Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Полугруппа
Определение
Определение 1. Пара , сосотящая из множества и бинарной алгебраической операции называется полугруппой1), если операция ассоциативна, то есть
для .
Другими словами полугруппа — это ассоциативный группоид.
Пример 1. Множество натуральных чисел является полугруппой, так как операция сложения на ассоциативна.
Пример 2. Множество действительных чисел , является полугруппой.
Определение 2. Пусть — полугруппа. Подмножество называется замкнутым относительно операции2) , если для всех .
Определение 3. Пусть . Пара называется подполугруппой3) полугруппы , если замкнуто относительно операции .
Пример 3. Множество натуральных чисел является подполугруппой полугруппы .
Группой называется произвольное множество G с алгебраической операцией *, удовлетворяющей следующим аксиомам:
А)ассоциативность операции *,т.е. (а*в)*с=а*(в*с) для любых а,в,с G;
Б)существование нейтрального элемента, т.е. в G существует такой элемент е, что а*е=е*а для любого а G;
В)существование обратного элемента для каждого элемента G, т.е. для всякого а G существует такой элемент а’ G; что а*а’=а’*а=е.
Из определения следует , что 1) нейтральный элемент е в группе единственный; 2)для любого элемента группы обратный к нему элемент единственный.
Моноид
Определение 1. Пара , сосотящая из множества и бинарной алгебраической операции называется моноидом1), если выполнены условия:
Таким образом, моноид — это полугруппа, обладающая нейтральным элементом.
Определение 2. Моноид с операцией называется коммутативным, если — коммутативна, то есть для любых .
Пример 1. Множество целых чисел с операцией сложения является коммутативным моноидом.
Пример 2. Множество натуральных чисел с операцией умножения является коммутативным моноидом.
Пример 3. Пусть — некоторый алфавит. На множестве всех слов алфавита введем операцию «приписывания» одного слова в конец другого: если и , то . Тогда пустое слово является нейтральным элементом. Ясно, что операция «приписывания» ассоциативна, поэтому пара — моноид.
Пример 4. Множество матриц порядка над кольцом с операцией умножения матриц является некоммутативным моноидом. Нейтральным элементом в этом случае является единичная матрица .
Пример 5. Пусть — произвольное множество. Обозначим через множество всех отображений из в . Так как композиция отображенийассоциативна, и в содержится нейтральный элемент — тождественное отображение, то — моноид.
Определение 3. Пусть — подмножество в , . Будем говорить, что является подмоноидом2) моноида , если содержит нейтральный элемент и замкнуто относительно операции , то есть для любых .