Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу
15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Опр. Последовательность {} – фундаментальная (или последовательность Коши), если для любого ε>0 существует N=N(ε) такой, что для любого m,n>N => |-<ε.
Лемма. Фундаментальная последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть ε=1, тогда существует N=N(ε) такой, что для любого m,n>N |- |≤1. ||≤1 для любого m≥N. Можно записать, что ||=|(-)+)| ≤ |-|)| + |≤1 + || (подставили |≤1).
|} |≤max{||,…,||,| +1|}. Следовательно, последовательность {} -ограничена. Теорема доказана.
До сих пор для установления сходность последовательности, необходимо было знать её предел. Критерий Коши позволяет установить сходность последовательности только по её членам.
Теорема (Критерий Коши).
Для того, чтобы последовательность {} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.(необходимость). Пусть {}a. Зафиксируем ε>0= ε/2. существует N=N(ε): для любого n>N |-a| < ε/2. Пусть n,m>N |-|=|(-a)-(-a)| ≤ |-a|+|-a|< ε/2+ ε/2= ε. Теорема доказана.
16. Числовые функции и их графики. Способы задания функции.
Опр. Пусть X⊂ R . Числовой функцией, определенной(заданной) на X называется закон, по которому числу ставиться в соответствие строго одно число y R. Пишут: y=f(x) , где x – независимая переменная, а y- зависимая переменная.
Опр. X=D(f)(или D с индексом f) - Область определения функции. Число x R – значение аргумента. Число y, соответствует x (=F()) называется значением функции в точке (частное значение функции F) f()=f(X)|X=.
Опр. Совокупность всех частных значений функции, которая она принимает, если x пробегает все D(f) называется областью(множеством) значения и обозначается E(f)=E(y).
Опр. Графиком функции f(x), где x в прямоугольной декартовой системе координат XOY называется множество всех точек M(x,f(x)), абсциссы которых принадлежат , а ординаты вычисляются по фомуле y=f(x).
Примеры графиков:
Способы задания функции:
1) аналитический - с помощью формулы.
|
x |
0 |
1 |
2 |
|
y |
3 |
2 |
1 |
Примеры: y=3-x D(y)=R=x; E(y)=R=y;
2) табличнй y=3-x
3) графический