Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5 Уравнение Дуффинга
5.1 Постановка задачи
Целью данной работы является аналитическое и численное исследование уравнения Дуффинга и его странных аттракторов. Для анализа решений уравнения был выбран метод стробоскопического исследования Пуанкаре. Для получения решений предполагается использовать численный метод решения дифференциальных уравнений - метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
5.2 Теоретическая часть
Нелинейные эффекты могут проявляться многими разнообразными способами. Классический пример — нелинейная пружина, в которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности уравнение движения принимает вид:
(59)
Периодические вынужденные колебания, описанные этим уравнением, предоставляют широкий спектр интересных явлений, которые характерны для поведения нелинейных динамических систем, такие как регулярное и хаотическое движение, сосуществующие аттракторы, регулярные и фрактальные границы областей притяжения, а также локальная и глобальная бифуркация.
С феноменальной точки зрения, устойчивое состояние, управляемое уравнением Дуффинга (59), может быть периодическим движением, основной период которого также будет равен периоду внешней силы или ее целочисленному множителю. В большинстве стандартных динамических систем устойчивое состояние может быть почти периодическим движением, однако в случае уравнения (59) положительный коэффициент демпфирования уничтожает эту возможность. Следовательно, для рассматриваемых систем, регулярное движение является периодическим устойчивым состоянием. Специфическое свойство хаотического движения заключается в его долгосрочном поведении, которое не может быть не воспроизведено в повторных опытах при очевидно идентичных начальных условиях. Это сильно контрастирует с идеальным краткосрочным предсказуемым результатом, который гарантируется определенностью природы уравнения (59).
Если на систему воздействует периодическая сила, то по линейной теории полагают, что отклик будет периодическим с частотой, равной частоте внешнего возбуждения. При этом решение уравнения будет периодическим.
Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания.
В нелинейной теории предположение о том, что гармоническое возбуждение вызывает гармонический отклик системы неверно. Нелинейная система может иметь как периодическое, так и хаотическое движение.
Рассмотрим задачу с потенциалом в виде двойной ямы. Уравнение данной задачи имеет вид:
(60)
С помощью численного моделирования поведения системы, были получены хаотические колебания. Хаотические колебания показаны на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1: Хаотические колебания, полученные в ходе решения задачи
Рост числа субгаpмоник с pостом амплитуды f пpоисходит чеpезвычайно быстpо. Последо вательность бифуpкаций f1,f2, ...fn имеет, как выяснилось, конечный пpедел f1. Другими словами, спектp частот вынужденных колебаний пpи f > f1 из дискpетного становится сплошным. Зависимость кооpдинаты x(t) от вpемени в условиях, когда в спектpе пpисутствуют все частоты, становится очень неpегуляpной, хаотической.
Преобразование Фурье показано на рисунке 5.2. Оно имеет непрерывный спектр частот, что характерно для хаотического процесса.
Рисунок 5.2: Частотный спектр задачи
На рисунке показано отображение Пуанкаре соответствующего аттрактора. Как видно из рисунка, отображение Пуанкаре имеет фрактальные свойства.
Рисунок 5.3: Хаотическая фазовая траектория и ее сечение Пуанкаре
Для моделирования процесса рассмотрим следующее уравнение Дуффинга:
(61)
Запишем уравнение в форме, удобной для дальнейшего его интегрирования методом Рунге-Кутта.
(62)
Где - безразмерные параметры уравнения,
- параметры внешнего возбуждения.
Все параметры уравнения Дуффинга положительные.
Слагаемое - отрицательная линейная жесткость, - положительная кубическая нелинейность.
Уравнение Дуффинга имеет 3 положения равновесия.
(63)
Рассмотрим реализацию системы при мало различающихся начальных условиям. На рисунке 5-4 красным показана реализация процесса с начальными условиями , а синим цветом показана реализация при следующих начальных условиях .
Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений при двух различных значения параметра :
=0.5 и =1.5.
Числовые значения параметров уравнения Дуффинга возьмем следующие
,=2.
В результате интегрирования получаем следующие результаты для реализаций. Рассмотрим реализацию при =1.5.
Рисунок 5.4: Две реализации процесса при близких начальных условиях
Черные точки — точки стробирования. Очевидно, что эти реализации кардинально отличаются друг от друга. Красным цветом изображена реализация с начальными условиями , синим цветом – с начальными условиями .
