Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
8 Напряженность электростати-
ческого поля в данной точке есть фи-
зическая величина, определяемая си-
лой, действующей на пробный единич-
ный положительный заряд, помещен-
ный в эту точку поля:
потенциал — физи-
ческая величина, определяемая рабо-
той по перемещению единичного поло-
жительного заряда при удалении его из
данной точки поля на бесконечность.
Эта работа численно равна работе, со-
вершаемой внешними силами (против
сил электростатического поля) по пе-
ремещению единичного положитель-
ного заряда из бесконечности в данную
точку поля.
Будем искать, каким образом связаны напряженность электростатического поля, которая является его силовой характеристикой, и потенциал, который есть его энергетическая характеристика поля.
Работа по перемещению единичного точечного положительного электрического заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены достаточно близко друг к другу и x2—x1=dx, равна Exdx. Та же работа равна φ1—φ2=dφ. Приравняв обе формулы, запишем
(1)
где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование осуществляется только по х. Повторив эти рассуждения для осей у и z, найдем вектор Е:
где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z.
Из определения градиента следует, что
или (2) рис.
т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус говорит о том, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону уменьшения потенциала.
Для графического представления распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуютсяэквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одинаковое значение.
Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно формуле потенциала поля точечного заряда, φ=(1/4πε0)Q/r .Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы с цетром в точечном заряде. Заметим также, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Значит, линии напряженности в случае точечного зарядаперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Линии напряженности всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. В самом деле, все точки эквипотенциальной поверхности обладают одинаковым потенциалом, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, которые действуют на заряд, всегда направлены по перпендикурярам к эквипотенциальным поверхностям. Значит, вектор Е всегда перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е перпендикулярны этим повер¬хностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесконечное множество. Но обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были равны друг другу. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где гуще расположены эти поверхности, напряженность поля больше.
Значит, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно нарисовать эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному нам расположению эквипотенциальных поверхностей можно найти в каждой точке поля направление и модуль напряженности поля. На рис. 1 в качестве примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного электрического заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, который имеет на одном конце выступ, а на другом — впадину (б).
9
Электрический диполь — система двух равных по
модулю разноименных точечных заря-
дов (+Q, — Q), расстояние I между ко-
торыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.
Вектор, направленный по оси диполя
(прямой, проходящей через оба заряда)
от отрицательного заряда к положи-
тельному и равный расстоянию между
ними, называется плечом диполя I.
Вектор
совпадающий по направлению с плечом
диполя и равный произведению заряда
\Q\ на плечо Г, называется электриче- рис. 124
ским моментом диполя или диполь-
ным моментом рис.124
Диполь во внешнем электрическом поле
Найдем момент сил, действующих на диполь в однородном электрическом поле. Пусть положения положительного и отрицательного зарядов относительно центра диполя характеризуются векторами r+ и r- , соответственно. Тогда, в соответствии с определением момента сил, имеем Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электpический ток лекции и конспекты по физике
|
Рис. 3.4 |
Так как по опретТак как по опред, то окончательно получим |
Момент сил, очевидно, равен нулю, когда векторы p и E коллинеарны, однако устойчивым положением является только такое положение, когда они еще и совпадают по направлению. В однородном поле, очевидно, F+ + F_= 0. Пример. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой n0=10 с1, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой п=6 с1. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N==50 оборотов.
Если диполь находится в неоднородном внешнем электрическом поле, то равнодействующая сил, действующих на положительный и отрицательный заряды диполя оказывается не равной нулю:
|
(3.10) |
где E+ и E_ - напряженность поля в точках расположения положительного и отрицательного зарядов, соответственно, а разность E+ - E_ есть приращение вектора E на отрезке, равном длине диполя, взятом в направлении его оси. В выражение (3.10) входит так называемая производная вектора по направлению, которая в общем случае определяется довольно сложно. Рассмотрим простейший случай, когда неоднородное поле обладает симметрией относительно оси x. Пусть ось диполя также направлена вдоль оси x. Тогда сила будет иметь составляющую только вдоль оси x, равную
Если, например, поле убывает в направлении оси диполя, то производная в последнем выражении будет отрицательной, и диполь будет втягиваться в область более сильного поля.
Находясь во внешнем поле, диполь обладает некоторой энергией помимо энергии взаимодействия зарядов его составляющих.
|
Рис. 3.5 |
Пусть диполь находится в однородном электрическом поле. Направим ось x вдоль вектора E. Поскольку то потенциальная энергия диполя будет равна |
- угол между осью диполя и направлением поля.где - угол между осью диполя и направлением поля.
Основные представления об электричестве. Ток и напряжение - параметры математических моделей электроприборов. Энергия и мощность - почувствуйте разницу между физиками и электротехниками. 3 великих элемента - резистор, индуктивность и конденсатор, их линейность и нелинейность. Закон Ома. Источники электрической энергии и их возможности. Идеальные модели источников. Составляем принципиальные схемы электроприборов и их математические модели.
10
Поляризацией диэлектрика называ-
ется процесс ориентации диполей или
появления под воздействием внешнего
электрического поля ориентированных
по полю диполей.
