Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермская государственная медицинская академия
имени академика Е.А. Вагнера
Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию»
Методические разработки
к практическим занятиям
по высшей математике
и
математической статистике
ПЕРМЬ-2009
Авторы-составители:
Кирко Г.Е.- д-р физ.-мат. наук, проф., Кустова Я.Р., Афанасьев А.Л., Корякина А.Г., Смирнова З.А., Зернина Н.В., Сазонова Н.К., Черемных М.Р.
УДК
ББК
М….
Методические разработки к практическим занятиям по высшей математике и математической статистике: учебное пособие для студентов первого курса медицинских вузов/ Г.Е. Кирко и др./ Пермь: ГОУ ВПО ПГМА им. ак. Е.А. Вагнера Росздрава, 2009-117 с.
В предлагаемые методические разработки включено около 400 задач по различным вопросам высшей математики, предусмотренным действующей учебной программой.
Цель разработок – научить студентов медицинского института решать задачи по основным разделам высшей математики. В начале каждой главы приведены основные формулы и уравнения и даны примеры решения типовых задач, в которых отражены вопросы методики решения задач по данному разделу курса высшей математики. Некоторые задачи содержат материал, связанный с практическим использованием аппарата высшей математики в биологии и медицине. Пособие предназначено для студентов первого курса лечебного, педиатрического, стоматологического, медико-профилактического факультетов и факультета высшего сестринского образования медицинских вузов.
ISBN
Рецензенты:
Кафедра физики Пермского государственного университета, зав. кафедрой, д.ф.-м.н., профессор Путин Г.Ф.
Вахрин .- к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой физики и математики Пермской государственной фармацевтической академии.
Печатается по решению ученого совета ГОУ ВПО ПГМА им. ак. Е.А. Вагнера Росздрава.
УДК
ББК
ISBN ©ГОУ ВПО ПГМА им. ак. Е.А. Вагнера Росздрава, 2009
© Коллектив авторов, 2009
|
Стр |
|||
|
Глава I. |
Пределы |
||
|
Глава 2. |
Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной |
||
|
§1. |
Понятие производной |
||
|
§2. |
Основные правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций. |
||
|
§3. |
Дифференцирование сложной функции |
||
|
§4. |
Производные высших порядков |
||
|
§5. |
Дифференциал функции |
||
|
§6. |
Применение производной при решении прикладных задач |
||
|
Глава 3. |
Исследование функций методами дифференциального исчисления |
||
|
§1. |
Интервалы монотонности функции |
||
|
§2. |
Экстремум функции |
||
|
Глава 4. |
Неопределенный интеграл |
||
|
§1. |
Непосредственное интегрирование |
||
|
§2. |
Интегрирование способом подстановки (методом замены переменной) |
||
|
§3. |
Интегрирование по частям |
||
|
§4. |
Применение неопределенного интеграла при решении прикладных задач |
||
|
Глава 5. |
Определенный интеграл |
||
|
§1. |
Определенный интеграл и его непосредственное интегрирование |
||
|
§2. |
Приложение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур |
||
|
§3. |
Приложение определенного интеграла к решению физических задач. |
||
|
Глава 6. |
Дифференциальные уравнения |
||
|
§1. |
Основные понятия |
||
|
§2. |
Уравнения с разделяющимися переменными |
||
|
§3. |
Однородные дифференциальные уравнения |
||
|
§4. |
Задачи на составление дифференциальных уравнений |
||
|
Глава 7. |
Элементы теории вероятностей и математической статистики |
||
|
§1. |
Основные понятия |
||
|
§2. |
Числовые характеристики распределения случайных величин |
||
|
§3. |
Нормальный закон распределения случайных величин |
||
|
§4. |
Генеральная совокупность. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке |
||
|
§5. |
Интервальная оценка. Интервальная оценка при малой выборке. Распределение Стьюдента |
||
|
§6. |
Проверка гипотез. Критерии значимости. |
||
|
§7. |
Элементы корреляционного и регрессионного анализа. |
||
|
7.1. Характер взаимосвязи между признаками |
|||
|
7.2. Проведение корреляционного анализа с помощью коэффициента парной корреляции |
|||
|
7.3. Элементы регрессионного анализа |
|||
|
Лабораторные работы по статистической обработке результатов |
|||
|
1. |
Статистическая обработка данных измерения роста |
||
|
2. |
Задания для проведения статистического анализа совокупности данных |
||
|
Приложение. |
|||
|
П1. |
Правила приближенных вычислений |
||
|
П1.1 |
Запись приближенных чисел |
||
|
П1.2. |
Правила округления |
||
|
П1.3. |
Вычисление с приближенными числами |
||
|
Ответы. |
|||
|
Список литература |
Леонардо да Винчи,
G.36v (Записная книжка, 186 страница)
Постоянная является пределом функции в точке , если их разность во всех точках, кроме, по абсолютному значению остается меньше бесконечно малого положительного числа .
Если для <, то .
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:
Если существуют и то
Используют также следующие пределы:
- первый замечательный предел
- второй замечательный предел.
Иногда в процессе отыскания предела при замене аргумента определенным значением функция получает выражение или - неопределенность. Хотя это выражение не имеет определенного смысла, функция может иметь конечный предел при данном стремлении аргумента. Это становится очевидным, если функцию преобразовать: разложить ее на множители, или поделить на аргумент, или умножить на сопряженное выражение, и т.д.
Например:
Раскрыть неопределенность можно, поделив все члены выражения, стоящего под знаком предела, на высшую степень аргумента, то есть на :
=.
Раскрыть данную неопределенность можно, разложив выражения, стоящие в числителе и знаменателе под знаком предела, на множители, то есть:
Умножив и поделив выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное выражение , получаем следующее выражение:
=.
Найти следующие пределы:
|
1.1. . (Ответ: 3) |
1.6. . (Ответ: 9/2) |
|
1.2. . (Ответ: 1000) |
1.7. . (Ответ: 1/3) |
|
1.3. . (Ответ: ) |
1.8. . (Ответ: ) |
|
1.4. . (Ответ: ) |
1.9. . (Ответ: 1) |
|
1.5. . (Ответ: 0) |
1.10. . (Ответ: 4) |
|
1.11. . (Ответ: 0) |
1.21. . (Ответ: 1/2) |
|
1.12. . (Ответ: 0) |
1.22 . (Ответ: 0,6) |
|
1.13. . (Ответ: 1/3) |
1.23. . (Ответ: 4) |
|
1.14. . (Ответ: 1/2) |
1.24. . (Ответ: 0) |
|
1.15. . (Ответ: 0) |
1.25. . (Ответ: 4) |
|
1.16. . (Ответ: 1/4) |
1.26. . (Ответ: e=2,718)
|
|
1.17. . (Ответ: ) |
1.27. . (Ответ: 1) |
|
1.18. . (Ответ: 3) |
1.28. . (Ответ: e3) |
|
1.19. . (Ответ: 1) |
1.29. . (Ответ: 1/2) |
|
1.20. . (Ответ: 3) |
1.30. . (Ответ: 1/3) |
§ 1. Понятие производной
Пусть и - два значения аргумента, а и - соответствующие значения функции . Тогда разность называется приращением аргумента, а разность = - приращением функции на отрезке .
Производной от функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
или
Примечание.
Производная обозначается также как (Читается «дэ игрек по дэ икс».) Штрихом производная обозначается только в том случае, если она берется по .
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Исходя из определения производной, можно найти производную любой дифференцируемой функции.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Найти производную функции
(1)
Дадим приращение , тогда получит приращение :
,
отсюда
.
Функция задается формулой (1). Тогда
=
=
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
=.
Найдем предел этого отношения при :
=()=
Следовательно, по определению производной
2. Найти производную функции
(2)
Находим приращение функции отсюда
= и
=
Таким образом,
Итак,
3. Найти производную функции
(3)
Находим приращение функции
Воспользуемся формулой
Отсюда
и
=.
Итак,
=
Исходя из определения производной, найти производные следующих функций:
|
2.1. (Ответ: ) |
2.5. (Ответ:) |
|
2.2. (Ответ: ) |
2.6. . (Ответ: ) |
|
2.3. (Ответ: ) |
2.7. . (Ответ: ) |
|
2.4. Ответ:) |
2.8. . (Ответ: 6(x1)) |
§2. Основные правила дифференцирования.
Дифференцирование основных элементарных функций.
Основные правила дифференцирования
Пусть C –постоянная, - функции, имеющие производные, тогда:
1.
2.
3.
4.
5.
Таблица производных
основных элементарных функций
|
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
|
11. |
|
|
12. |
|
|
13. |
|
|
14. |
Применяя формулы и правила дифференцирования, найдем производную функции:
Запишем данную функцию следующим образом:
Тогда
В качестве следующего примера найдем производную от функции
.
Для нахождения производной воспользуемся правилом нахождения производной от произведения двух функций:
И, наконец, рассмотрим еще один пример: нахождение производной частного от деления двух функций
.
