн-в из Х, таких, что всякое открытое мн-во из Х может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы мн-в из .
Хаусдорфова топология (????).
Теорема. Пусть Х –векторное топологическое пр-во, тогда существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых поглощающих мн-в.
Порождающая система полунорм (???).
Теорема. Локально выпуклое пр-во Х метризуемо титт, когда топология хаусдорфова и существует счетный набор порождающих полунорм.
Банаховы пр-ва. Теорема о вложенных шарах в банаховом пр-ве (КФЭ 81).
Банаховым пр-вом называется полное нормированное пр-во.
Теорема. Для того чтобы метрическое пр-во Х было полным необх. и дост., чтобы в нем любая посл-ть вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы к-рых не стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Теорема Бера. Принцип сжимающих отображений (КФЭ 83).
Сжимающим называется такое отображение полного метрического пр-ва : ХХ, что существует число r<1, такое что r (х,у)((х),(у)).
Теорема. Для сжимающего отображения существует единственная неподвижная точка (х)=х.
Теорема Бера. Полное метрическое пр-во Х не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных мн-в.
Теорема о пополнении (КГТ 12).
Пополнением метрического пр-ва Х называется метрическое пр-во У, такое, что выполнены следующие усл-я:
Y полно. Х лежит в Y. Х плотно в Y, т.е. каждая точка из Y является предельной для Х.
Теорема. Каждое метрическое пр-во Х допускает пополнение Y. Любые два пополнения пр-ва Х изометричны, причем изометрия, связывающая их, оставляет на месте точки Х.
Сепарабельность, компактность, критерий Хаусдорфа.
Сепарабельным называется такое топологическое пр-во Х, что в нем существует счетное всюду плотное мн-во Е, то есть для любого элемента из Х и для любой его окрестности найдется элемент из Е, принадлежащий этой окрестности.
Компактным подмножеством топологического пр-ва Х называется такое его подмножество А, что из любого покрытия мн-ва А системой открытых мн-в можно выделить конечное подпокрытие.
Предкомпактом называется множество, замыкание к-го компакт.
-сеть для мн-ва В является такое мн-во А, что для любого элемента из В найдется элемент из А, отстоящий от него не далее, чем на .
Критерий Хаусдорфа. Пусть Х –полное метрическое пр-во и А подмножество в Х. Мн-во А предкомпактно титт, когда для каждого >0 мн-во А обладает конечной -сетью.
Сл-е. В конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.
Непрерывные функции на метрических компактах. Эквивалентность норм в Rn.
Теорема. Пусть Х –компактное метрическое пр-во и - непрерывная на нем числовая ф-я. Тогда ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней граней.
Эквивалентными в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы |||| и |||| , что существуют положительные числа a и b для которых справедливо нер-во a||x||||x||b||x|| при всех x из X.
Теорема. В конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.
Теорема Асколи-Арцела (КГ 75).
Теорема Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на метрическом пр-ве Х с нормой =max(x). Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следующим условиям:
Мн-во А равномерно ограниченно т.е. для любой функции существует единое для всех число С, такое что модуль не превосходит это число: С (х)С.
Мн-во А равностепенно непрерывно т.е. для любой функции и для любых двух точек х и у найдутся такие числа и , что как только расстояние между точками меньше, чем разность аргументов функции меньше : >0 >0, справедливо (х)-(у)< , если (х,у)< .
Критерий предкомпактности единичного шара (КГТ 74).
Теорема. Пусть Х –лин-ое нормированное бесконечномерное пр-во, тогда единичный шар B={x: ||x||<1}не является предкомпактным мн-вом.
Евклидовы пр-ва. Неравенство Коши-Буняковского.
Евклидовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:
Определена операция ( , ): ХХС.
(х,х)0. (х,х)=0 х=0.
.
(х+у,z)= (х,z)+(y,z).
Утв. Норму в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом: .
Утв. Метрику в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом:(х,у)=||x-y||.
Теорема. Для любых двух элементов х и у из Х справедливо нер-во Коши-Буняковского:
|(x,y)|||x||||y||.
Предгильбертовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:
Определена операция ( , ): ХХС.
(х,х)0.
.
(х+у,z)= (х,z)+(y,z).