Соответственно трем группам ди-
электриков различают три вида поля-
ризации:
электронная, или деформацион-
ная, поляризация диэлектрика с непо-
лярными молекулами, заключающаяся
в возникновении у атомов индуциро-
ванного диполыюго момента за счет де-
формации электронных орбит;
ориентационная, или дипольная,
поляризация диэлектрика с полярны-
ми молекулами, заключающаяся в ори-
ентации имеющихся дипольных момен-
тов молекул по полю. Естественно, что
тепловое движение препятствует пол-
ной ориентации молекул, но в резуль-
тате совместного действия обоих факто-
ров (электрическое поле и тепловое дви-
жение) возникает преимущественная
ориентация дипольных моментов моле-
кул по полю. Эта ориентация тем силь-
нее, чем больше напряженность элект-
рического поля и ниже температура;
ионная поляризация диэлектриков
с ионными кристаллическими решетка-
ми, заключающаяся в смещении подре-
шетки положительных ионов вдоль
поля, а отрицательных — против поля,
приводящем к возникновению диполь-
ных моментов.
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ - величина, характеризующая способность вещества поляризоваться, т. е. изменять свою поляризацию под действием электрич. поля E: . Для анизотропной среды - тензор. Д. в. связана с диэлектрич. проницаемостью соотношением:. Поэтому Д. в. обладает теми же свойствами (зависимость от разл. параметров среды и внеш. условий), что и диэлектрическая проницаемость
11
Сегнетоэлектрики — диэлектрики,
обладающие в определенном интерва-
ле температур спонтанной {самопроиз-
вольной) поляризованностью, т. е. поля-
ризованностыо в отсутствие внешнего
электрического поля. К сегнетоэлект-
рикам относятся, например, детально
изученные И.В.Курчатовым (1903 —
1960) и П. П. Кобеко (1897-1954) сег-
нетова соль NaKC4H4O6 • 4Н2О (от нее
и получили свое название сегнетоэлек-
трики) и титанат бария ВаТЮ3.
При отсутствии внешнего электри-
ческого поля сегнетоэлектрик представ-
ляет собой как бы мозаику из доменов —
областей с различными направлениями
поляризованное™. Это схематически
показано на примере титаната бария
(рис. 141), где стрелки и знаки ©^ука-
зывают направление вектора Р. Так как
в смежных доменах эти направления
различны, то в целом дипольный мо-
мент диэлектрика равен нулю. При вне-
сении сегнетоэлектрика во внешнее
поле происходит переориентация дипольных моментов доменов по полю, а
возникшее при этом суммарное элект-
рическое поле доменов будет поддер-
живать их некоторую ориентацию и
после прекращения действия внешне-
го поля. Поэтому сегнетоэлектрики
имеют аномально большие значения
диэлектрической проницаемости (для
сегнетовой соли, например, е т а х « 104).
Сегнетоэлектрические свойства
сильно зависят от температуры. Для
каждого сегнетоэлектрика имеется оп-
ределенная температура, выше которой
его необычные свойства исчезают и он
становится обычным диэлектриком.
Эта температура называется точкой
Кюри [в честь французского физика
Пьера Кюри (1859-1906)]. Как прави-
ло, сегнетоэлектрики имеют только
одну точку Кюри; исключение составля-
ют лишь сегнетова соль (—18 и +24 °С)
и изоморфные с нею соединения. В сег-
нетоэлектриках вблизи точки Кюри
наблюдается также резкое возрастание
теплоемкости вещества. Превращение
сегнетоэлектриков в обычный диэлек-
трик, происходящее в точке Кюри,
сопровождается фазовым переходом
II рода
Диэлектрическая проницаемость е
(а следовательно, и диэлектрическая
восприимчивость эе) сегнетоэлектриков
зависит от напряженности Ё поля в ве-
ществе, а для других диэлектриков эти
величины являются характеристиками
вещества.
Для сегнетоэлектриков формула
не соблюдается; для них связь меж-
ду векторами поляризованное™ (Р) и
напряженности (Ё) нелинейная и зави-
сит от значений Е в предшествующие
моменты времени. В сегнетоэлектриках
наблюдается явление диэлектриче-
ского гистерезиса («запаздывания»).
12
Проводники
в электростатическом поле
Если поместить проводник во внеш-
нее электростатическое поле или его
зарядить, то на заряды проводника бу-
дет действовать электростатическое
поле, в результате чего они начнут пе-
ремещаться. Перемещение зарядов
(ток) продолжается до тех пор, пока не
установится равновесное распределе-
ние зарядов, при котором электроста-
тическое поле внутри проводника обра-
щается в нуль. Это происходит в тече-
ние очень короткого времени. В самом
деле, если бы поле не было равно нулю,
то в проводнике возникло бы упорядо-
ченное движение зарядов без затраты
энергии от внешнего источника, что
противоречит закону сохранения энер-
гии. Итак, напряженность поля во всех
точках внутри проводника равна нулю:
Отсутствие поля внутри проводни-
ка означает, согласно (85.2), что потен-
циал во всех точках внутри проводни-
ка постоянен (ф = const), т.е. поверх-
ность проводника в электростатиче-
ском поле является эквипотенциальной
(см. § 85). Отсюда же следует, что век-
тор напряженности поля на внешней
поверхности проводника направлен по
нормали к каждой точке его поверхно-
сти. Если бы это было не так, то под дей-
ствием касательной составляющей Ё
заряды начали бы по поверхности про-
водника перемещаться, что, в свою оче-
редь, противоречило бы равновесному
распределению зарядов.