Для нахождения производной воспользуемся пятым правилом из раздела «Основные правила дифференцирования». Тогда
Найти производные следующих функций:
|
2.9. |
. (Ответ: 6(x1)) |
2.10. |
. (Ответ: ) |
|
2.11. |
. (Ответ: 2x(24x2+1)) |
2.12. |
. (Ответ: ) |
|
2.13. |
. (Ответ: ) |
2.14. |
. (Ответ: ) |
|
2.15. |
. (Ответ:) |
2.16. |
. (Ответ: ) |
|
2.17. |
. (Ответ: 4) |
2.18. |
. (Ответ: ) |
|
2.19. |
. (Ответ: ) |
2.20. |
. (Ответ: ) |
|
2.21. |
. (Ответ: ) |
2.22. |
. (Ответ: ) |
|
2.23. |
. (Ответ: ) |
2.24. |
(Ответ: ) |
|
2.25. |
. (Ответ: ) |
2.26. (Ответ: |
. () |
|
2.27. (Ответ: |
. () |
2.28. |
. (Ответ: ) |
|
2.29. |
. (Ответ: ) |
2.30. |
. (Ответ: ) |
|
2.31. |
. (Ответ: ) |
2.32. (Ответ |
) |
|
2.33. |
. (Ответ: ) |
2.34. |
. (Ответ: ) |
|
2.35. |
. (Ответ: ) |
2.36. (Ответ |
. ) |
|
2.37. |
. (Ответ: 0) |
2.38. |
. (Ответ: ) |
|
2.39. |
. (Ответ: ) |
2.40. |
(Ответ: ) |
|
2.41. (Ответ: |
. ) |
2.42. (Ответ |
. |
|
2.43. (Ответ |
. ) |
2.44. |
(Ответ: ) |
|
2.45. (Ответ: |
. ) |
2.46. |
. (Ответ: ) |
|
2.47. |
. (Ответ:) |
2.48. |
. (Ответ:) |
|
2.49. |
. (Ответ: ) |
2.50. |
. (Ответ: ) |
|
2.51. |
. (Ответ: ) |
2.52. |
. (Ответ:) |
|
2.53. |
. (Ответ: ) |
2.54. |
. (Ответ: ) |
|
2.55. |
. (Ответ: ) |
2.56. |
. (Ответ: ) |
|
2.57. |
. (Ответ: ) |
2.58. |
. (Ответ: ) |
|
2.59. |
. (Ответ: ) |
2.60. |
. (Ответ: ) |
|
2.61. |
. (Ответ: ) |
2.62. |
. (Ответ:) |
|
2.63. |
(Ответ: ) |
2.64. |
. (Ответ: ) |
|
2.65. |
. (Ответ: ) |
2.66. |
. (Ответ:) |
|
2.67. |
. (Ответ: ) |
2.68. |
. (Ответ: ) |
|
2.69. |
. (Ответ: ) |
2.70. |
. (Ответ: ) |
|
2.71. |
. (Ответ: ) |
2.72. |
(Ответ:) |
|
2.73. |
. (Ответ: ) |
2.74.1 |
(Ответ: ) |
|
2.75. |
. (Ответ: ) |
2.76. |
(Ответ: ) |
|
2.77. |
. (Ответ: ) |
2.78. |
(Ответ: ) |
|
2.79.2 |
(Ответ: ) |
2.80.3 |
(Ответ: ) |
§3. Дифференцирование сложной функции.
Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем
.
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
Рассмотрим несколько примеров нахождения производной сложной функции.
Пример 1.
Положим , где .
Тогда
.
Пример 2.
.
Обозначим . Тогда .
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Пример 3.
.
Обозначим . Тогда .
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
=.
Пример 4.
.
Положим . Тогда .
.
Пример 5.
.
Если , то . Следовательно
.
Пример 6.
.
Положим , где , а .
Получаем
=.
Пример 7.
<1.
Если то , следовательно,
Выполним алгебраические преобразования и получим окончательно
.
Пример 8.
Имеем
Найти производные следующих сложных функций:
|
2.81. |
(Ответ: ) |
2.82. |
(Ответ: ) |
|
2.83. |
(Ответ: ) |
2.84. |
(Ответ: ) |
|
2.85. |
(Ответ: ) |
2.86. |
(Ответ: ) |
|
2.87. |
(Ответ: ) |
2.88. |
(Ответ: ) |
|
2.89. |
(Ответ: ) |
2.90. |
(Ответ: ) |
|
2.91. |
(Ответ: ) |
2.92. |
(Ответ: ) |
|
2.93. |
(Ответ: ) |
2.94. |
(Ответ: ) |
|
2.95. |
(Ответ: ) |
2.96. |
(Ответ: ) |
|
2.97. |
(Ответ: ) |
2.98. |
(Ответ: ) |
|
2.99. |
(Ответ: ) |
2.100. |
(Ответ: ) |
|
2.101. |
(Ответ: ) |
2.102. |
(Ответ: ) |
|
2.103. |
(Ответ: ) |
2.104. |
(Ответ: ) |
|
2.105. |
(Ответ: ) |
2.106. |
(Ответ: ) |
|
2.107. |
(Ответ: ) |
2.108. |
(Ответ: ) |
|
2.109. |
(Ответ: ) |
2.110. |
(Ответ: ) |
|
2.111. |
(Ответ: ) |
2.112. |
(Ответ: ) |
|
2.113. |
(Ответ: ) |
2.114. |
(Ответ: ) |
|
2.115. |
(Ответ: ) |
2.116. |
(Ответ: ) |
|
2.117. |
(Ответ: ) |
2.118. |
(Ответ: ) |
|
2.119. |
(Ответ: ) |
2.120. |
(Ответ: ) |
|
2.121. |
(Ответ: ) |
2.122. |
(Ответ: ) |
|
2.123. |
(Ответ: ) |
2.124. |
(Ответ: ) |
|
2.125. |
(Ответ: ) |
2.126. |
(Ответ: ) |
§4. Производные высших порядков
Производная второго порядка (вторая производная) от функции есть производная от ее производной, т.е.
.
Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная от ее второй производной:
Вообще производная n-го порядка ( n-я производная) функции есть производная от ее (n-1)-й производной.
Рассмотрим пример.
Найти третью производную от функции .
Дифференцируя данную функцию, получим . Дифференцируя производную , найдем: . Отсюда третья производная .
Найти производные второго порядка от функций:
|
2.127. |
(Ответ: ) |
2.128 |
(Ответ: ) |
|
2.129. |
(Ответ: ) |
2.130. |
(Ответ: ) |
|
2.131. |
(Ответ: ) |
2.132. |
(Ответ: ) |
|
2.133. |
(Ответ: ) |
2.134 |
(Ответ: ) |
Найти производные третьего порядка от функций:
|
2.135. |
(Ответ: ) |
2.136. |
(Ответ: ) |
|
2.137. |
(Ответ: ) |
2.138. |
(Ответ: ) |
|
2.139. |
(Ответ: ) |
2.140. |
(Ответ: ) |
§5. Дифференциал функции
Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.
Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента:
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:
Основные свойства дифференциала.
1. , где С=const
2.
3.
4.
5. ,
6.
Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и . Полученное выражение позволяет использовать дифференциал функции для приближенных вычислений.
Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: . Аналогично определяется дифференциал третьего и более высоких порядков.
Используя определение дифференциала, рассмотрим ряд примеров.
Имеем
= .
Найдем дифференциал функции:
.
Абсолютная погрешность
.
Относительная погрешность
.
- дифференциал первого порядка,
- дифференциал второго порядка.
Рассмотрим функцию. Полагая , и применяя формулу , получаем
.
Воспользуемся формулой . Полагая R=3, , имеем
.
Следовательно, площадь круга радиуса 3,02м имеет приближенное значение
.
Рассмотрим функцию и положим x=8,
найдем
.
.
Таким образом, 2,0008.
Если - ребро куба, то его объем . Задача сводится к отысканию приращения функции при и .
Приращение найдем, исходя из приближенного равенства
. Подставляем соответствующие значения и получаем
(м).
Найти дифференциалы следующих функций:
|
2.141. |
(Ответ: ) |
2.142. |
(Ответ: ) |
|
2.143 |
(Ответ: ) |
2.144. |
(Ответ) |
Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков.
|
2.145. |
Ответ: ; ; . |
|
2.146. |
Ответ: ; ;. |
|
2.147. |
Ответ: ; ; . |
|
2.148. |
Ответ: ;; . |
2.149. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом. ( Ответ: ; ; ).
2.150. Вычислить и для функции при и ( Ответ: ; ).
2.151. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом.
(Ответ:;; ; ).
2.152. На сколько измениться сторона квадрата, если его площадь уменьшится с 16 м2 до 15,82 м2? (Ответ:0,0225 м)
2.153. Найти приближенное значение объема шара радиусом R=2,01 м. (Ответ:34,04 м3).
2.154. Найти приближенное значение . (Ответ:)
2.155. Найти приближенное значение .(Ответ:2,999)
2.156. Найти приближенное значение .(Ответ:1,035)
2.157. Найти приближенное значение . (Ответ:0,88)
2.158. Поверхностная энергия жидкости рассчитывается по формуле: . Здесь - энергия единицы площади, равная коэффициенту поверхностного натяжения, - площадь свободной поверхности жидкости. Найти изменение поверхностной энергии мыльного пузыря при увеличении его радиуса с 5 см до 5,2 см (площадь поверхности сферы ). Коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды в условиях данной задачи принять равным 0,04 Дж/м2 . (Ответ: Дж).
2.159. Резиновый шар наполняется газом. Найти приближенно абсолютное и относительное изменение поверхности шара при увеличении его радиуса от 10,0 см до 10,5 см.
(Ответ: м2; )
2.160. Период колебания математического маятника , где м/с2, а см. Найти изменение периода колебаний при уменьшении длины на 1 см. (Ответ:с)
2.161. Разность потенциалов между внутренней частью клетки и внешней средой обусловлена различием концентрации ионов внутри и вне клетки. Величина этой разности потенциалов в милливольтах для одновалентных ионов при температуре 180 определяется формулой , где .
Рассчитать изменение при увеличении от 20 до 22. Учесть, что . (Ответ: мВ).
§6. Применение производной при решении
прикладных задач
Производная от функции , вычисленная при значении аргумента , представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой переменной в точке .
В частности, если зависимость между пройденным путем и временем при прямолинейном движении выражается формулой , то скорость движения в любой момент времени есть , а ускорение, т.е. скорость изменения скорости движения, .
Например.
Решение. Скорость прямолинейного движения
.
Подставим значение =1с и получим (м/с).
Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени и, следовательно, (м/с2).
Решение. Основной закон динамики вращательного движения записывается как
.
Искомый момент сил М получим, подставив в это уравнение угловое ускорение . Угловая скорость , угловое ускорение . Отсюда .
Решение. Скорость изменения концентрации определится как первая производная от концентрации по времени, т.е.
.
Решить задачи.
2.162. Прямолинейное движение точки совершается по закону (м). Определить скорость в момент времени с. (Ответ: v=27м/с).
2.163. В какой момент времени скорость точки, движущейся по закону , равна нулю? (Ответ: t=2 с).
2.164. Зависимость пути от времени дается уравнением (м). Найти скорость в конце второй секунды. (Ответ: v=1,75 м/с).
2.165. При прямолинейном движении точки зависимость пути от времени задана уравнением . Найти ускорение точки в конце четвертой секунды. (Ответ: a=0,03 м/с2).
2.166. Точка движется по оси абсцисс по закону
(м).
В какой момент времени точка остановится? (Ответ: точка остановится при t=3 c).
2.167. Точка движется по закону (м). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения. (Ответ: v=4 м/с, a=6 м/с2).
2.168. Диск вращается так, что угол поворота его радиуса (в радианах) изменяется по закону , где B=2 рад/с2, С=1рад/с3. Найти угловое ускорение диска в любой момент времени, а также момент силы, действующий на диск в любой момент времени, если момент инерции диска равен 0,02 кгм2. (Ответ: =(2+3t) c2; M=0,04(2+3t) нм).
2.169. Вращающееся колесо задерживается тормозом. Угол, на который колесо поворачивается в течение некоторого времени, определяется выражением . Найти угловую скорость и угловое ускорение движения через 2 с после включения тормоза. Определить, в какой момент времени колесо остановится. (Ответ: с1, с2, колесо остановится через t=0,2 c ).
2.170.Уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид: = A + Bt + Ct3, где A = 2 рад, B = 3 рад/с, C = 1 рад/с2.
Найти угол , угловую скорость и угловое ускорение в моменты времени t1=1 c, t2 = 4 c.
(Ответ: ).
2.171. Угловой путь вращающегося тела задан уравнением = 2t3 + 3t2 + 8 (рад). Получить уравнение для углового ускорения. (Ответ:).
2.172. Чему равна угловая скорость тела в конце 1-й секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии 5 см от оси вращения, движется по закону S=t2+2t (м)? (Ответ: ).
2.173. Чему равна угловая скорость тела в конце 2-ой секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии R = 5 см от оси вращения, движется по закону S = 4 t2 + 4t (м ) ? (Ответ: ).
2.174. Определить угловые скорость и ускорение тела, если угловой путь задан уравнением = at2 + b ( рад). (Ответ: ).
2.175. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки, движущейся по окружности R=10см, задана уравнением v = 2t + 4 (м/с). (Ответ:).
2.176. Какую угловую скорость будет иметь тело к концу второй секунды, если вращение задано уравнением = 2 t2 + 4t (рад). (Ответ: ).
2.177. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки, движущейся по окружности R=0,2 см, задана уравнением v = 3t + 4 (м/с). (Ответ:).
2.178. Материальная точка вращается по окружности радиусом R= 2м по закону S = 3t2 (м). Определить ее угловое ускорение. (Ответ:).
2.179. Уравнение вращения тела имеет вид = t3 + 4 . Найти угловое ускорение тела в момент времени t = 3 с. (Ответ:).
2.180. Угловой путь вращающегося тела задан уравнением = t3 + 2t2 + 4. Найти уравнение для углового ускорения. (Ответ:).
2.181. Чему равна угловая скорость тела в конце 1-й секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии 10 см от оси вращения, движется по закону S = 2t2 + 4t (м). (Ответ: ).
2.182. Какую угловую скорость будет иметь тело к концу второй секунды, если вращение задано уравнением = 2t2 + 4t? (Ответ: ).
2.183. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки с радиусом-вектором 0,2 см задана уравнением V = 3t + 4 ( м/с). (Ответ:).
2.184. Момент импульса тела с течением времени изменяется по закону L=4t+2(кгм/с). Определить момент сил, действующих на тело. (Ответ:).
2.185. Тело колеблется по закону (м). Найти скорость тела в момент времени .(Ответ: v=0,57 м/с).
2.186. Точка участвует в движении, заданном уравнением (м). Найти скорость и ускорение в момент времени .(Ответ: v=26,4 м/с, a=252 м/с2).
2.187. Тело массой 1 г колеблется по закону (м). Найти силу, действующую на тело в любой момент времени, и ее максимальное значение. Вычислить это значение при=3104Гц.
(Ответ: Н, Н, Н).
2.188. Тело массой 25 кг движется по закону . Найти кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.
(Ответ).
2.189. Центр тяжести кисти человека при ходьбе совершает колебания по закону (м). Определить максимальные скорость и ускорение центра тяжести кисти, а также период колебания. (Ответ: ).
2.190.Тело движется по закону . Найти ускорение для любого момента времени. (Ответ: ).
2.191. Гармоническое колебание задано уравнением X=5 cos (2+/4) (см). Получить уравнение для расчета скорости. Чему равна амплитуда скорости? (Ответ:).
2.192. Гармоническое колебание задано уравнением X=5 cos ( +/6) (см). Определить амплитуду скорости. Для каких значений X скорость максимальна? (Ответ:).
2.193. Уравнение для смещения гармонического колебательно движения задано в виде X=5 cos ( 2t+/2) ( мм). Найти выражение для ускорения. Результат представить в системе "СИ".
(Ответ: ).
2.194. Уравнение для смещения при гармоническом колебании задано в виде X=2cos(t+/4) ( м ). Найти закон изменения ускорения и построить график ускорения для этого движения. (Ответ: ).
2.195. Скорость гармонического колебательного движения задана уравнением V=-sin(2t+/4)(м/с). Найти закон изменения ускорения и построить его график. (Ответ: ).
2.196. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса с амплитудой 10 см и периодом 0,2 с. Найти максимальное значение ускорения. Как изменится результат, если колебания будут происходить по закону косинуса? (Ответ: . Если колебания будут происходить по закону косинуса, результат не изменится).
2.197. Тело массой 1 г колеблется по закону X=2cos(2t+/3) (см). Определить потенциальную и кинетическую энергии тела в конце 1-ой секунды движения. (Ответ).
2.198. Уравнение колебаний материальной точки массой m=16г имеет вид X=2sin(t/8+/4) (см), где X выражается в сантиметрах. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергию точки через 2 секунды после начала колебаний.
( Ответ:).
2.199. Материальная точка массой 0,05 кг колеблется по закону X=0,1sin(t/5+/3)(м). Найти максимальную силу, действующую на точку. (Ответ:).
2.200.В результате значительной потери крови содержание железа в ней уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа вследствие его восстановления с течением времени уменьшается по закону (время выражено в сутках). Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент =0 и через 7 суток. (Ответ: ; ).
2.201. Фабричная труба выбрасывает за единицу времени некоторое количество P газообразного вещества, которое в результате диффузии распространяется в окружающем воздухе. Концентрация этого вещества на расстоянии от отверстия трубы определяется формулой , где - коэффициент диффузии. Найти убывание концентрации на каждую единицу расстояния (градиент концентрации).
(Ответ:).
2.202. Зависимость барометрического давления от высоты при условии постоянной температуры дается барометрической формулой , где - давление на поверхности Земли (h=0), - масса киломоля воздуха, - универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура, - ускорение свободного падения.
Получить формулу для определения градиента давления (т.е. изменения атмосферного давления на каждую единицу изменения высоты) для любой высоты, считая Т и постоянными. (Ответ:).
2.203. Концентрация раствора меняется с течением времени по закону , где и - постоянные для данного процесса величины. Найти скорость растворения. (Ответ:).
2.204. Величина потенциала, возникающего при возбуждении сетчатки глаза под действием света, равна (В) , где - постоянная величина, - время, отсчитываемое от момента освещения. Определить потенциал и скорость изменения потенциала в момент времени =0. (Ответ: скорость изменения потенциала (В/с)).
2.205. Конденсатор емкостью С и зарядом разряжается через сопротивление R так, что в любой момент времени заряд меняется по закону . Найти скорость изменения заряда конденсатора. Какова величина этой скорости в начале разряда (=0)? Какой физический смысл имеет скорость изменения заряда? (Ответ: ; ).
2.206 . На бактерии действуют ультрафиолетовым излучением Доля убитых бактерий (в процентах) в зависимости от времени действия излучения описывается приближенной формулой , где - постоянная величина, определяемая видом бактерий и условиями воздействия. Получите формулу для расчета доли бактерий, уничтожаемых излучением при данных условиях за единицу времени. (Ответ: .
Исследование функций методами
дифференциального исчисления
§1. Интервалы монотонности функции
Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Монотонность функции характеризуется знаком первой производной . Если в некотором интервале>0 (<0), то функция возрастает (убывает) в этом интервале.
Рассмотрим примеры.
При >0 - функция возрастает,
при <0 - функция убывает,
при >0 - функция возрастает,
при <0 - функция убывает.
Решение.
Найдем производную заданной функции: . В промежутке производная >0 поэтому функция возрастает, а в промежутках и производная<0 – функция убывает.
Решение.
Найдем производную: . При производная >0 функция возрастает. При производная >0 – функция возрастает. Следовательно, функция возрастает во всей области определения.
Решить следующие задачи.
Убедиться, что функция в интервале <<3 убывает.
Определить интервалы убывания и возрастания функции . (Ответ: при x<0 функция убывает, при x>0 возрастает.)
Определить, при каких значениях функция убывает.
(Ответ: при любом функция убывает).
Проверить, во всем ли интервале функция возрастает. (Ответ: при функция убывает).
Определить интервал возрастания функции . (Ответ: при x>0 функция возрастает).
Найти интервалы возрастания и убывания функции . (Ответ: в интервале и функция возрастает; в интервале убывает).
Найти интервалы монотонности функции . (Ответ: интервал возрастания , интервал убывания )
§2. Экстремум функции
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство < (максимум) или > (минимум).
Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или экстремумом функции.
Правило отыскания экстремумов функции:
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (вторая производная при этом меньше нуля), то в критической точке она имеет максимум.
Если производная в критической точке меняет знак с минуса на плюс (вторая производная при этом больше нуля), то функция в этом точке имеет минимум.
Рассмотрим примеры.
Решение.
Находим первую производную заданной функции: . Приравниваем ее нулю и определяем критические точки: , значение является критической точкой. Определяем знак при переходе через критическую точку. Если , то <0. Если , то >0. Полученный результат позволяет утверждать, что в точке функция имеет минимум, значение которого .
Решение.
Так как - периодическая функция с периодом , то достаточно найти экстремумы на отрезке .
Дифференцируя, получим . Производная существует на всем отрезке и обращается в нуль в точках . Для исследования функции на экстремум выясним знак второй производной в каждой из полученных точек. Имеем:
|
>0; |
<0; |
>0; |
<0. |
Отсюда следует, что
|
при ; |
при ; |
|
при ; |
при . |
Рис. 1
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции в промежутке .
Найдем производную:. Приравнивая нулю , получим единственную критическую точку , принадлежащую рассматриваемому промежутку, в которой объем и принимает наибольшее значение .
В итоге мы получили, что наибольший объем будет иметь цилиндр, высота которого .
Решение.
Освещенность вычисляется по формуле , где значения и определяются, исходя из рис.2.
За независимую переменную примем угол и,
Рис. 2
учтя, что , получим
.
Найдем максимальное значение полученной функции в промежутке изменения независимой переменной . Дифференцируя , получим . Решая уравнение , находим, что функция в интервале имеет единственную критическую точку: . Следовательно, при освещенность будет наибольшей, поэтому . Это и есть искомая величина.
Исследовать на экстремум следующие функции.
3.8. . (Ответ: при функция имеет минимум).
3.9. . (Ответ: при функция имеет максимум).
3.10. . (Ответ: при функция имеет минимум).
3.11. .
(Ответ: при функция имеет максимум, при минимум).
3.12. .
(Ответ: при функция имеет минимум, при максимум).
3.13. . (Ответ: при функция имеет минимум).
3.14. >0.
(Ответ: при функция имеет минимум, при максимум).
Исследовать функцию на экстремум и найти значения функции в экстремальных точках. (Ответ: при функция имеет минимум; ).
Секундный расход воды при истечении ее через отверстие в толстой стене определяется по формуле , где - диаметр отверстия, - глубина его низшей точки, - некоторая постоянная. При каком значении секундный расход воды является наибольшим? (Ответ: при).
Показать, что мощность тока, получаемого от гальванического элемента во внешней цепи, будет наибольшей, если сопротивление R внешней цепи равно внутреннему сопротивлению самого элемента.
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Уравнение движения тела . Будет ли тело подниматься или опускаться в момент с? В какой момент оно достигнет максимальной высоты и какова эта высота? (Ответ: тело поднимается; максимальной высоты достигнет в момент времени с; м).
Рост численности популяции в условиях ограниченности ресурсов происходит по закону , где - постоянная величина, зависящая от вида клеток, характера среды и других внешних факторов; и - начальная и максимально возможная численность популяции. Определить момент времени, когда скорость роста популяции максимальна, и численность популяции в этот момент. (Ответ: ; ).
В последовательной реакции концентрация промежуточного вещества зависит от времени по закону , где - постоянные величины (>. Определить скорость изменения концентрации. Через какое время после начала реакции концентрация достигнет максимума? (Ответ: ; ).
В шар радиусом R вписан цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверхность. Определить высоту цилиндра. (Ответ: высота равна ).
§1. Непосредственное интегрирование.
Функция называется первообразной для функции , если
или
.
Любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым С.
Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции:
|
Таблица простейших интегралов |
|||
|
1. |
7. |
||
|
2. |
8. |
||
|
3. |
9. |
||
|
4. |
10. |
||
|
5. |
11. |
||
|
6. |
12. |
Проинтегрировать функцию значит найти её неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.
Рассмотрим следующие примеры:
1). Найти интеграл
.
Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных выражений:
Через С обозначен результат суммирования всех произвольных постоянных, получающихся при интегрировании каждого слагаемого.
2). Вычислить интеграл
Представим подынтегральную функцию следующим образом:
Тогда
3). Найти интеграл
Представим подынтегральную функцию в таком виде:
Подставим полученное выражение :
4). Вычислить интеграл
Преобразуем подынтегральную функцию таким образом:
Подставляя полученную функцию, вычисляем интеграл:
Используя правила интегрирования и таблицу интегралов найти следующие интегралы:
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
§2.Интегрирование способом подстановки
(метод замены переменной).
Способ подстановки заключается в том, чтобы, преобразовав подынтегральную функцию, свести интеграл к табличному виду.
Например:
1). Найти интеграл
Подстановка 2x=U приводит рассматриваемый интеграл к табличному, причем dU=2dx
Тогда
Возвращаясь к первоначальной переменной интегрирования х, окончательно получим:
.
2). Найти интеграл
.
Полагая , имеем . Из полученного .
Тогда
3). Найти интеграл
.
Применим подстановку , следовательно .
Тогда данный интеграл примет вид
.
4). Найти интеграл
.
Подстановка приводит данный интеграл к табличному виду, причем , значит .
Запишем интеграл, используя подстановку
Методом подстановки найти следующие интегралы:
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
§ 3. Интегрирование по частям.
С помощью формулы интегрирования по частям
где u, v –дифференцируемые функции, зависящие от х, нахождение интеграла сводится к отысканию более простого интеграла .
1). Найти интеграл
.
Положим
,
тогда
.
Отсюда
.
Используя формулу интегрирования по частям, получим
2). Найти интеграл
Полагая
найдем
Отсюда
3). Найти интеграл
.
Полагая
получим
Тогда интеграл примет вид:
Используя формулу интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
§4. Применение неопределенного интеграла при решении прикладных задач.
Рассмотрим задачи.
1). Шкив вращается вокруг оси под действием момента сил М, который меняется с течением времени по закону М=Аt, А- известная постоянная величина. Найти угловую скорость и угол поворота шкива в любой момент времени, если в начальный момент шкив был неподвижен. Момент инерции шкива равен I.
Используем для решения основное уравнение динамики вращения тела
Отсюда .
Угловую скорость находим интегрированием последнего выражения, т.е.
Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий, т.е. из условия, что при t=0, =0. Получаем, что С=0. Таким образом, угловая скорость в любой момент времени равна
.
Учитывая, что угловая скорость и угловой путь связаны формулой
,
найдем угловой путь
,
где Спостоянная интегрирования, которая вновь определяется из начального условия: при t=0, =0, значит С1=0. Следовательно, угол поворота шкива в любой момент времени равен
2). Скорость тела через t с после начала движения равна V=(4t+5) м/с. Определить путь, пройденный телом за t с после начала отсчета.
Учтя, что , получим . Тогда
.
Постоянную интегрирования найдем из начального условия, что при t=0 тело покоилось, следовательно С=0. Тогда окончательно имеем
S=2t2+5t (м).
Решить следующие задачи.
4.78 Скорость тела через t с после начала движения равна V=V0+at (м/с). Определить путь, пройденный телом за это время.
4.79 Скорость прямолинейного движения тела в любой момент времени t равна V=3t2+4t (м/с). Найти расстояние, пройденное телом в любой момент времени от начала отсчета, если через 2 с оно равно 15 м.
4.80 В любой момент времени ускорение тела а= (м/с2).Найти зависимость пройденного пути от времени движения, зная, что тело начинает двигаться из состояния покоя с начальной скоростью 3 м/с.
4.81 В любой момент времени скорость тела V=cost (м/с). Найти закон движения тела, зная, что в момент времени t=2 с пройденное от начала отсчета расстояние равно 4 м.
4.82 Сила, действующая на тело в направлении движения, меняется со временем по закону F=6t (Н). Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент начала отсчета она была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.
4.83 На диск действует постоянный вращающий момент силы М=2 Нм. Найти закон изменения угловой скорости и угла поворота диска с течением времени, если в начальный момент времени угловая скорость была 30 рад/с, а угол поворота равен нулю. Момент инерции диска 0,02 кгм2.
4.84 Ток в цепи, содержащей конденсатор, меняется по закону
I=Imaxsint (А), где Imax и - постоянные величины. Как изменяется со временем заряд конденсатора, если в момент времени, когда ток максимален, заряд равен нулю?
4.85 Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V0, определяется по формуле V=V0-gt (м/с). На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t с после броска?
§1.Определенный интеграл и его непосредственное
интегрирование.
Определенным интегралом в пределах от а до b от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента x от значения x=a до значения x=b:
.
Основные свойства определенного интеграла
|
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
, где С- постоянная величина. |
Рассмотрим следующие примеры.
1). Вычислить интеграл
.
Найдем одну из первообразных F(x) для функции 4x3 и вычисляем значение определенного интеграла:
.
2). Вычислить интеграл
.
Используя правило вычисления определенного интеграла и его свойства, получим:
3). Вычислить интеграл
.
Первообразную F(x) для функции получим, вычислив неопределенный интеграл. Для этого введем новую переменную
U=sinx,
тогда
dU=cosxdx.
Неопределенный интеграл примет вид
Отсюда и определенный интеграл равен
.
4). Вычислить интеграл
.
Для нахождения соответствующего неопределенного интеграла применим формулу интегрирования по частям, т.е. полагая, что
Отсюда
Тогда .
Следовательно,
Вычислить определенные интегралы:
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
§2. Приложение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.
Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси абсцисс , вычисляется по одной из следующих формул:
, если на отрезке ;
, если на отрезке .
Площадь S фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и и двумя прямыми x=a и x=b, где на отрезке, вычисляется по формуле
.
Рассмотрим примеры.
1). Вычислить площадь, ограниченную параболой , прямыми x=2, x=4 и осью абсцисс.
Площадь вычислим, ипользуя формулу . Тогда
2). Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми и осью ординат (рис.3).
Рис. 3
При вычислении искомой площади учтем, что изменены роли осей координат, т.е.:
3). Вычислить площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы , прямыми x=-3, x=-1 и осью абсцисс.
На отрезке функция отрицательна. Поэтому для вычисления площади рассматриваемой фигуры воспользуемся формулой
.
Получим
4). Вычислить площадь между линиями .
Рис.4
Искомая площадь изображена на рис. 4 и представляет собой разность между площадью прямоугольного треугольника OMx0 и площадью криволинейного треугольника, ограниченного сверху участком параболы:
.
Абсциссу x0 точки пересечения графиков находим, решая совместно уравнения , откуда .
Подставляя полученное значение верхнего предела интегрирования, получаем
Вычислить площадь, ограниченную гиперболой, осью абсцисс и ординатами .
Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями . Изобразить фигуру графически.
Найти площадь фигуры, заключенной между осью абсцисс и кривой .
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми и осью абсцисс.
Вычислить площадь фигуры, образованной линиями .
Определить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .
Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми и осью абсцисс.
Вычислить площадь между линиями и .
Определить площадь, ограниченную экспонентой , осью абсцисс и ординатами .
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , осью абсцисс и прямыми .
§3. Приложение определенного интеграла к решению физических задач.
Рассмотрим решение следующих задач.
1). Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону мА. Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершаемую током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.
За малый интервал времени dt, когда ток практически не меняется, на сопротивлении R совершается работа . За время всего импульса будет совершена работа
.
Подставляя в полученное выражение значение тока, получим.
2). Скорость точки равна (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за время t=4с, прошедшее от начала движения.
Найдем путь , пройденный точкой за бесконечно малый промежуток времени . Так как в течение этого времени скорость можно считать постоянной, то . Интегрируя, имеем
3). Найти силу давления жидкости на вертикальную треугольную пластину с основанием a и высотой h, погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит на поверхности.
Систему координат расположим так, как показано на рис. 5.
Рассмотрим горизонтальную бесконечно малую полоску толщиной dx, находящуюся на произвольной глубине x. Принимая эту полоску за прямоугольник, найдем ее основание EF. Из подобия треугольников ABC и AEF получаем
.
Отсюда
.
Тогда площадь полоски равна
.
Так как сила P давления жидкости на площадку S, глубина погружения которой r, по закону Паскаля равна
,
где - плотность жидкости, g- ускорение силы тяжести, то искомая сила давления на рассматриваемую площадку dS вычисляется по формуле
.
Следовательно, сила давления P жидкости на площадку ABC
.
Решить задачи.
§1.Основные понятия.
Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.
Порядком дифференциального уранения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Например, уравнение - первого порядка.
Функция y=(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.
Решение дифференциального уравнения, содержащее столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением этого уравнения.
Например, для уравнения первого порядка общее решение имеет вид y=(x,с).
Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными решениями.
Для нахождения частного решения дифференциального уравнения задаются начальные условия.
Рассмотрим следующие примеры.
1). Проверить, является ли функция y=cosx решением уравнения
y+y=0.
Найдем y=-sinx, y=-cosx. Подставляя выражения для y и y в данное уравнение, получаем
y+y=-cosx+cosx=0,
т.е. функция y=cosx является решением данного дифференциального уравнения.
2). Общее решение дифференциального уравнения y-3y=0 иммет вид
y=Ce3x.
Найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e3.
Значение произвольной постоянной С, соответствующее некому частному решению, получается в результате подстановки в выражение общего решения заданных начальных условий: e3=Ce3, откуда С=1. Подставляя полученное значение С=1 в общее решение, найдем частное решение y=e3x, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
6.1 Выяснить, являются ли решениями дифференциального уравнения следующие функции:
6.2 Выяснить, являются ли решениями дифференциального уравнения следующие функции:
6.3 Общее решение дифференциального уравнения . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
§2.Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид
Поделив все члены уравнения на , получим уравнение
,
в котором переменные разделены.
Общее решение уравнения находим почленным интегрированием
Например.
1). Найти общее решение уравнения
.
Поделим обе части уравнения на :
.
Интегрируя обе части уравнения, получим
,
откуда
.
Так как С- произвольная постоянная, то ее можно заменить на . Тогда
,
это и есть общее решение данного уравнения.
2). Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Найдем общее решение данного уравнения. Для этого разделим переменные:
или
.
Интегрируя, получаем
.
Используя начальные условия, подставляем в выражение общего решения заданные значения переменных , тем самым определяем значение производной постоянной С:
.
Из последнего равенства получаем С = -1.
Итак, искомое частное решение :
.
Найти общее решение дифференциальных уравнений.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Найти общее и частное решение дифференциальных уравнений:
§3. Однородные дифференциальные уравнения.
Уравнения вида называется однородным уравнением.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=Ux, где U- новая искомая функция. Дифференцируя равенство y=Ux, получим
.
Подставив выражения y и в уравнение, имеем
Это уже уравнение с разделяющимися переменными, найдя его общее решение и заменив U на , получим общее решение исходного уравнения.
Например.
1). Найти общее решение дифференциального уравнения
Запишем уравнение следующим образом
.
Поделим числитель и знаменатель на х2:
, (*)
т.е. получим y как функцию от . Это означает, что данное уравнение однородное. Для решения этого уравнения введем новую функцию U=.
Тогда
y=Ux, .
Используя замену запишем уравнение (*) в виде:
Интегрируя последнее выражение, получим
Заменяя в полученном равенстве U отношением , окончательно имеем
.
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
|
6.18. |
. |
6.19. |
. |
|
6.20. |
. |
6.21. |
. |
Найти частное решение дифференциальных уравнений:
|
6.22. |
6.23
6.24.
|
6.25 |
. |
§4. Задачи на составление дифференциальных уравнений.
Рассмотрим конкретный пример.
Скорость распада радия пропорциональна его имеющемуся количеству R. Найти закон распада радия, если известно, что через 1600 лет останется половина первоначального количества. Какой процент радия окажется распавшимся через 100 лет?
Решение. Пусть R- количество радия в момент времени t, а R0- его первоначальное количество. Тогда скорость распада радия равна и является отрицательной величиной, т.к. R с течением времени убывает. Согласно условию задачи имеем: , где k>0 - коэффициент пропорциональности, подлежащий определению. Интегрируем полученное уравнение:
Осталось найти k и C. Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальным условием: R=R0 в начальный момент времени t=0. Тогда R0=С. Итак, закон распада радия имеет вид
Для нахождения k воспользуемся следующим условием: при t=1600. Отсюда
Таким образом, окончательно получаем
При t=100 имеем
Следовательно, через 100 лет распадается 4,2% первоначального запаса радия.
Решить задачи.
Тело за 10 мин охлаждается от 100 до 60С. Температура окружающего воздуха равна 20С. Считая скорость остывания тела пропорциональной разности температур тела и окружающего его воздуха, определить, за какое время тело остынет до 30С. Указание. Пусть Т- температура тела в момент времени t. Тогда дифференциальный закон охлаждения тела имеет вид
.
6.27. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 1,5 м/с. Через 4с после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 1 м/с. Считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки, найти ее скорость через 50с после остановки мотора. Указание. Пусть V- скорость лодки после выключения мотора в момент времени t. Тогда зависимость между V и t имеет вид , где m- масса лодки.
6.28. Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 2м поглощается 1/3 первоначального светового потока. Определить, какой процент первоначального светового потока дойдет до глубины 4м. Указание. Пусть Q- световой поток, падающий на поверхность на глубине h. Тогда dQ = - kQdh.
§ 1. Основные понятия
Теория вероятности и методы математической статистики широко используются при изучении заболеваемости, физического развития населения, физиологических и биохимических показателей. Это обусловлено тем, что многим биологическим явлениям свойственны статистические закономерности, которые обнаруживаются при изучении случайных совокупностей.
Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым (статистическим) случайным событиям, и их количественную оценку. Математическая статистика позволяет систематизировать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.
Важнейшими понятиями теории вероятности и математической статистики являются понятия: «случайное событие», «вероятность случайного события», «случайная величина».
Случайным событием А называют событие, которое в одинаковых условиях эксперимента может произойти, а может и не произойти, и о появлении которого не может быть сделано точного предсказания.
В математической статистике вероятностью случайного события называют предел, к которому стремится относительная частота события при неограниченном увеличении числа испытаний n:
где – количество появлений события А.
Переменные величины, которые принимают различные значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств, называют случайными. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайную величину называют дискретной, если она принимает счетное множество значений (число больных на приеме у врача, число дней нетрудоспособности).
Случайная величина называется непрерывной, если она принимает любые значения внутри какого-либо интервала (рост человека, масса тела человека).
Обычно отдельные значения случайной величины появляются с определенной вероятностью. Соотношение, устанавливающее связь между значением случайной величины и соответствующей ей вероятностью называют законом распределения. Закон распределения можно представить в виде статистического ряда-таблицы, где указаны значения случайной величины и их вероятности (для дискретной величины), графически (для непрерывной величины) и аналитически.
Дискретная случайная величина задается функцией вероятности – зависимостью вероятности случайной величины от ее значения :
.
Непрерывная случайная величина задается функцией распределения вероятностей . Функция распределения вероятностей, или плотность вероятности, является первой производной вероятности случайной величины по ее значению
.
Отсюда следует, что
, (1)
или, интегрируя это выражение в соответствующих пределах, находим вероятность того что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале :
. (2)
§ 2. Числовые характеристики распределения
случайных величин
Обычно для описания распределения случайной величины бывает достаточно определить несколько числовых характеристик (параметров). Наиболее распространенные из них: математическое ожидание (среднее значение) случайной величины , дисперсия случайной величины и среднее квадратичное отклонение случайной величины .
Математическое ожидание – наиболее вероятное значение случайной величины. Для дискретных величин оно равняется сумме произведений каждого возможного значения на его вероятность :
, (3)
где n-количество значений случайной величины.
Для непрерывных случайных величин математическое ожидание рассчитывается так:
. (4)
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение является показателями рассеяния, вариации, изменчивости случайной величины.
Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
. (5)
Для дискретных случайных величин дисперсия вычисляется как:
, (6)
а для непрерывных случайных величин так:
. (7)
Среднее квадратичное отклонение вычисляется по формуле:
.
Эта величина равна среднему квадратичному отклонению случайной величины от ее математического ожидания. Она, в отличие от дисперсии, выражается в единицах той же размерности, что и изучаемая величина.
§3. Нормальный закон распределения случайных величин
Функция плотности вероятностей нормального закона распределения случайных величин имеет следующий вид:
, (9)
где – основание натурального логарифма, – математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение случайной величины .
График этой зависимости называется кривой нормального закона распределения или кривой Гаусса (рис.1). Кривая имеет колоколообразную форму, она симметрична и асимптотически приближается к нулю. Из рисунка видно, что наиболее вероятным значением случайной величины является математическое ожидание . При отклонении величины в большую или меньшую сторону вероятность ее уменьшается.
Рис. 1
На кривой имеются две характерные точки, где выпуклость ее переходит в вогнутость. Абсциссы этих точек равны и .
Таблица 1
|
Интервал |
Р,% |
||
|
68,3 |
|||
|
95,0 |
|||
|
95,5 |
|||
|
99,0 |
|||
|
99,7 |
|||
|
Здесь через обозначено . |
Зная функцию плотностей вероятностей, можно рассчитать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений . Например, вероятность попадания в интервал между значениями и равна:
,
или, графически, вероятность попадания оказывается равной площади криволинейной трапеции, заштрихованной на графике, приведенном на рис.1в.
Рассчитано (табл.1), что вероятность появления случайной величины в интервале составляет 0,68, в интервале – примерно 0,95, а в интервале вероятность появления случайной величины составляет 0,997.
§4. Генеральная совокупность.
Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
Генеральной совокупностью случайной величины называют совокупность всех значений данной величины, которая подлежит изучению. Однако в реальных условиях эксперимента невозможно изучить всю совокупность значений случайной величины – генеральную совокупность, поэтому исследования ведутся выборочно.
Часть значений случайной величины, которая отобрана для изучения, называется выборочной совокупностью или выборкой.
Отдельные значения случайной величины называются вариантами Число, указывающее сколько раз встречается данная варианта, называется частотой
Результаты серии измерений записывают в виде вариационного ряда, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания с указанием частоты. Если случайная величина является непрерывной, то строят интервальный ряд: ряд разбивается на равные интервалы с указанием суммарной частоты вариант, входящих в интервал.
Затем решается вопрос, к какому виду распределения относится изучаемая выборка. Одним из методов определения закона распределения случайной величины по выборке является метод анализа гистограммы. Гистограмма – это столбчатая диаграмма (histos – столб) (рис.2). Для ее построения по оси абсцисс откладываются значения интервалов. На отрезках, соответствующих интервалам, строят прямоугольники высота которых пропорциональна суммарной частоте вариант в интервале. Соединив середины верхних сторон прямоугольников плавной линией, получают кривую эмпирического происхождения, которую сравнивают теоретическими кривыми.
Рис. 2
Все дальнейшие расчеты и рассуждения относятся к нормальному закону распределения.
При изучении выборки определяют ее параметры (числовые характеристики):
среднее арифметическое выборки (выборочную среднюю) , дисперсию выборки и среднее квадратичное отклонение выборки
,
где n-общее число наблюдений (объем выборки), k – число вариант.
Для большей выборки при n30 вычисление дисперсии производится по формуле:
.
Так как выборка всегда ограничена количественно, экспериментальные числовые характеристики (параметры) лишь приблизительно отражают изучаемое распределение, поэтому выборочная средняя , дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются только оценкой среднего значения (математического ожидания) дисперсии и среднего квадратичного отклонения изучаемого распределения, т.е. генеральной совокупности.
Среднее квадратичное отклонение выборки является мерой отклонения любой варианты выборки от случайной величины.
Мерой отклонения среднего арифметического выборки от является средняя ошибка среднего арифметического . Средняя ошибка, в свою очередь, представляет собой среднее квадратичное отклонение среднего арифметического от случайной величины.
Предположим, что из единой генеральной совокупности берется I разных выборок. Для определенности будем считать их объемы одинаковыми и равными n. Их выборочные средние ()являются случайными величинами, для которых можно найти закон распределения и соответствующие параметры. Оказывается, что разные распределены по нормальному закону, а их математическое ожидание равно математическому ожиданию генеральной совокупности. Это позволяет при достаточно большой выборке ее среднее значение приближенно принять за генеральную среднюю, т.е. .
Однако для дисперсий положение несколько иное. Математическое ожидание дисперсий различных выборок, составленных из генеральной совокупности, отличается от генеральной дисперсии. Поэтому для оценки генеральной дисперсии вводят исправленную выборочную дисперсию
.
Эта величина не является ни выборочной, ни генеральной дисперсией. Однако если имеется много выборок одной генеральной совокупности, среднее значение (математическое ожидание) S приближается к генеральной дисперсии. При большой выборке , что видно из предыдущей формулы.
Такого рода оценка параметров генеральной совокупности или каких-либо измерений называется точечной.
§5. Интервальная оценка. Интервальная оценка
при малой выборке. Распределение Стьюдента
Точечная оценка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. При небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками.
В этом случае указывается интервал (доверительный интервал или доверительные границы), в котором с определенной (доверительной) вероятностью , которую иногда называют «надежностью», находится истинное значение исследуемой или измеряемой величины, например, среднее значение генеральной совокупности.
Иначе говоря, определяет вероятность, с которой осуществляются следующие неравенства:
,
где положительное число характеризует точность оценки. Интервал значений от до называется доверительным интервалом. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим получается доверительный интервал и, наоборот, чем больший доверительный интервал мы задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.
Сказанное выше относилось к большому числу измерений. При малом числе измерений (условно будем считать, что при n <30) распределение случайных величин носит несколько отличный от закона нормального распределения характер. Это распределение было выявлено в 1908 году английским математиком Госсетом, опубликовавшим работу на эту тему под псевдонимом «Стьюдент» -студент. Естественно, что при данной надежности доверительный интервал при малом числе измерений в серии должен быть шире, чем при большом числе измерений (чем меньше число измерений, тем больше среднее число измерений отличается от математического ожидания) и должен зависеть не только от, но и от n.Учитывая это, было предложено, в случае небольшого числа измерений, полуширину доверительного интервала (отклонение выборочного среднего от генерального среднего вычислять через S и некоторый параметр , который называется коэффициентом Стьюдента и который выбирается по заданным и n по таблицам (см. табл.1):
,
но тогда <.
Таблица 1
Значение коэффициента Стьюдента
|
n |
0.95 |
0.99 |
0.999 |
n |
0.95 |
0.99 |
0.999 |
|
1 |
12.706 |
63.657 |
636.619 |
18 |
2.103 |
2.878 |
3.922 |
|
2 |
4.303 |
9.925 |
31.598 |
19 |
2.093 |
2.861 |
3.883 |
|
3 |
3.182 |
5.841 |
12.941 |
20 |
2.086 |
2.845 |
3.850 |
|
4 |
2.776 |
4.604 |
8.610 |
21 |
2.080 |
2.831 |
3.819 |
|
5 |
2.571 |
4.032 |
6.859 |
22 |
2.074 |
2.819 |
3.792 |
|
6 |
2.447 |
3.707 |
5.950 |
23 |
2.069 |
2.807 |
3.767 |
|
7 |
2.365 |
3.499 |
5.405 |
24 |
2.064 |
2.797 |
3.745 |
|
8 |
2.306 |
3.355 |
5.041 |
25 |
2.060 |
2.787 |
3.725 |
|
9 |
2.262 |
3.250 |
4.781 |
26 |
2.056 |
2.779 |
3.707 |
|
10 |
2.228 |
3.169 |
4.587 |
27 |
2.052 |
2.771 |
3.690 |
|
11 |
2.201 |
3.106 |
4.487 |
28 |
2.048 |
2.763 |
3.674 |
|
12 |
2.179 |
3.055 |
4.318 |
29 |
2.045 |
2.756 |
3.659 |
|
13 |
2.160 |
3.012 |
4.221 |
30 |
2.042 |
2.750 |
3.646 |
|
14 |
2.145 |
2.977 |
4.140 |
40 |
2.021 |
2.704 |
3.551 |
|
15 |
2.131 |
2.947 |
4.073 |
60 |
2.000 |
2.660 |
3.460 |
|
16 |
2.120 |
2.921 |
4.015 |
120 |
1.980 |
2.617 |
3.374 |
|
17 |
2.110 |
2.898 |
3.965 |
|
1.960 |
2.576 |
3.291 |
Анализ табл. 1 для значений коэффициента Стьюдента показывает, что при числе наблюдений 30 и более (большая выборка) при доверительной вероятности 0,95 он оказывается равным 2, при доверительной вероятности 0,997 - Это означает, что для большой выборки мы опять пришли к нормальному закону распределения или, другими словами, распределение Стьюдента перешло в распределение Гаусса. Приведем (рис.3) график зависимости коэффициента Стьюдента от числа измерений для , который хорошо иллюстрирует только что сделанный вывод. Достаточно хорошо аппроксимировать его можно зависимостью:
.
Рис. 3
§6. Проверка гипотез. Критерии значимости
Очень часто перед исследователем встает задача, выяснить, являются ли различия между средними арифметическими двух выборок достоверными или случайными (недостоверными), т.е. относятся ли эти выборки к двум разным генеральным совокупностям или к одной и той же (например, достоверны ли различия показателей физического развития детей двух соседних районов, достоверно ли улучшение физиологических показателей у больных при применении нового метода лечения и т.д.).
В этом случае для анализа используется так называемый t-тест, или t-критерий Стьюдента, который называют еще критерием достоверности, или критерием значимости.
В рассматриваемом нами случае t-критерий можно рассчитать как
,
где - ошибка разности.
Полученное значение t-критерия сравнивают с табличными значениями . Определяют, какой вероятности при данном объеме изучаемых выборок соответствует полученное значение t. Например, если сравниваются большие выборки и t равно или больше 2, то это значит, что вероятность различий средних арифметических двух сравниваемых выборок равна 0,95 и более. При медико-биологических исследованиях различия с такой вероятностью считаются достоверными. Если t меньше 2, то это означает, что различий действительно нет, или число наблюдений недостаточно, а наблюдаемая разница случайна.
§ 7. Элементы корреляционного и регрессионного анализа
Взаимосвязь между различными параметрами, признаками, присущими живому организму, является объектом пристального внимания врача. Анализ этих взаимосвязей, постоянно меняющихся в процессе жизнедеятельности, – один из основных этапов в клиническом изучении течения заболевания и выздоровления, определении прогноза заболевания.
7.1. Характер взаимосвязи между признаками
Все многообразие связей между отдельными признаками, свойствами явлений или параметрами функционирующего объекта можно разделить на две основные группы: функциональные и статистические.
Зависимость, при которой одному и тому же числовому значению первого признака соответствует только одно числовое значение второго признака , называется функциональной. Т.е. можно записать, что . Примером может служить закон Ома, который устанавливает прямо пропорциональную зависимости между напряжением и током.
В живой природе такая однозначная четкая взаимосвязь встречается редко. Чаще проявляется взаимосвязь, при которой одному и тому же числовому значению первого признака соответствует несколько (ряд) случайных значений другого признака. Такая взаимосвязь называется корреляционной связью (от лат. сorrelatio – соотношение, связь). Простейшим примером может служить наблюдение: при данном росте человек может иметь различный вес.
Существуют несколько видов выражения корреляционной взаимосвязи.
Если признаки выражены количественными (числовыми) характеристиками, то используют коэффициент парной и ранговой корреляции, корреляционное отношение, коэффициент множественной и частной корреляции, коэффициент множественной детерминации.
Связь между признаками, изменения которых носит качественный характер (гиперпигментация кожи, увеличенная и плотная печень и т.п.) изучают используя коэффициент качественной альтернативной корреляции (тертрахорического показателя), критерия 2, показателя сопряженности Пирсона и Чупрова и др. Имеются методы и для оценки качественно–количественной корреляции (у одного признака изменяется числовое значение, а у другого – качественный показатель (например, при стенокардии: повышение артериального давления и бледность покровов).
7.2. Проведение корреляционного анализа
с помощью коэффициента парной корреляции
Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного типа объектов. Из этих данных можно получить качественно новую информацию – о взаимосвязи этих параметров.
Например, измеряем рост и вес человека, или рост и размер обуви. Каждое измерение представлено точкой в двумерном пространстве:
Рис. 4
Несмотря на то, что величины носят случайный характер, в общем, наблюдается некоторая зависимость – величины коррелируют. В данном случае это положительная корреляция (при увеличении одного параметра второй тоже увеличивается).
Возможны также такие случаи:
|
Отрицательная корреляция: |
Отсутствие корреляции: |
Рис. 5 Рис.6
Связь между величинами может быть и нелинейной (рис. 7).
Рис. 7
Взаимосвязь между переменными необходимо охарактеризовать численно, чтобы, например, различать случаи, приведенные на рис.8 и рис.9.
Рис. 8 Рис. 9
Все, что мы видим на приведенных выше рисунках, называют диаграммой рассеивания.
Если облако точек напоминает очертания некоторой линии, то можно предполагать, что мы видим на диаграмме рассеяния именно такую по форме зависимость, однако искаженную воздействием как случайных, так и неучтенных факторов, вызывающим отклонение точек от теоретической формы.
Поскольку наиболее простой формой в математике является прямая пропорциональная зависимость, то в корреляционном и регрессионном анализе наиболее популярны линейные модели.
Для численных оценок вводится коэффициент корреляции (коэффициент парной корреляции) . Для линейной связи переменных он рассчитывается по формуле Пирсона.
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1. В данном случае это линейный коэффициент корреляции, он показывает линейную взаимосвязь между и xi. Коэффициент корреляции равен 1 (или -1), если связь линейна.
Коэффициент парной корреляции вычисляется для количественных признаков. Коэффициент корреляции симметричен, т.е. не изменяется, если X и Y поменять местами, и является величиной безразмерной.
Коэффициент корреляции не изменяется при изменении единиц измерения признаков X и Y.
Сам по себе коэффициент корреляции не имеет содержательной интерпретации. Однако его квадрат (r2), называемый коэффициентом детерминации (обозначается d и обычно выражается в %), имеет простой смысл – это показатель того, насколько изменения зависимого признака объясняются изменениями независимого.
Более точно, это доля дисперсии (разброса) одного признака, объясняемая влиянием другого (если связь интерпретировать как причинно-следственную).
Из определения коэффициента детерминации следует, что он принимает значения в диапазоне от 0% до 100%.
Если две переменные функционально линейно зависимы (точки на диаграмме рассеяния лежат на одной прямой), то можно сказать, что изменение одной из них полностью объясняется изменением другой. Это как раз тот случай, когда коэффициент детерминации равен 100% (при этом коэффициент корреляции может быть равен как 1, так и –1).
Коэффициенты корреляции и детерминации
Если две переменные линейно независимы (метод наименьших квадратов, о котором пойдет речь в следующем параграфе, дает горизонтальную прямую), то одна из них в своих изменениях никоим образом не определяет другую – в этом случае коэффициент детерминации равен нулю. В остальных случаях коэффициент детерминации указывает, какая часть изменений одной переменной объясняется изменениями другой переменной.
Чем выше по модулю (по абсолютной величине) значение коэффициента корреляции, тем сильнее связь между признаками.
Принято считать, что коэффициенты корреляции, которые по модулю больше 0,7, говорят о сильной связи (при этом коэффициенты детерминации > 50%, т.е. один признак определяет другой более чем наполовину). Коэффициенты корреляции, которые по модулю меньше 0,7, но больше 0,5, говорят о связи средней силы (при этом коэффициенты детерминации меньше 50%, но больше 25%). Наконец, коэффициенты корреляции, которые по модулю меньше 0,5, говорят о слабой связи (при этом коэффициенты детерминации меньше 25%).