Фазовая траектория первой реализации показана на рисунке ниже.
Рисунок 5.5: Фазовая траектория для решения уравнения Дуффинга
Зелеными крестиками обозначены положения равновесия.
Стробоскопические точки обоих процессов отображены на рисунке 5.6 и формируют фрактальное множество.
Рисунок 5.6: Сечение Пуанкаре
На рисунке 5.6 показано сечение Пуанкаре, стробированное с t=0.5T , аналогично рисунку 5.4 красным цветом изображены точки, соответствующие начальными условиями , синим цветом – начальным условиям .
Малое изменение начальных условий приводит к большому изменению поведения системы. Это одно из свойств хаотических систем. Они обладают свойством чувствительности к начальным условиям.
Рассмотрим результаты интегрирования при =0.5.
Получаем следующие результаты.
Рисунок 5.7: Реализации процесса при близких начальных условиях
Реализации полностью совпадают друг с другом. Стробоскопические точки сливаются в линию.
Рисунок 5.8: Фазовая траектория для решения уравнения Дуффинга
Фазовый портрет представляет собой эллипс.
Рисунок 5.9: Сечение Пуанкаре
6 Дискретные отображения
Рассмотреть одномерные отображения и итерационную схему их построения. Привести пример периодических, непериодических и хаотических движений
любой системы. По одномерным отражениям выяснить, какие из перечисленных движений являются периодическими, непериодическими и хаотическими.
Наиболее часто исследуемые отображения — простые одномерные отображения и двумерные отображения. Среди одномерных отображений различают: логистическое отображение, отображение «тент», отображение Бернулли, отображение «подкова» и отображение Энона. Примером двухмерных отображений служат: отображение «пекаря» и отображение «кот Арнольда».
Одной из простейших задач, демонстрирующей хаотичность поведения системы является нелинейный рост популяции, описываемый логистическим уравнением
. (64)
Логистическое отображение (также квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) - это полиномиальное отображение, которое описывает, как меняется численность популяции с течением времени. Его часто приводят в пример того, как из очень простых нелинейных уравнений может возникать сложное, хаотическое поведение. Логистическое отображение - дискретный аналог непрерывного логистического уравнения Ферхюльста; оно отражает тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени.
Познакомимся с хаотическим поведением нелинейной динамической системы. Независимо от конкретной физической природы любой объект является динамической системой, если можно указать такой набор величин (называемых динамическими переменными и характеризующих состояние системы), значения которых в любой последующий момент времени выводятся из начального набора по определенному правилу – закону эволюции.
Рассмотрим функцию, отображающую некоторое множество само с себя:
. (65)
Итерация f (n) функции f определяется как композиция f с самой собой n раз:
, . (66)
Итерацию можно выразить другим способом: .
Поскольку каждая точка под действием итераций функции f перемещается по множеству М, то функция f задает дискретную динамическую систему, т.е. некое движение на множестве М с течением дискретного времени n. Если для некоторой точки определены все итерации , то множество называется орбитой точки x под действием функции f.
Точка x называется неподвижной точкой функции f, если для любого n. Неподвижная точка x функции f называется притягивающей, если все точки из некоторой ее окрестности стремятся к x под действием итераций функции f; и отталкивающей, если все точки из некоторой окрестности покидают эту окрестность под действием итераций. Если неподвижная точка является притягивающей либо отталкивающей, то она также называется гиперболической.
Точка x называется периодической точкой функции f периода k, если , причем при i < k. Орбита периодической точки состоит из k точек и называется циклом периода k. Точка x является периодической точкой функции f периода k, если она является неподвижной точкой итерации , но не является периодической точкой итераций с меньшими номерами.
Хорошо видно, что отображение может иметь уже две неподвижных точки. Одна из них имеет ординату x0=0. Исследуем устойчивость этой точки, для чего вычислим соответствующую производную (мультипликатор):
Вернемся к исследованию логистической функции. Исследуемая функция является функцией одного параметра λ. Наша задача выяснить, как меняются орбиты точек, при изменении параметра λ. Чаше всего, при малом изменении параметра динамика, определяемая функцией, меняется мало. Немного изменяются значения неподвижных, периодических точек. Однако при некоторых значениях параметра происходит резкое изменение качественной картины, например, изменяется количество неподвижных точек, меняется их характер (притягивающие превращаются в отталкивающие). Скачкообразное изменение качественного поведения системы при плавном изменении параметра называется бифуркацией.
Рассмотрим, что будет происходить с точками из интервала [0;1] под действием итераций логистической функции .
При 0 < λ < 1 точка x = 0 является притягивающей, и каждая точка выбранного отрезка под действием итераций стремится к ней. При λ = 1 происходит бифуркация, и точка x = 0 перестает быть притягивающей.
При 1 < λ < 3 точка x = 0 является отталкивающей, а точка – притягивающей неподвижной точкой.
Следующая бифуркация происходит при λ = 3, когда точка перестает быть притягивающей и превращается в отталкивающую при λ > 3. Поскольку теперь обе точки x1 и x2 являются отталкивающими, логично предположить о наличии некого притягивающего объекта между ними. Так оно и происходит. При λ > 3 появляются еще две неподвижные точки, которые не являются неподвижными точками исходной функции. Они образуют цикл периода 2. Таким образом, имеет место бифуркация удвоения периода. При дальнейшем увеличении параметра λ можно наблюдать и дальнейшие бифуркации удвоения периода.
Этот процесс удвоения периода продолжается до тех пор, пока не достигает примерного значения 3.56994... .Вблизи этого значения последовательность значений параметра, при которых происходит удвоение периода, равна:
(67)
Рисунок 6.1: Возможные типы решения логистического уравнения
Это предельное отношение называется числом Фейгенбаума. При значениях λ, превышающих 3.56994..., могут возникать хаотические поведение системы. Хаотическая орбита логистического отображения показана на рисунке 6.1 с помощью зависимости от .
Бифуркационная диаграмма (рис. 6.1) позволяет проследить за развитием системы при плавном изменении параметра. При фиксированном значении параметра за орбитами точек позволяет проследить паутинная диаграмма (диаграмма Ламерея), изображенная на рис. 6.2. Построение паутинной диаграммы позволяет выявить различные эффекты, незаметные на бифуркационной.
Рис. 6.2. Бифуркационная диаграмма логистической функции
Рис. 6.3. Паутинная диаграмма логистической функции
Роль этого отображения не только в том, что оно дает образец хаоса. Было показано, что другие отображения вида , где - квадратичная или более сложная функция удовлетворяет тому же условию (67) .
Следующий пример — отображение «тент».
Рисунок 6.4: Отображение «тент» в симметричной (а) и косой (б) версиях. Итерационная диаграмма иллюстрирует динамику некоторой системы на нескольких шагах
На рисунке 6.4 (а) показано симметричное отображение, а на рисунке 6.4 - косое. В общем случае отображение «тент» можно определить формулой:
(68)
где
– положительный параметр, меньше 1.
Для симметричного «тента» .
Отображение точек происходит аналогично логистическому отображению.
Рассмотрим отображение Бернулли. Данное отображение задано следующим правилом определения нового состояния по предыдущему:
(69)
Где mod 1 — операция, которая оставляет от числа только его дробную часть.
Отображение точек происходит аналогично логистическому отображению.
На рисунке ниже показано отображения Бернулли и итерационная программа, иллюстрирующая динамику на нескольких первых шагах дискретного времени при старте из начального состояния
.Рисунок 6.5: Отображение Бернулли
6.3 Практическая часть
Логистическое отображение.
(70)
Рассмотрим отображение при различных значениях параметра .
F=inline('4*r*x.*(1-x)','x','r') – функция логистического отображения в среде Matlab.
Рис. 6.6. Дискретные отображения функции (70) при .
При имеем одну неподвижную точку, при имеем две неподвижные точки, при имеем ограниченное число неподвижных точек.
Рис. 6.7. Четыре раза итерированное логистическое отображение
При значении наблюдается затухающее к нулю движение. При значении наблюдается периодическое движение. При значениях параметра - наблюдается хаотическое движение. Отображение, фактически, заполняет всю логистическую кривую
Рассмотрим отображение “тент”.
(71)
F=inline('2*r*(x+(x>=0.5).*(1-2*x))','x','r') – функция отображения тент в среде Matlab.
Рис. 6.8.Дискретные отображения функции (71)
при
Рис. 6.9. Четыре раза итерированное отображение тент
Отображение Бернулли
(72)
F=inline('r*(2*x-(x>=0.5))','x','r') - функция отображения Бернулли в среде Matlab.
Рис.6.10.Дискретные отображения функции (72)
при
Рис. 6.11. Четыре раза итерированное отображение Бернулли
Построим лестницу Ламерея для логистического отображения
Рисунок 6.12.: Один раз итерированное логистическое отображение при
Рисунок 6.13: Два раза итерированное логистическое отображение при
Рисунок 6.14: Три раза итерированное логистическое отображение при
Рисунок 6.15: Четыре раза итерированное логистическое отображение при
Как видно из приведенных выше рисунков, при таких значениях параметров, одни раз итерированное отображение дает 2-цикл периодический процесс. Рассмотрим также два (рисунок 6.13), три (рисунок 6.14) и четыре (рисунок 6.15) раза итерированные логистических отображения.
Один и три раза итерированные функции показывают, что решение периодическое.
Два и четыре раза итерированные функции показывают, что решение устойчивое и сходится к определенной точке.
Лестница Ламерея для отображения тент
Рисунок 6.16.: Один раз и два раза итерированное отображение тент при
Рисунок 6.17.: Три и четыре раза итерированное отображение тент при
Лестница Ламерея для отображение Бернулли
Рисунок 6.18.: Один раз и два раза итерированное отображение Бернулли при
Рисунок 6.19.: Три и четыре раза итерированное отображение Бернулии при
В системе существуют такие значения параметра, при которых происходит биффуркация. Для нахождения значений таких параметров можно построить биффуркационная диаграмма (см. рисунок ниже).
Рисунок 6.20.Биффуркационная диаграмма и диаграмма показателя Ляпунова
7 Аттрактор Лоренца
Рассмотреть поведение системы, описываемая системой дифференциальных уравнений (71). Получить изображение аттрактора Лоренца. Исследовать условие перехода состояния системы к хаотическому движению.
Система уравнений Лоренца — это трехмерная система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка, которая возникла в задаче о моделировании конвективного течения жидкости, подогреваемой снизу. Такое течение описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных:
(73)
Где
– скорость течения;
- температура жидкости;
– температура верхней границы жидкости (на нижней поддерживается температура, равная);
– плотность;
– давление;
- ускорение свободного падения;
– коэффициент теплового расширения;
– коэффициент теплопроводности;
-коэффициент уинематической вязкости.
В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска. Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник
После преобразований уравнений (73), получаем:
(74)
Где
– число Прандтля;
- число Рэллея;
– константа.
В результате численного интегрирования системы Э. Лоренц обнаружил, что при у этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий, а, с другой стороны, все
траектории притягиваются при к некоторому сложно устроенному множеству — аттрактору [6.].
Координаты траекторий и аттрактор «Бабочка» Лоренца изображены на рисунках
Рисунок 7.1: Координаты траектории во времени , для уравнений Лоренца при
Рисунок 7.2: Аттрактор "Бабочка" Лоренца
Такое поведение решений ассоциируется с так называемыми турбулентными (беспорядочными, хаотическими) течениями жидкости. Это породило надежды на продвижение в одной из важнейших проблем современной гидро- и аэродинамики — проблеме описания турбулентности. В частности, этим объясняется бурный интерес ученых к этой системе. К настоящему времени ответ на вопрос: имеет ли отношение к турбулентности система Лоренца и ее аналоги не известен.
Определим положение равновесия:
(74)
Из первого уравнения системы (74) получаем, что , следовательно второе уравнение системы принимает вид:
|
(75) |
Тогда получаем:
|
(76) |
Из третьего уравнения системы (74), с учетом (75) и (76) получаем:
|
(77) |
|
|
Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких значениях параметров найденные неподвижные точки являются устойчивыми или неустойчивыми. Условие существования нетривиального решения является равенства нулю определителя: (78) |
Получаем следующие корни характеристического уравнения
,
(79)
При 𝑟 < 1 система Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку — начало координат. К ней притягиваются все траектории (Рис. 7.3). Когда 𝑟 переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки: ,
Рис. 7.3. Траектории при 𝑟 =0.7. Кружком отмечена конечная точка.
Запустив программу несколько раз с произвольными начальными условиями, получим траектории Рис.7.4, по которым видно, что решения сходятся к одной из двух стационарных точек.
Рис. 7.4. Несколько траекторий с разными Н.у. и дискретные отображения. Наблюдаем 2 стационарные точки при 𝑟=1,1.
При возрастании параметра 𝑟 пара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Траектории начинают закручиваться как спирали около стационарных точек и , соответственно (Рис.7.5).
Рис. 7.5. Траектории закручиваются вокруг стационарных точек. Синие, фиолетовые, зеленые, красные – соответственно при 𝑟=2,3,7,12.
С дальнейшим ростом 𝑟 стационарные точки и , поднимаются выше (они лежат в плоскости = 𝑟 – 1), а спиралевидные траектории "разбухают". Это происходит до тех пор, пока при 𝑟 ≈ 13.92 (это значение можно найти только численно) спирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траектории Г1 и Г2 (см.Рис. 7.6).
Рис. 7.6. Гомоклинические траектории. И последующее образование 2х неустойчивых циклов
При возрастании r в этот момент происходит бифуркация гомоклинических траекторий с образованием двух неустойчивых циклов Φ1 и Φ2. Линейные части операторов последования, отвечающих этим циклам, имеют по одному мультипликатору большему единицы и по одному — меньшему единицы, и следовательно, по одному направлению траектории к этим циклам притягиваются, а по другому — отталкиваются. Выходящие усы G1 и G2 нулевой стационарной точки теперь уже не попадают на ее входящий ус (см. рис. 7.6) — они попадают в области притяжения стационарных точек и , соответственно (а не и , как было раньше) и закручиваются около них.
При r ≈ 24.06 происходит очередная бифуркация и G1 и G2 попадают на притягивающие многообразия (неустойчивых) циклов Φ2 и Φ1
(см. Рис. 7.7). Следующая бифуркация происходит при
(80)
В этот момент у линеаризованных в точках и систем появляется пара собственных значений на мнимой оси (при эти собственные значения имеют положительные вещественные части). Стационарные точки и поглощают неустойчивые циклы Φ1 и Φ2, теряя устойчивость (бифуркация ПАХ). Система жестко возбуждается.
Во время описанного процесса, начиная с r = 13.92 у системы Лоренца появляется предельное инвариантное множество, но до оно не является устойчивым, т. е. не притягивает к себе траектории. При r ∈ (r0,50] это множество Λ становится "устойчивым". Это и есть собственно аттрактор Лоренца. Представление о том как он выглядит может дать Рис. 7.2, на котором изображена одна траектория системы Лоренца при r = 28: при t→ +∞ она стремится к аттрактору. Траектория делает по несколько оборотов то вокруг неустойчивой стационарной точки , то вокруг неустойчивой стационарной точки , меняя их "случайным образом".
Рис. 7.7. Бифуркация при 𝑟=24.06. Траектории: синяя, красная, соответственно, при 𝑟=24,и 𝑟= 25.
Рассмотрим аттрактор Лоренца при различных значениях параметров системы. При имеем
Рис. 7.8. Траектория при r<1
Рисунок 7.9: Графики перемещения по осям x,y,z при r<1
Движение точки при r<1 является устойчивым и стремиться к точке .
При имеем
Рис. 7.10. Траектория при r=7
Рисунок 7.11: Графики перемещения по осям x,y,z при r=7
При увеличении r с некоторого момента они становится устойчивыми фокусами, одно собственное число действительное и отрицательное, а два других комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. Траектории начинают закручиваться как спирали около стационарных точек
Рис. 7.12. Траектория при r=30
Рис. 7.13. Стробоскопическое отображение при r=30
Начиная с параметра r = 24.06 и выше, система стремится к множеству — аттрактор Лоренца. Отображение Пуанкаре, полученной при параметре r = 30, показано на рисунке 7.12.
С тем, что происходит в системе Лоренца при больших r ясности пока нет. В некоторых интервалах изменения параметра обнаружены устойчивые периодические решения. Интересное явление наблюдается при r ∈ [210, 234] и r∈[145,149]. При r = 234 система Лоренца имеет устойчивый цикл, который при уменьшении r испытывает бифуркацию удвоения периода, теряя устойчивость и порождая устойчивый цикл двойного периода. При дальнейшем уменьшении r новый цикл также теряет устойчивость и от него, в свою очередь, ответвляется цикл двойного периода и т. д. Таким образом, возникает бесконечная последовательность {rk} значений параметра, при котором система Лоренца испытывает бифуркацию удвоения периода.
Рис. 7.14. Траектория при r=225
Рис. 7.15. Траектория при r=310