Если проводнику сообщить некото-
рый заряд Q, то некомпенсированные
заряды располагаются только па поверх-
ности проводника. Это следует непос-
редственно из теоремы Гаусса (89.3),
согласно которой заряд Q, находящий-
ся внутри проводника в некотором
объеме, ограниченном произвольной
замкнутой поверхностью,---------------------------------
так как во всех точках внутри поверх-
ности D = 0.
Найдем взаимосвязь между напря-
женностью Е поля вблизи поверхнос- Рис. 143
ти заряженного проводника и поверх-
ностной плотностью а зарядов на его
поверхности. Для этого применим тео-
рему Гаусса к бесконечно малому ци-
линдру с основаниями AS, пересекаю-щему границу «проводник —диэлект-
рик». Ось цилиндра ориентирована
вдоль вектора Ё (рис. 143). Поток век-
тора электрического смещения через
внутреннюю часть цилиндрической
поверхности равен нулю, так как внут-
ри проводника Ёх (а следовательно, и Д )
равен нулю, поэтому поток вектора
D сквозь замкнутую цилиндрическую
поверхность определяется только пото-
ком сквозь наружное основание цилинд-
ра. Согласно теореме Гаусса (89.3), этот
поток (DAS) равен сумме зарядов
(Q~GAS), охватываемых поверхнос-
тью: DAS = oAS, т.е. ----------------------------------
где е — диэлектрическая проницаемость
среды, окружающей проводник.
Таким образом, напряженность
электростатического поля у поверхно-
сти проводника определяется поверх-
ностной плотностью зарядов. Можно
показать, что соотношение (92.2) зада-
ет напряженность электростатического
поля вблизи поверхности проводника
любой формы.
Если во внешнее электростатиче-
ское поле внести нейтральный провод-
ник, то свободные заряды (электроны,
ионы) будут перемещаться: положи-
тельные — по полю, отрицательные —
против поля (рис. 144, а). На одном кон-
це проводника будет скапливаться из-
быток положительного заряда, на дру-
гом — избыток отрицательного. Эти за-
ряды называются индуцированными.
Процесс будет происходить до тех пор,
пока напряженность поля внутри про-
водника не станет равной нулю, а ли-
нии напряженности вне проводника —
перпендикулярными его поверхности
(рис. 144, б). Таким образом, нейтраль-
ный проводник, внесенный в электро-
статическое поле, разрывает часть ли-
ний напряженности; они заканчивают-
ся на отрицательных индуцированных
зарядах и вновь начинаются на положи-
тельных. Индуцированные заряды рас-
пределяются на внешней поверхности
проводника. Явление перераспределе-
ния поверхностных зарядов на провод-
нике во внешнем электростатическом
поле называется электростатиче-
ской индукцией.
Из рис. 144, 6 следует, что индуци-
рованные заряды появляются на про-
воднике вследствие смещения их под
действием поля, т. е. ст является поверх-
ностной плотностью смещенных заря-
дов. По (92.1), электрическое смеще-
ние D вблизи проводника численно
равно поверхностной плотности сме- рис 144
щенных зарядов. Поэтому вектор D
получил название вектора электриче-
ского смещения Свойство зарядов располагаться на
внешней поверхности проводника ис-
пользуется для устройства электро-
статических генераторов, предназ-
наченных для накопления больших за-
рядов и достижения разности потенци-
алов в несколько миллионов вольт.
Электростатический генератор, изобре-
тенный американским физиком Р. Ван-
дер-Граафом (1901 — 1967), состоит из Рис. 145
шарообразного полого проводника 1
(рис. 145), укрепленного на изолято-
рах 2. Движущаяся замкнутая лента 3
из прорезиненной ткани заряжается от
источника напряжения с помощью си-
стемы остриев 4, соединенных с одним
из полюсов источника, второй полюс
которого заземлен. Заземленная плас-
тина 5 усиливает стекание зарядов с ос-
триев на ленту. Другая система остри-
ев б снимает заряды с ленты и передает
их полому шару, и они переходят на его.
внешнюю поверхность. Таким образом,
сфере передается постепенно большой
заряд и удается достичь разности потен-
циалов в несколько миллионов вольт.
Электростатические генераторы при-
меняются в высоковольтных ускорите-
лях заряженных частиц, а также в сла-
боточной высоковольтной технике.
13
Электроемкость
уединенного проводника
Рассмотрим уединенный провод-
ник, т. е. проводник, который удален от
других проводников, тел и зарядов. Его
потенциал, согласно (84.5), пропорци-
онален заряду проводника.
Из опыта следует, что разные про-
водники, будучи одинаково заряжен-
ными, имеют различные потенциалы.
Поэтому для уединенного проводника
можно записать---------------------------
Величину---------------,
называют электроемкостью (или
просто емкостью) уединенного про-
водника. Емкость уединенного провод-
ника определяется зарядом, сообщение
которого проводнику изменяет его по-
тенциал на единицу.
Емкость проводника зависит от его
размеров и формы, но не зависит от
материала, агрегатного состояния, фор-
мы и размеров полостей внутри провод-
ника. Это связано с тем, что избыточ-
ные заряды распределяются на внеш-
ней поверхности проводника. Емкость
также не зависит от заряда проводника
и его потенциала.
Единица электроемкости — фарад
(Ф): 1 Ф — емкость такого уединенно-го проводника, потенциал которого из-
меняется на 1 В при сообщении ему за-
ряда 1 Кл.
Согласно (84.5), потенциал уединен-
ного шара радиусом R, находящегося в
однородной среде с диэлектрической
проницаемостью е, равен-------------------------------------------
Используя формулу (93.1), полу-
чим, что емкость шара
С=4ПЕнулевоеЕR (93.2)
Отсюда следует, что емкостью 1 Ф
обладал бы уединенный шар, находя-
щийся в вакууме и имеющий радиус
R — C/4ПЕнулевое 9 • 10 в 6 степени км, что примерно в
1400 раз больше радиуса Земли (элект-
роемкость Земли С« 0,7 мФ). Следо-
вательно, фарад — очень большая вели-
чина, поэтому на практике используют-
ся дольные единицы — миллифарад
(мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад
(нФ), пикофарад (пФ). Из формулы
(93.2) вытекает также, что единица
электрической постоянной £() — фарад
на метр (Ф/м) [см. (78.3)].
Конденсаторы
Чтобы проводник обладал большой
электроемкостью, он должен иметь
очень большие размеры (см. § 93). На
практике, однако, необходимы устрой-
ства, обладающие способностью при
малых размерах и небольших относи-
тельно окружающих тел потенциалах
накапливать значительные по величи-
не заряды, иными словами, обладать
большой емкостью. Эти устройства по-
лучили название конденсаторов.
Если к заряженному проводнику
приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводни-
ке) или связанные (на диэлектрике)
заряды, причем ближайшими к наводя-
щему заряду Q будут заряды противо-
положного знака. Эти заряды, есте-
ственно, ослабляют поле, создаваемое
зарядом Q, т.е. понижают потенциал
проводника, что приводит [см. (93.1)]
к повышению его электроемкости.
Конденсатор состоит на двух про-
водников (обкладок), разделенных ди-
электриком. На емкость конденсатора
не должны оказывать влияния окружа-
ющие тела, поэтому проводникам при-
дают такую форму, чтобы поле, созда-
ваемое накапливаемыми зарядами,
было сосредоточено в узком зазоре
между обкладками конденсатора. Это-
му условию удовлетворяют (см. § 82):
1) две плоские пластины; 2) два коак-
сиальных цилиндра; 3) две концентри-
ческие сферы. Поэтому в зависимости
от формы обкладок конденсаторы де-
лят на плоские, цилиндрические и сфе-
рические.
Так как поле сосредоточено внутри
конденсатора, то линии напряженности
начинаются на одной обкладке и кон-
чаются на другой, поэтому свободные
заряды, возникающие на разных об-
кладках, являются равными по модулю
разноименными зарядами. Под емкос-
тью конденсатора понимается физи-
ческая величина, равная отношению
заряда Q, накопленного в конденсато-
ре, к разности потенциалов (^ — ф2
между его обкладками: ----------------------------------
Рассчитаем емкость плоского кон-
денсатора, состоящего из двух парал-
лельных металлических пластин пло-
щадью S каждая, расположенных на
расстоянии d друг от друга и имеющих
заряды + Q и — Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их
линейными размерами, то краевыми
эффектами можно пренебречь и поле
между обкладками считать однород-
ным. Его можно рассчитать, используя
формулы (86.1) и (94.1). При наличии
диэлектрика между обкладками раз-
ность потенциалов между ними, соглас-
но (86.1),------------------------------------------------------------
где е — диэлектрическая проницае-
мость.
Тогда из формулы (94.1), заменяя
Q = aS, с учетом (94.2), получим выра-
жение для емкости плоского конденса-
тора:---------------------------------------------------------
Для определения емкости цилиндриче-
ского конденсатора, состоящего из двух по-
лых коаксиальных цилиндров радиусами гх
и r2 (r2 > ri)> вставленных один в другой,
опять пренебрегая краевыми эффектами,
считаем иоле радиально-симметричным и
сосредоточенным между цилиндрическими
обкладками.
