Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2. Основы математического аппарата и общие принципы построения импульсных систем. Восстановления сигналов по дискретным выборкам.
2.2. Восстановление сигнала по дискретным выборкам
2.2.1. Причины погрешностей восстановления сигнала
В большинстве дискретных или цифровых систем управления высшие гармоники в сигнале f*(t), которые возникают вследствие операции квантования по времени, должны быть отфильтрованы до того, как сигнал будет приложен к непрерывной части системы. Большинство систем управления содержит элементы, которые спроектированы в расчете на непрерывные входные сигналы, поэтому необходимо использовать сглаживание импульсных сигналов. В противном случае аналоговые элементы систем могут подвергаться чрезмерному износу. Для сопряжения цифровых и аналоговых элементов часто используют устройство восстановления данных, или, проще говоря, фильтр. Большинство промышленных устройств выборки и хранения выпускаются как единое изделие.
Для изучения процесса восстановления данных предположим, что идеальный квантователь имеет частоту ωs, которая по крайней мере в 2 раза больше максимальной частоты, содержащейся в непрерывном входном сигнале. На рис. 2.10 показан амплитудный спектр F*(s).
Рис. 2.10. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным выборкам с использованием идеального низкочастотного фильтра
Из рисунка ясно, что для получения дубликата непрерывного сигнала квантованный по времени сигнал должен быть пропущен через идеальный низкочастотный фильтр с амплитудной характеристикой, показанной на рис. 2.11.
Рис. 2.11. Амплитудная характеристика идеального фильтра
К сожалению, идеальная характеристика фильтра физически нереализуема, так как хорошо известно, что в этом случае переходная функция должна начи наться до приложения входного сигнала. Однако даже если бы можно было реализовать идеальный фильтр, то, как упоминалось выше, точное воспроизведение непрерывного сигнала основано на предположении, что f(t) имеет ограниченный спектр. Поэтому во всех практических случаях невозможно точно восстановить непрерывный сигнал, если он квантован по времени. Самое лучшее, что можно сделать при восстановлении данных, это постараться как можно точнее аппроксимировать исходную функцию времени. Более того, как будет показано ниже, лучшая аппрокси мация исходного сигнала требует в общем случае большей временной задержки, что нежелательно с точки зрения её неблагоприятного влияния на устойчивость системы.
2.2.2. Проблемы создания идеального фильтра
Идеальный низкочастотный фильтр должен обладать амплитудной характеристикой, показанной на рис. 2.11, для которой |W( ω)| = 1 в полосе пропускания фильтра (в полосе прозрачности) и |W( ω)| = 0 в остальной области частот (в полосе непрозрачности). Кроме того, принято считать, что фазовая характеристика идеального фильтра argW(ω) равна нулю или же пропорциональна частоте argW(ω) = - αω, α0. При этих условиях сигнал f(t), спектр которого уже полосы пропускания фильтра, воспроизводится на выходе без изменения, за исключением просто задержки Т = /2.
Частотная характеристика реальных фильтров может лишь приближаться к характеристике идеального фильтра. Некоторые из этих отличий показаны на рис. 2.12. Во-первых АЧХ |W(ω)| реального физического фильтра не может скачком изменяться от 1 до 0 на частоте среза, это изменение происходит в некоторой переходной полосе, имеющей конечную величину. Во-вторых, АЧХ |W(ω)| не может быть в точности равна нулю на всех частотах полосы непрозрачности, возможно |W(ω)| = 0 лишь на некоторых изолированных частотах, таких как на рис. 2.12. Относительную эффективность фильтра в полосе непрозрачности обычно определяют уровнем затухания на верхней границе этой полосы частот. И наконец, практически невозможно соблюсти условия |W(ω)| = 1 или агgW(ω) = - αω в полосе пропускания. Типично, что средний коэффициент усиления фильтра меньше единицы и описывает вносимые потери. Кроме того, параметры характеристики реального фильтра отклоняются от идеальных параметров характеристики, что приводит к амплитудным и фазовым искажениям передаваемого сигнала. Часто отклонения амплитудно-частотной характеристики имеют вид, показанный на рис. 2.12, и называются пульсациями.
Импульсная характеристика (весовая функция) идеального фильтра нижних частот, имеющего амплитудно-частотную характеристику
|W(ω)| =1, | ω |<W,
|W(ω)| = 0, | ω|>W (2.8)
и фазочастотную характеристику argW(ω) = 0 определяется в соответствии со свойством преобразования Фурье как
, - < t < +. (2.9)
На рис. 2.13 показана импульсная характеристика w(t) идеального фильтра. Поскольку w(t) не равна нулю при t<0, то идеальный фильтр нижних частот не является физически реализуемым устройством.