Гильбертовым пространством называется полное бесконечномерное Евклидово пр-во.
Утв. Определение Гильбертова пр-ва эквивалентно предгильбертовости пр-ва с добавлением условия (х,х)>0 при x отличных от нуля.
Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.
Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.
Опр. В Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как .
Ортогональной в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов {x}, что при различных и (х,х)=0.
Ортогональным базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее лин-ая оболочка совпадает с Х.
Ортонормированной системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов {x}, что при различных и (х,х)=0 и для всех векторов x ||x ||=1 .
Ортогонализацией л.н.з. системы векторов {y}называется процесс, ставящих ей в соотв. Новую системы векторов {x},являющуюся ортонормированной, такую, что лин-ые оболочки обоих систем совпадают.
Неравенство Бесселя, Теорема Рисса-Фишера.
Коэффициентами Фурье элемента из евклидова пр-ва X по о.н.с. {k} называется последовательность чисел ck=(,k).
Рядом Фурье по о.н.с. {k} называется ряд ckk.
Неравенство Бесселя. Для любого элемента из евклидова пр-ва X и о.н.с. {k} справедливо нер-во: .
Замкнутой называется такая о.н.с. {k}, что для любого из евклидова пр-ва X справедливо равенство Парсеваля: .
Теорема Рисса-Фишера. Пусть {k} о.н.с. в полном евклидова пр-ва X и пусть числа ck таковы, что сх-ся. Тогда существует такой элемент из X, что ck=(,k) и .
Базисы, равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пр-в.
Теорема. Любые два сепарабельных Гильбертовых пр-ва изоморфны между собой.
Лин-ые операторы в нормированных пр-вах. Непрерывность и ограниченность. Полнота пр-в Т(l1,l2).
Лин. оператором (отображением) А из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y над полем К называется отображение для которого выполнена аксиомы лин-ости и уравновешенности: (А)х=(Ах), А(х+у)= А(х)+ А(у).
Норма оператора. Пусть Х, Y –нормированные пр-ва. Тогда норму оператора А можно задать так: .
Задача. Следующие нормы эквивалентны:
; ; ; ||A||=inf C: х ||Ax||C||x||.
Непрерывным называется такой лин-ый оператор А, что для любой последовательности xn сходящейся к х последовательность А(xn) сходится к А(х).
Ограниченным называется такой лин-ый оператор из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y, что он переводит ограниченное мн-во в ограниченное.
Задача. Оператор непрерывен титт, когда он ограничен.
Задача. Оператор непрерывен титт, когда он непрерывен в одной точке.
Лемма Цорна –Куратовского. Существование разрывных лин-ых функций на бесконечномерном нормированном пр-ве. Теорема Хана-Банаха в действительном случае.
Лин. функционалом определенном на лин-ом пр-ве X называется числовая функция.
Выпуклым фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x,y из X и 10 выполнено соотношение: p(x+(1-)y) p(x)+(1-)p(y).
Положительно-однородным фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x из X и >0 p(x)= p(x).
Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.
Продолжением лин-ого фун-ла , определенного на подпространстве X действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л , определенный на X, что(x)=(x) для всех x из X.
Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л , что (x)p(x) для всех x из X.
Теорема Хана-Банаха. Пусть p –однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X –лин-ое подпр-во X. Пусть лин-ый фун-л на X, подчиненные на X p(x). Тогда может быть продолжен до лин-ого фун-ла на X, подчиненного p(x) на всем X.
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия.
Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех комплексных чисел справедливы соотношения: p(x+y)p(x)+p(y), p(x)=| |p(x).
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p –однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X –лин-ое подпр-во X. Пусть лин-ый фун-л на X, такой, что | (x)|p(x) для x из X. Тогда Существует лин-ый фун-л , являющийся продолжением , такой, что | (x)|p(x) для x из X.
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (прямая теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (обратная теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве.
Непрерывные лин-ые фун-лы на С[а,в] (прямая теорема).
Сопряженные операторы.
Сопряженным пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A.
Сопряженным оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y называется такой лин. оператор A*, который отображает пр-во Y* в X*.
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Существование непрерывных функций с расходящимися рядами Фурье.
Слабая сходимость. * слабая компактность единичного шара в пр-ве, сопряженном к сепарабельному.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mmonline.ru/