Разность потенциалов между обкладка-
ми вычислим по формуле (86.3) для ноля
равномерно заряженного бесконечного ци-
линдра с линейной плотностью т = (I —
длина обкладок). При наличии диэлектри-
ка между обкладками разность потенциалов------------
Подставив (94.4) в (94.1), получим вы-
ражение для емкости цилиндрического кон-
денсатора:----------------------------------------------------- -------------------------------------------------
Для определения емкости сферического
конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сфериче-
ским слоем диэлектрика, используем форму-
лу (86.2) для разности потенциалов между
двумя точками, лежащими на расстояниях гх
и г2 (г2 > гх) от центра заряженной сферичес-
кой поверхности. При наличии диэлектрика
-между обкладками разность потенциалов----------------94.6
Подставив (94.6) в (94.1), получим--------------------------------------------------------------------------------------------
ческой обкладки, то получаем формулу
(94.3). Таким образом, при малой величине
зазора по сравнению с радиусом сферы вы-
ражения для емкости сферического и плос-
кого конденсаторов совпадают. Этот вывод
справедлив и для цилиндрического конден-
сатора: при малом зазоре между цилиндра-
ми по сравнению с их радиусами в формуле
(94.5) In можно разложить в ряд, ограни-
чиваясь только членом первого порядка.
В результате опять приходим к формуле
(94.3).
Из формул (94.3), (94.5) и (94.7)
вытекает, что емкость конденсаторов
любой формы пропорциональна диэ-
лектрической проницаемости диэлект-
рика, заполняющего пространство меж-
ду обкладками. Поэтому применение в
качестве прослойки сегнетоэлектриков
значительно увеличивает емкость кон-
денсаторов.
Конденсаторы характеризуются
пробивным напряжением -— разно-
стью потенциалов между обкладками
конденсатора, при которой происходит рис 146
пробой — электрический разряд через
слой диэлектрика в конденсаторе. Про-
бивное напряжение зависит от формы
обкладок, свойств диэлектрика и его
толщины.
Для увеличения емкости и варьиро-
вания ее возможных значений конден-
саторы соединяют в батареи, при этом
используется их параллельное и после-
довательное соединения.
1. Параллельное соединение кон-
денсаторов (рис. 146). У параллельно
соединенных конденсаторов разность
потенциалов на обкладках конденсато-
ров одинакова и равна ^рА — ф#. Если ем-
кости отдельных конденсаторов Сь С2,
..., Сп, то, согласно (94.1), их заряды
Равны-----------------------------------------------------------------------
а заряд батареи конденсаторов--------------------------------------------------------------------------------------
Полная емкость батареи------------
т. е. при параллельном соединении кон-
денсаторов она равна сумме емкостей
отдельных конденсаторов.
2. Последовательное соединение
конденсаторов (рис. 147). У последова-
тельно соединенных конденсаторов заря-
ды всех обкладок равны по модулю, а раз-
ность потенциалов на зажимах батареи----------------
где для любого из рассматриваемых кон-
денсаторов С другой стороны
рис 147
Откуда---------------------------------------------------------------
т. е. при последовательном соединении
конденсаторов суммируются величи-
ны, обратные емкостям. Таким образом,
при последовательном соединении кон-
денсаторов результирующая емкость С
всегда меньше наименьшей емкости,
используемой в батарее.
Соединение конденсаторов
Помимо показанного на рис. 60 и 61, а также на рис. 62, а параллельного соединения конденсаторов, при котором соединены между собой все положительные и все отрицательные обкладки, иногда соединяют конденсаторы последовательно, т. е. так, чтобы отрицательная обкладка первого конденсатора была соединена с положительной обкладкой второго, отрицательная обкладка второго — с положительной обкладкой третьего и т. д. (рис. 62, б).
|
В случае параллельного соединения все конденсаторы заряжаются до одной и той же разности потенциалов U, но заряды на них могут быть различными. Если емкости их равны то соответствующие заряды будут
|
|
Общий заряд на всех конденсаторах
|
|
и, следовательно, емкость всей системы конденсаторов
|
Итак, емкость группы параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.
В случае последовательно соединенных конденсаторов (рис. 62, б) одинаковы заряды на всех конденсаторах. Действительно, если мы поместим, например, заряд на левую обкладку первого конденсатора, то вследствие индукции на правой его обкладке возникнет заряд , а на левой обкладке второго конденсатора — заряд . Наличие этого заряда на левой обкладке второго конденсатора опять-таки вследствие индукции создает на правой его обкладке заряд , а на левой обкладке третьего конденсатора — заряд и т. д. Таким образом, заряд каждого из последовательно соединенных конденсаторов равен . Напряжение же на каждом из этих конденсаторов определяется емкостью соответствующего конденсатора:
|
где — емкость одного конденсатора. Суммарное напряжение между крайними (свободными) обкладками всей группы конденсаторов
|
|
Следовательно, емкость всей системы конденсаторов
|
|
определяется выражением
|
Из этой формулы видно, что емкость группы последовательно соединенных конденсаторов всегда меньше емкости каждого из этих конденсаторов в отдельности.
14
Энергия заряженного конденса-
тора. Как всякий заряженный провод-
ник, конденсатор обладает энергией, 95
которая в соответствии с формулой
(95.3) равна---------------------------------------------------
где Q — заряд конденсатора; С — его
емкость; Аф — разность потенциалов
между обкладками конденсатора.
Используя выражение (95.4), мож-
но найти механическую (пондеромо-
торную) силу, с которой пластины
конденсатора притягивают друг друга.
Предположим, что первоначальное
расстояние х между пластинами уве-
личиваем на 6х. При этом приложен-
ная к пластине сила совершает работу
6А — Fdx3a счет уменьшения потенци-
альной энергия системы:Fdx=-dw
откуда------------------------------------------------------------ 95.5
Подставив в (95.4) выражение
(94.3), получим---------------------------------------------------------------------------------------------------95.6
Производя дифференцирование при
конкретном значении энергии [см. (95.5)
и (95.6)], найдем искомую силу:---------------------
где знак «—» указывает, что сила F яв-
ляется силой притяжения.
4. Энергия электростатического
поля. Преобразуем формулу (95.4), вы-
ражающую энергию плоского конден-
сатора посредством зарядов и потенци-
алов, воспользовавшись выражением
для емкости плоского конденсатора C=EнулевоеЕS/d
и разности потенциалов
между его обкладками-------------------------------------------
95.7
где V = Sd — объем конденсатора.
Формула (95.7) показывает, что
энергия конденсатора выражается через
величину, характеризующую электро-
статическое поле, — напряженность Е.
Объемная плотность энергии элек-
тростатического поля (энергия едини-
цы объема)---------------------------------------------------95.8
Выражение (95.8) справедливо толь-
ко для изотропного диэлектрика, для
которого выполняется соотношение
(88.2):
Формулы (95.4) и (95.7) соответ-
ственно связывают энергию конденса-
тора с зарядом на его обкладках и с на-
пряженностью поля. Возникает, есте-
ственно, вопрос о локализации энергии
и что является ее носителем — заряды
или поле? Ответ на этот вопрос мол-сет
дать только опыт. Электростатика изу-
чает постоянные во времени поля непод-
вижных зарядов, т. е. в ней поля и обус-
ловившие их заряды неотделимы друг от
друга, поэтому электростатика ответить
на поставленные вопросы не может.
Энергия системы неподвижных
точечных зарядов. Электростатиче-
ские силы взаимодействия консерватив-
ны (см. § 83); следовательно, система за-
рядов обладает потенциальной энерги-
ей. Найдем потенциальную энергию си-
стемы двух неподвижных точечных за-
рядов Qx и Q2, находящихся на рассто-
янии г друг от друга. Каждый из этих
зарядов в поле другого обладает потен-
циальной энергией [см. (84.2) и (84.5)]:------------
где ф12 и ф21 ~ соответственно потенци-
алы, создаваемые зарядом Q2 в точке на-
хождения заряда Qx и зарядом Qx в точ-
ке нахождения заряда Q2.
Согласно (84.5),
Добавляя к системе из двух зарядов
последовательно заряды Q3, QA,..., мож-
но убедиться в том, что в случае п не-
подвижных зарядов энергия взаимо-
действия системы точечных зарядов
равна------------------------------------------------------------------95.1
где ф, — потенциал, создаваемый в той
точке, где находится заряд Qt, всеми за-
рядами, кроме г-го.
Энергия заряженного уединен-
ного проводника. Пусть имеется уеди-
ненный проводник, заряд, емкость и по-
тенциал которого соответственно рав-
ны Q, С, ф. Увеличим заряд данного
проводника на dQ. Для этого необходи-
мо перенести заряд dQ из бесконечнос-
ти па уединенный проводник, затратив
на это работу
dA-фdQ=Cфdф
Чтобы зарядить тело от нулевого потен-
циала до ф, необходимо совершить ра-
боту-------------------------------------------------------------------------95.2
Энергия заряженного проводника
равна той работе, которую необходимо
совершить, чтобы зарядить этот про-
водник: -------------------------------------------------------
Формулу (95.3) можно получить
исходя и из того, что потенциал провод-
ника во всех его точках одинаков, так
как поверхность проводника является
эквипотенциальной. Полагая потенци-
ал проводника равным ф, из формулы
(95.1) найдем------------------------------------------------
где заряд проводника.
15
Электрическим током называется
любое упорядоченное (направленное)
движение электрических зарядов.
В проводнике под действием прило-
женного электрического поля Ё свобод-
ные электрические заряды перемеща-
ются: положительные — по полю, отри-
цательные — против поля (рис. 148, а),
т.е. в проводнике возникает электри-
ческий ток, называемый током прово-
димости.
Если же упорядоченное движение
электрических зарядов осуществляется
перемещением в пространстве заря-
женного макроскопического тела (рис.
148, б), то возникает так называемый
конвекционный ток.
Для возникновения и существова-
ния электрического тока необходимо, с
одной стороны, наличие свободных но-
сителей тока — заряженных частиц, способных перемещаться упорядочен-
ие, а с другой — наличие электрическо-
го поля, энергия которого, каким-то об-
разом восполняясь, расходовалась бы
на их упорядоченное движение. За на-
правление тока условно принимают на-
правление движения положительных
зарядов.