Проблема любого идеального фильтра состоит в том, что мы пытаемся обеспечить условие |W(ω)| =0 за пределами некоторой полосы частот, например | ω|>W. Норберт Винер сказал по этому поводу следующее: «Ни один из фильтров, отвечающих условию причинности, не может иметь бесконечного затухания в конечной (ненулевой) полосе частот. Идеальный фильтр физически неосуществим из-за самой его сущности, а не по причине отсутствия необходимых технических средств. Не существует такого прибора, который, действуя только в прошлом, смог бы с произвольной точностью отделить одну полосу частот от другой [полосы частот]»
Рис. 2.12. Отклонения характеристик реальных фильтров от идеальных характеристик
|
Рис. 2.13. Импульсная характеристика идеального фильтра |
В теории сигналов и их обработки доказано, что нельзя физически осуществить фильтр, который бы полностью подавлял одну полосу частот и пропускал другую (изолированные нули амплитудной характеристики допустимы), безразлично, какова при этом форма амплитудно-частотной характеристики |W(ω)| в полосе пропускания и какова фазочастотная характеристика.
2.2.3. Временные характеристики и спектры сигналов системы управления
Как было отмечено выше, условия точного воспроизведения сигнала по его дискретной выборке основаны на использовании идеального фильтра и ограниченности спектра самого сигнала f(t). В теории сигналов и их обработки доказывается справедливость следующего соотношения между длительностью сигнала Т и шириной его полосы пропускания W:
Т W 1/ . (2.10)
Смысл этого выражения в том, что величины Т и W не могут оба иметь произвольно малое значение. Сигнал малой длительности имеет широкую полосу, а сигнал с узкой полосой должен иметь большую длительность. Что касается ширины спектра сигналов систем управления, то как следует из свойства преобразования Фурье, поскольку сигналы конечны во времени, то их спектр имеет бесконечную ширину.
На рис. 2.14 рис. 2.15 приведены поучительные примеры типовых сигналов и их спектров.
Рис. 2.14 Четыре вида импульсов
Прямоугольный импульс, x1(t), и треугольный импульс, x2(t), имеют спектральные «хвосты», спадающие со скоростями соответственно 6 дБ/октава и 12 дБ/октава. При одинаковых значениях Т треугольный импульс имеет несколько меньшую эффективную длительность, следовательно, ширина спектра X2(ω ) больше, чем ширина спектра X1(ω ). Весьма распространенный сигнал x3(t) носит название приподнятого косинусоидального импульса (или окно Хэннинга). Хвосты его преобразования Фурье спадают со скоростью 18 дБ/октава. Поскольку сигнал x3(t) еще уже, чем треугольный импульс x2(t), его спектр X3(ω ) имеет большую ширину. Это иллюстрирует общий принцип: если интервал, в котором x(t) отличен от нуля, ограничен, то увеличение скорости спадания" «хвостов» в его спектре X(ω) вызывает соответствующее расширение спектра. Четвертый импульс, x4(t) (называемый импульсом Хэмминга ), иллюстрирует один из многих часто используемых компромиссов. В этом случае, комбинируя x3(t) и x1(t) с соответствующими весовыми коэффициентами, можно значительно снизить уровень боковых лепестков спектра X4(ω) непосредственно примыкающих к основному лепестку, но за это приходится платить снижением скорости убывания «хвостов».
Рис. 2.15. Спектры импульсов, изображенных на рис. 2.14
2.2.4. Компромисс между точностью и устойчивостью
Из рассмотренных выше примеров следует, что для повышения точности воспроизведения сигнала следует уменьшить период квантования Т. Однако эта величина в цифровых системах определяется периодом сканирования программы контроллера и уменьшение Т ограничено быстродействием процессора и устройств ввода/вывода. Повысить точность аппроксимации сигнала по его дискретной выборке можно также за счет увеличения объема выборки, но это приводит к увеличению запаздывания в системе, и, следовательно, к серьезным проблемам с обеспечением устойчивости. Таким образом, в процессе проектирования необходимо находить компромисс между требованиями устойчивости и желанием получить точную аппроксимацию непрерывного сигнала.
Задача состоит в том, чтобы при имеющемся ряде чисел f(0), f(Т), ..., f(kТ), ... , или последовательности импульсов с амплитудой в моменты времени t = kT, равной f(kТ) при k = 0, 1, 2, ... , восстановить непрерывный сигнал f(t), t 0, по информации, содержащейся в этих дискретных данных. Этот процесс может рассматриваться как процесс экстраполяции, так как непрерывный сигнал должен быть восстановлен на основании информации, доступной только в предшествующие моменты выборки. Например, исходный сигнал f(t) между двумя последовательными моментами выборки kT и (k + 1)T должен оцениваться на основании значений f(t) во все предшествующие моменты выборки kT, (k-1)T, (k-2)T, ... , 0; т.е. по значениям f(kT), f[(k-1)T], f[(k-2)T], ... , f(0).
Известный метод получения требуемой аппроксимации основан на разложении f(t) в ряд на интервале между моментами выборки kT и (k+1)T, т.е.
