Определители второго и третьего порядка их свойства

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Текст лекции.

1. Определители второго и третьего порядка, их свойства.

Пусть - вещественные числа. Число

(1)

называется определителем второго порядка, а числа - его элементами.

Определитель (1) удобно записывать следующим образом:

В скобках схематически изображено правило, по которому вычисляется определитель второго порядка.

Пример.

Пусть - вещественные числа. Составим из этих чисел три определителя второго порядка:

Число

(2)

называется определителем третьего порядка, а числа - его элементами.

Договоримся называть диагональ, образованную элементами , главной, а диагональ, образованную элементами , - побочной.

Формула (1) для определителя (2) дает:

(3)

Формула (3) называется правилом Сарруса и схематически выглядит следующим образом:

Укажем другое правило составления выражений для определителя, еще менее требующее напряжения внимания и памяти. Для этого к таблице, из которой составлен определитель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец.

Сплошной чертой соединены тройки членов, получаемые параллельным переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (3) со знаком плюс; пунктиром соединены три другие тройки членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (3) со знаком минус.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь:

а) определением (2);

б) правилом Саррюса (3).

Решение:

а)

б) .

2. Алгебраические дополнения и миноры.

По аналогии с определителем третьего порядка можно определить определители четвертого, пятого и так далее порядков. Понятие определителя n-го порядка введем индуктивно, считая, что нами уже введено понятие определителя n-1-го порядка.

Пусть дано вещественных чисел, для изображения которых используем одну букву с двумя индексами:

(4)

Расположим эти числа в строк, и полученную таблицу заключим в вертикальные черточки:

(5)

Таким образом обозначается определитель n-го порядка; при этом числа (4) называются элементами определителя n-го порядка.

Определитель (5) обозначают также кратко: , или , где первый индекс указывает на номер строки, а второй индекс - на номер столбца, которым принадлежит элемент , .

Итак,

Определение. Минором любого элемента определителя (5) называется определитель n-1-го порядка, который получается из определителя (5) в результате вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Например, для определителя второго порядка

Определитель третьего порядка

имеет 9 миноров, которые являются определителями второго порядка. В частности, определители

являются минорами элементов .

Определение. Число называется алгебраическим дополнением элемента определителя (5).

Пример. Вычислить определитель четвертого порядка:

Решение. Найдем миноры элементов первой строки:

Откуда

По определению определителя имеем:

« + »

«  »

ис. 1

Рис. 2

1. Статистика железнодорожного транспорта Предмет метод и задачи статистики
2. Особенности применения различных наглядных средств по развитию зрительного восприятия дошкольников с нарушениями зрения
3. Форматирования текста
4. і Синоптикалы~ метеорология 100 кмден жо~ары ~арай орналас~ан атмосфера ~абаты
5. I -- Ведомости Парламента РК
6. Тема 6. Теории социальной мобильности
7. Древняя Спарта- законодательство царя Ликург
8. I There is No One Left When Mry Lennox ws sent to Misselthwite Mnor to live with her uncle everybody sid she ws the most disgreeblelooking child ever seen
9. . Инфаркт бастал~аннан бірінші к~ннен 2
10. Роль держави в регулюванні господарської діяльності та в організації і забезпеченні функціонування держа
11. тн доцентом ВД
12. Екатеринбургский торговоэкономический техникум ОТЧЕТ по учебной-производственной практике
13. Реферат- Бизнес-план создания предприятия по производству макаронных изделий
14. Конспект майстер-класу Кусудама
15. Тема - ЗОЛОТОПРОМЫШЛЕННОСТЬ НА УРАЛЕ Челяб
16. Життя Тараса Шевченка
17. ПЕДАГОГКІКА ВИЩОЇ ШКОЛИ з підготовки студентів за освітньокваліфікаційним рівнем магістрrdquo; гал
18. Вредные стереотипы 2
19. геологические изыскания и создание геодезической разбивочной основы; расчистка территории строительств
20. Л Чампьон Эдмунд Криспин Джеффри Буш Конелл Вулрич Джек Финни Дэшил Хэммет Флетчер Флора Уорнер Лоу Рон Гул

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе