Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Текст лекции.
1. Определители второго и третьего порядка, их свойства.
Пусть - вещественные числа. Число
(1)
называется определителем второго порядка, а числа - его элементами.
Определитель (1) удобно записывать следующим образом:
В скобках схематически изображено правило, по которому вычисляется оп ределитель второго порядка.
Пример.
Пусть - вещественные числа. Составим из этих чисел три определителя второго порядка:
Число
(2)
называется определителем третьего порядка, а числа - его элементами.
Договоримся называть диагональ, образованную элементами , главной, а диагональ, образованную элементами , - побочной.
Формула (1) для определителя (2) дает:
(3)
Формула (3) называется правилом Сарруса и схематически выглядит следующим образом:
Укажем другое правило составления выражений для определителя, еще менее требующее напряжения внимания и памяти. Для этого к таблице, из которой составлен определитель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец.
Сплошной чертой соединены тройки членов, получаемые параллельным переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (3) со знаком плюс; пунктиром соединены три другие тройки членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (3) со знаком минус.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь:
а) определением (2);
б) правилом Саррюса (3).
Решение:
а)
б) .
2. Алгебраические дополнения и миноры.
По аналогии с определителем третьего порядка можно определить определители четвертого, пятого и так далее порядков. Понятие определи теля n-го порядка введем индуктивно, считая, что нами уже введено поня тие определителя n-1-го порядка.
Пусть дано вещественных чисел, для изображения которых исполь зуем одну букву с двумя индексами:
(4)
Расположим эти числа в строк, и полученную таблицу заключим в верти кальные черточки:
(5)
Таким образом обозначается определитель n-го порядка; при этом числа (4) называются элементами определителя n-го порядка.
Определитель (5) обозначают также кратко: , или , где первый индекс указывает на номер строки, а второй индекс - на номер столбца, которым принадлежит элемент , .
Итак,
.
Определение. Минором любого элемента определи теля (5) называется определитель n-1-го порядка, который получа ется из определителя (5) в результате вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.
Например, для определителя второго порядка
Определитель третьего порядка
имеет 9 миноров, которые являются определителями второго порядка. В частности, определители
-
являются минорами элементов .
Определение. Число называется алгебраическим дополнением элемента определителя (5).
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка:
.
Решение. Найдем миноры элементов первой строки:
Откуда
По определению определителя имеем:
3
« + »
« »
ис. 1
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
Рис. 2