Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос 20.Уравнение прямой в нормальной форме. Пучок прямых
K
Уравнение прямой называется уравнением прямой в нормальной форме, если выполняется следующее условие:
Очевидно что любое общее уравнение прямой можно привести к нормальной форме, разделив обе части уравнения на
Пример.
- нормальная форма
Замечание. Если в левую часть н.ф. уравнения прямой подставить координаты какой-либо точки плоскости, то полученное число с точностью до знака равно расстоянию от точки до данной прямой.
Докажем то
Пусть прямая задана уравнением в н.ф.
: (1)
,
,
(истинное числовое равенство)
- подставим в уравнение (1)
(2)
Подставим в левую часть уравнения (2) координаты точки
- длина проекции вектора на направление вектора
На самом деле это число по модулю будет равно расстоянию от точки до прямой
B
K
Задача. Найти длину высоты, опущенной из вершины B
Уравнение пучка прямых
Пусть две пересекающиеся прямые заданы уравнениями
Уравнение любой прямой, проходящей через точку имеет вид:
(1)
1) Уравнение (1) – линейное уравнение от двух переменных это уравнение прямой
2)
:
:
Проверим, проходит ли прямая (1) через точку
уравнение(1) – уравнение пучка прямых
Пример. Не вычисляя координат вершин треугольника, написать уравнение прямых, проведенных через эти вершины параллельным противолежащим сторонам
:
:
:
1) пучку , тогда
2) из п.6
Пусть
А
Вопрос 23. Общее уравнение плоскости. Уравнение в отрезках на осях
Пусть некоторая точка плоскости и вектор , . Отметим координаты произвольной точки плоскости
- плоскость задана линейным уравнением с тремя неизвестными
Убедимся, что любое линейное уравнение вида: (1) задает некоторую плоскость тройки чисел. Пусть является решением данного уравнения, тогда выполняется численное равенство:
(2)
Последнее равенство может трактоваться как равенство нулю скалярного произведения векторов и . Очевидно, что этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку
Замечание. Вторая часть доказательства направлена на то, что никакие другие точки (их координаты) пространства не удовлетворяют уравнению (1)
Пример. Показать, что плоскость, проходящая через три данные точки ,, задается уравнением (*)
Это линейное уравнение с тремя неизвестными, т.е. это уравнение плоскости. Убедимся что координаты точки удовлетворены этому уравнению. Подставлять будем в (*)
Если подставлять координаты точки в форму (*), то получается определитель, у которого две одинаковые строки, такой определитель равен 0. И равенство будет истинным. Аналогично выполняется для
Значит эта плоскость проходит через и однозначно ими определяется
Замечание. Если плоскость задана уравнением , то перпендикулярен плоскости и называется нормаль
С
Уравнение плоскости в отрезках на осях
- уравнение в отрезках на осях
- координаты точек удовлетворяют последнему уравнению
Числа А,В,С с точностью до знака указывают отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
В
А