Количественной мерой электричес-
кого тока служит сила тока I — ска-
лярная физическая величина, опреде-
ляемая электрическим зарядом, прохо-
дящим через поперечное сечение про-
водника в единицу времени: ---------------------------------
Если сила тока и его направление не
изменяются со временем, то такой ток
называется постоянным. Для постоян-
ного тока ---------------------------------------------------------------------------------------------
где Q — электрический заряд, проходя-
щий за время t через поперечное сече-
ние проводника. Единица силы тока —
ампер (А) [см. Введение].
Физическая величина, определяе-
мая силой тока, проходящего через еди-
ницу площади поперечного сечения
проводника, перпендикулярного на-
правлению тока, называется плотнос-
тью тока: -----------------------------------------------------
Выразим силу и плотность тока че-
рез скорость (г;) упорядоченного движе-
ния зарядов в проводнике. Если кон-
центрация носителей тока равна п и
каждый носитель имеет элементарный
заряд е (что не обязательно для ионов),
то за время dt через поперечное сече-
ние S проводника переносится заряд
dQ = ne(v)Sdt. Сила тока--------------------------------------
а плотность тока j — ne(v).
Плотность тока — вектор; направле-
ние вектора j совпадает с направлени-
ем упорядоченного движения положи- 96.1
тельных зарядов: -------------------------------------
Единица плотности тока — ампер
на метр в квадрате (А/м2).
Сила тока сквозь произвольную по-
верхность S определяется как поток
вектора j , т.е.------------------------------------------------------------------------------------------------96.2
где dS = ndS (n — единичный вектор
нормали к площадке d5, составляющей
с вектором j угол а).
16
Если в цепи на носители тока дей-
ствуют только силы электростатическо-
го поля, то происходит перемещение
носителей (они предполагаются поло-
жительными) от точек с большим по-
тенциалом к точкам с меньшим потен-
циалом. Это приводит к выравниванию
потенциалов во всех точках цепи и к
исчезновению электрического поля.
Поэтому для существования постоян-
ного тока необходимо наличие в цепи
устройства, способного создавать и под-
держивать разность потенциалов за счет работы сил неэлектростатическо-
го происхождения. Такие устройства
называются источниками тока.
Силы неэлектростатического про-
исхождения, действующие на заряды со
стороны источников тока, называются
сторонними.
Природа сторонних сил может быть
различной. Например, в гальваничес-
ких элементах они возникают за счет
энергии химических реакций между
электродами и электролитами; в гене-
раторе — за счет механической энергии
вращения ротора генератора и т. п. Роль
источника тока в электрической цепи,
образно говоря, такая же, как роль на-
соса, который необходим для перека-
чивания жидкости в гидравлической
системе. Под действием создаваемого
поля сторонних сил электрические за-
ряды движутся внутри источника тока
против сил электростатического поля,
благодаря чему на концах цепи поддер-
живается разность потенциалов и в
цепи течет постоянный электрический
ток. Сторонние силы совершают работу
по перемещению электрических заря-
дов. Физическая величина, определяе-
мая работой, совершаемой сторонними
силами при перемещении единичного
положительного заряда, называется
электродвижущей силой (ЭДС), дей- 97.1
ствующей в цепи: ---------------------------------------
Эта работа производится за счет
энергии, затрачиваемой в источнике
тока, поэтому величину % можно также
называть электродвижущей силой ис-
точника тока, включенного в цепь. Ча-
сто, вместо того чтобы сказать: «в цепи
действуют сторонние силы», говорят:
«в цепи действует ЭДС», т.е. термин
«электродвижущая сила» употребляется как характеристика сторонних сил.
ЭДС, как и потенциал, выражается в
вольтах [ср. (84.9) и (97.1)].
Сторонняя сила FCT, действующая на
заряд Qo, может быть выражена как-------------
где Ест — напряженность поля сторон-
них сил.
Работа сторонних сил по перемеще-
нию заряда Qo на замкнутом участке 97.2
цепи--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Разделив (97.2) на Qo, получим вы-
ражение для ЭДС, действующей в цепи:--------
т.е. ЭДС, действующая в замкнутой
цепи, может быть определена как цир-
куляция вектора напряженности поля
сторонних сил. ЭДС, действующая на 97.3
участке 1 — 2, равна-----------------------------------
На заряд QQ помимо сторонних сил
действуют также силы электростати-
ческого поля Fe = Q0E. Таким образом,
результирующая сила, действующая в
цепи на заряд Qo, равна ------------------------- F = FCT + Fc = Q0(ECT + Е).
Работа, совершаемая результирую-
щей силой над зарядом QQ на участке
1 — 2, равна----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Используя выражения (97.3) и
(84.8), можем записать------------
Для замкнутой цепи работа электро-
статических сил равна нулю (см. § 83),
поэтому в данном случае -----
Напряжением U на участке 1 — 2 на-
зывается физическая величина, опреде-
ляемая работой, совершаемой суммар-
ным полем электростатических (куло-
новских) и сторонних сил при переме-
щении единичного положительного за-
ряда на данном участке цепи. Таким
образом, согласно (97.4),----------------------------------
Понятие напряжения является обоб-
щением понятия разности потенциалов:
напряжение на концах участка цепи
равно разности потенциалов в том слу-
чае, если на этом участке не действует
ЭДС, т. е. сторонние силы отсутствуют.
17
Немецкий физик Г. Ом (1787 —1854)
экспериментально установил, что сила
тока I, текущего по однородному метал-
лическому проводнику (т.е. провод-
нику, в котором не действуют сторон-
ние силы), пропорциональна напряже-
нию U на концах проводника ------------------------ 98.1
где R — электрическое сопротивление
проводника.
Уравнение (98.1) выражает закон
Ома для участка цепи (не содержаще-
го источника тока): сила тока в провод-
нике прямо пропорциональна прило-
женному напряжению и обратно про-
порциональна сопротивлению провод-
ника. Формула (98.1) позволяет уста-
новить единицу сопротивления ом (Ом):
1 Ом — сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В те-
чет постоянный ток 1 А.
Величина---------------------------------------------------------------------------------------------------
называется электрической проводи-
мостью проводника. Единица проводи-
мости — сименс (См): 1 См — прово-
димость участка электрической цепи
сопротивлением 1 Ом. Сопротивление
проводников зависит от его размеров и
формы, а также от материала, из кото-
рого проводник изготовлен. Для одно-
родного линейного проводника сопро-
тивление R прямо пропорционально
его длине I и обратно пропорциональ-
но площади его поперечного сечения S:------------------------ 98.2 R=p*l/S
где р — коэффициент пропорциональ-
ности, характеризующий материал про-
водника и называемый удельным элек-
трическим сопротивлением.
Единица удельного электрического
сопротивления — ом-метр (Ом*м).
Наименьшим удельным сопротивлени-
ем обладают серебро (1,6 • 10"8 Ом • м)
и медь (1,7-10~8 Ом • м). На практике
наряду с медными применяются алю-
миниевые провода. Хотя алюминий и
имеет большее, чем медь, удельное со-
противление (2,6 • 1СГ8 Ом • м), но зато
обладает меньшей плотностью по срав-
нению с медью.
Закон Ома можно представить в
дифференциальной форме. Подставив
выражение для сопротивления (98.2) в
закон Ома (98.1), получим-------------------------------98.3
где величина, обратная удельному со-
противлению,-------------------------------------------------
называется удельной электрической
проводимостью вещества проводника.
Ее единица — сименс на метр (См/м).
Учитывая, что U/L = Е — напряжен-
ность электрического поля в проводни-
ке, I/S = j — плотность тока, формулу
(98.3) можно записать в виде-------------98.4
Так как в изотропном проводнике
носители тока в каждой точке движут-
ся в направлении вектора Ё, то направ-
ления j и Е совпадают. Поэтому фор-
мулу (98.4) можно записать в виде-----------------98.5
Выражение (98.5) — закон Ома в
дифференциальной форме, связыва-
ющий плотность тока в любой точке
внутри проводника с напряженностью
электрического поля в этой же точке.
Это соотношение справедливо и для
переменных полей.
Опыт показывает, что в первом при-
ближении изменение удельного сопро-
тивления, а значит и сопротивления с
температурой описывается линейным
законом:------------------------------------------------------
где р и р0, R и Ro — соответственно
удельные сопротивления и сопротивле-
ния проводника при t и О °С; а — тем-
пературный коэффициент сопро-
тивления, для чистых металлов (при
не очень низких температурах) близкий
к 1/273 К"1. Следовательно, температур-
ная зависимость сопротивления может
быть представлена в виде-----------------------------96.8
где Т— термодинамическая температура. Рис 149
Зависимость сопротивления от тем-
пературы (98.6) представлена на рис. 149
(кривая 1). При низких температурах
наблюдается отступление от этой зави-
симости.
Впоследствии было обнаружено, что
сопротивление многих металлов (на-
пример, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов
при очень низких температурах Тк
(0,14 — 20 К), называемых критиче-
скими, характерных для каждого веще-
ства, скачкообразно уменьшается до
нуля (кривая 2), т.е. металл становит-
ся абсолютным проводником. Впервые
это явление, названное сверхпроводи-
мостью, обнаружено в 1911 г. Г. Камер-
линг-Оннесом для ртути.
Явление сверхпроводимости объяс-
няется на основе квантовой теории.
Практическое использование сверхпро-
водящих материалов (в обмотках сверх-
проводящих магнитов, в системах па-
мяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их
низких критических температур. В на-
стоящее время обнаружены и активно
исследуются керамические материалы,
обладающие сверхпроводимостью при
температуре выше 140 К. На зависимости электрического со-
противления металлов от температуры
основано действие термометров со-
противления, которые позволяют по
градуированной взаимосвязи сопро-
тивления от температуры измерять тем-
пературу с точностью до 0,001 К. Тер-
мометры сопротивления, в которых в
качестве рабочего вещества использу-
ются полупроводники, изготовленные
по специальной технологии, называются термисторами. Они позволяют измерять температуру с точностью до
миллионных долей кельвин.