Для того чтобы вычислить коэффициенты ряда, заданного выражением (2.11), производные функции f(t) должны быть получены в моменты выборки. Поскольку единственная доступная информация об f(t) -это ее значения в моменты выборки, то производные должны оцениваться по значениям f(kT). Простое выражение, включающее только два дискретных значения, дает оценку первой производной f(t) в момент t=kT в виде
f’(kT) = [f(kT) – f(k-1)T]/T, (2.15)
аппроксимированное значение второй производной сигнала f(t) при t=kT равно:
f’’(kT) = {f’(kT) – f’[(k-1)T]}/T. (2.16)
Подставляя (2.15) в (2.16) получаем
f’’(kT) = {f(kT) – 2f[(k-1)T] + f[(k-2)T]}/T2. (2.17)
Из аппроксимированных значений f’(kT) и f’’(kT) видно, что чем выше порядок производной, которую нужно аппроксимировать, тем большее число требуется предшествующих выборок. В самом деле, можно легко показать, что число предшествующих выборок, необходимых для аппроксимации значения f(n)(kT), равно п + 1. Таким образом, описанное выше экстраполирующее устройство состоит, по существу, из набора временных задержек, а число которых зависит от точности оценки временной функции f(t). Неблагоприятное влияние временного запаздывания на устойчивость систем управления с обратной связью хорошо известно. Поэтому попытка использовать производную более высокого порядка для более точной экстраполяции часто наталкивается на серьезные трудности в сохранении устойчивости системы. Более того, экстраполяция высокого порядка требует также сложных схемотехнических решений и приводит к высоким затратам при их реализации. По этим двум причинам на практике очень часто используется только первый член выражения (2.11).
Устройство, в котором реализован только член f(kT) из выражения (2.11) для временного интервала kT t < (k+1)T, обычно называют экстраполятором нулевого порядка, так как используемый полином имеет нулевой порядок. Подобное устройство также широко изветно как фиксатор нулевого порядка, поскольку оно фиксирует значение предыдущей выборки в течение данного периода квантования до следующей выборки. Устройство, которое реализует первые два члена выражения (2.11), называется фиксатором первого порядка, так как реализуемый им полином имеет первый порядок.
2.2.5. Характеристики экстраполятора нулевого порядка
Если для аппроксимации сигнала между двумя последовательными выборками используется только первый член ряда (2.11), то реализован ное устройство называется фиксатором нулевого порядка. Этот тип фик сатора может быть применен для моделирования операции фиксации в устройстве выборки и хранения. Согласно выражению (2.11) в этом слу чае
fk(t) = f(kT) (2.18)
Выражение (2.18) определяет импульсную переходную функцию экстраполятора нулевого порядка, входной и выходной сигналы которого показаны на рис. 2.16.
Рис. 2.16. Единичный импульс на входе фиксатора нулевого порядка (а) и реакция фиксатора нулевого порядка на импульсное воздействие (б)
Фиксатор нулевого порядка преобразует входные импульсы в последовательность прямоугольных импульсов длительностью Т. Входной и выходной сигналы идеального фиксатора нулевого порядка показаны на рис. 2.17. Заметим, что выход ной сигнал фиксатора нулевого порядка является ступенчатой аппрокси мацией непрерывного сигнала, и увеличение частоты квантования при ведет к увеличению точности этой аппроксимации.
Рис. 2.17. Временные процессы в фиксаторе нулевого порядка: а – входной f(t) и квантованный f*(t) сигналы; б – выходной сигнал
Реакция фиксатора нулевого порядка на импульсное воздействие, как следует из рис. 2.16, может быть записана в виде
gh0(t) = us(t) – us(t - T), (2.19)
где us(t) – единичная ступенчатая функция.
Передаточная функция фиксатора нулевого порядка получает вид:
|
(2.20) |
Заменим s на j ω, получим:
|
(2.21) |
Последнее можно переписать в виде
|
|
(2.22) |
|
Рис. 2.18. Амплитудная и фазовая характеристики фиксатора нулевого порядка |
Амплитудная и фазовая характеристики фиксатора нулевого порядка показаны на рис. 2.18. На рисунке видно, что фиксатор нулевого порядка обладает свойствами низкочастотного фильтра. Однако при сравнении характеристик фиксатора и идеального фильтра (см. рис. 2.11) видно, что амплитудная характеристика фиксатора нулевого порядка обращается в нуль при ω = ωs вместо того, чтобы резко спадать до нуля при ωs/2. При ω = ωs/2 модуль Gh0(j ω) равен 0,636.
Из рис. 2.17 хорошо видно, что точность фиксатора нулевого порядка как устройства экстраполирования существенно зависит от частоты квантования ωs. Влияние частоты квантования на точность фиксатора ну левого порядка может быть прослежено также по частотным характеристи кам. В целом можно сказать, что на практике используются исключитель но фильтрующие свойства фиксатора нулевого порядка, и потому в даль нейшем мы будем ссылаться на комбинацию квантователь - фиксатор ну левого порядка как на устройство выборки и хранения.
PAGE 8