Оценить глубину корреляционной связи и характер связи можно, пользуясь табл. 2:
Таблица 2.
|
Глубина связи |
|
|
=0 |
Отсутствует |
|
Слабая |
|
|
Умеренная |
|
|
Значительная |
|
|
Сильная |
|
|
Очень сильная |
|
|
=1 |
Полная |
Если >0, то связь прямая (положительная), при <0 связь – обратная (отрицательная).
Методами корреляционного анализа решаются задачи:
7.3. Элементы регрессионного анализа
После того, как установлено наличие корреляционной связи между двумя изучаемыми признаками (явлениями), можно попытаться установить закономерность зависимости одного признака , являющегося в нашем случае функцией, от другого (аргумента). Зная закономерность , можно в дальнейшем прогнозировать течение процесса, обладающего признаками и , изучать его динамику.
Чтобы получить уравнение , требуется аппроксимировать (лат. approximare – приближаться) эмпирическую линию регрессии (ЭЛР), которую получают путем соединения точек диаграммы (рис. 10) подходящей теоретической линией регрессии (ТЛР).
а б
Рис. 10
На рис.10 а) показана нелинейная связь между величинами, а на рис.10.б) – линейная.
Выше мы говорили о простейшей корреляционной связи – линейной. Поэтому все внимание обратим на рис. 10 б. Для этого случая уравнение связи следует искать в виде теоретического уравнения прямой:
.
Для того чтобы получить конкретное уравнение связи необходимо определить коэффициенты a и b. Определение коэффициентов уравнения ТЛР производится различными способами, самым точным из них является метод наименьших квадратов. Название метода происходит из основного требования замены ЭЛР на ТЛР – аппроксимация будет осуществлена наилучшим образом, если ТЛР наилучшим образом будет приближаться к ЭЛР, в этом случае сумма отклонений значений функции из уравнения ТЛР – yТ от значений функции в эксперименте – yЭ (для одного и того же значения аргумента x) будет минимальной:
.
Для устранения влияния знака разности берут квадраты:
,
но , тогда можно записать:
.
Известно, что если функция в некоторой точке имеет минимум, то производная ее в этой точке равна 0. Поэтому приравниваем нулю производные суммы по параметрам a и b. Полученную систему уравнений решаем относительно a и b. Полученные значения коэффициентов подставляем в уравнение и получаем уравнение теоретической линии регрессии, наилучшим образом описывающее закон связи коррелирующих признаков x и y.
Поиск аппроксимирующего уравнения – это искусство, которым можно овладеть, только в результате накопления большого опыта. На помощь экспериментаторам в настоящее время пришли многочисленные программы для обработки экспериментальных данных. В частности, кривую ТЛР на рис. 10 а) можно описать при помощи уравнения
Конечно, без помощи вычислительной машины и соответствующих программ найти все коэффициенты в этом уравнении довольно трудно. Но вряд ли даже исследователь будет пользоваться этим уравнением: слишком много параметров. Оказывается можно подобрать несколько кривых ТЛР ( теоретической линии регрессии). При обработке экспериментальных данных исследователю помогает еще здравый смысл, представление о возможном характере взаимосвязи величин. Все это позволяет выбрать наиболее подходящее уравнение для описания полученных экспериментальных закономерностей.
Чаще при обработке эксперимента на начальном этапе исследователь ограничивается графическим проведением ТЛР с учетом метода наименьших квадратов: кривая должна быть плавной и равноотстоять от всех экспериментальных точек.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
В работе статистически обрабатываются данные измерения роста определенной группы населения. Необходимо построить гистограмму, вычислить среднее арифметическое дисперсию D, среднее квадратичное отклонение , среднюю ошибку среднего арифметического n, оценить достоверность различий средних арифметических двух выборок, рассчитав критерий достоверности (Стьюдента) t.
1. Взять результаты измерений роста5 100 человек, сведенные в вариационный ряд (см. приложение) и перенести их в таблицу 1.(100 измерений взято для удобства расчетов). Вычислить и занести в таблицу произведения для каждого значения варианты и их сумму.
Таблица 1
|
№ варианты |
Значение варианты xi |
Частота варианты li |
xili |
|
1. |
|||
|
2. |
|||
|
. |
|||
|
. |
|||
|
k |
|||
|
Сумма |
_ |
100 |
2. Рассчитать среднее арифметическое роста , где n-сумма частот вариант (общее число измерений), k- общее число вариант. Результат округлить до целых единиц.
3. Составить интервальный вариационный ряд. Для этого найти приблизительную ширину интервала по формуле:
где разность между максимальной и минимальной вариантами; разбить вариационный ряд на интервалы с границами Результаты занести в таблицу 2. Для того, чтобы значение варианты – границы не попало в оба соседних интервала, в данный интервал включить значение левой границы а значение правой включить в следующий интервал.
Например, если вариационный ряд начинается так:
|
Xi ,см |
171 |
172 |
173 |
174 |
175 |
И т.д. |
|
1 |
1 |
3 |
2 |
6 |
то при ширине интервала 2см границы интервалов будут следующие:
и т.д.
Таблица 2.
|
№ интерв |
Границы интервала |
Середина интерв. |
Суммарная частота вариант в интервале |
|||
|
1. |
||||||
|
2. |
||||||
|
3. |
||||||
|
4. |
||||||
|
5. |
||||||
|
6. |
||||||
|
7. |
||||||
|
8. |
||||||
|
Сумма |
_ |
_ |
100 |
_ |
_ |
4. Рассчитать и занести в таблицу 2 следующие величины:
а) значения середины каждого интервала
В нашем примере они имеют следующие значения:
б) суммарную частоту вариант в интервале (при этом помните, что правая граница входит в следующий интервал).
В нашем примере эти величины имеют следующие значения
в) значения
г) сумму произведений
5. Рассчитать дисперсию по формуле ,где I-нумерация интервалов, к*- общее число интервалов.
6. Рассчитать среднее квадратичное отклонение .
7. Рассчитать среднюю ошибку среднего арифметического
(округлить до одной значащей цифры).
8. Результат записать в следующем виде:
.
9. Построить гистограмму, являющуюся графическим изображением интервального вариационного ряда (см. табл. 2).
С этой целью по оси абсцисс отложить отрезки, соответствующие интервалам. По оси ординат отложить отрезки, равные суммарным частотам вариант в интервалах Построить столбчатую диаграмму. Соединить плавной линией середины верхних сторон прямоугольников гистограммы. Полученную кривую сравнить с прямой нормального распределения и сделать вывод о характере эмпирического распределения.
10. Оценить достоверность различий средних арифметических двух выборок. Для этого вычислить критерий достоверности по формуле
,
где - средние арифметические двух разных выборок, m1,m2 –соответствующие им средние ошибки.
11. Определить интервал роста. Значение варианты xi ,попадающие в интервал , принято называть «средними» («рост данного человека средний»), попадающие
в интервал - «выше среднего»,
в интервал - «ниже среднего»,
в интервал- «большими»,
в интервал- «малыми».
Руководствуясь этим, оцените величину своего роста по результатам статистической обработки роста соответствующей группы населения.
2.1. Измерено значение пульса у 25 студентов: 69, 71, 83, 66, 79, 74, 74, 79, 66, 71, 71, 74, 74, 83, 74, 79, 71, 74, 83, 74, 79, 74, 87, 79, 69. Рассчитать среднее значение пульса, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95.
2.2. Измерен диаметр эритроцитов у кролика (размер дан в микрометрах):6,0; 5,6; 5,6; 6,8; 7,4; 6,0; 7,9; 7,4; 6,3; 6,3; 6,8; 7,2; 6,0; 6,3; 6,3; 7,4; 7,2; 6,8; 6,3; 7,2; 6,8; 6,3; 6,8; 7,2; 6,3. Рассчитать среднее значение диаметра эритроцита, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95.
2.3. Проведены измерения систолического давления у мужчины в начальной стадии травматического шока (давление измерено в мм.рт.ст.): 140, 134, 158, 152, 140, 146, 152, 158, 122, 134, 140, 152, 148, 146, 158, 146, 134, 122, 140, 152, 148, 140, 146, 152, 146.
Рассчитать среднее значение систолического давления, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95 .
2.4. Проведены измерения диастолического давления у женщин (диагноз: дистония) (давление измерено в мм.рт.ст.): 62, 50, 62, 68, 59, 62, 73, 54, 62, 65, 62, 59, 54, 62, 68, 62, 59, 65, 68, 59, 62, 59, 62, 68, 54. Рассчитать среднее значение диастолического давления, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95.
2.5. Изучался рост (см) мужчин возраста 25 лет для сельской местности. По случайной выборке объема: 175, 167, 168, 169, 168, 170, 174, 173, 177, 172, 174, 167, 173, 172, 171, 171, 170, 167, 174, 177, 171, 172, 173, 169, 171, 173, 173, 168, 173, 172, 166, 164, 168, 172, 174.
Рассчитать среднее значение роста, дисперсию, средне квадратичное отклонение, среднюю ошибку среднего арифметического. Правильно записать результат. Построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95 .
ПРИЛОЖЕНИЕ.
П.1. Правила приближенных вычислений.
П.1.1. Запись приближенных чисел.
Результат измерений представляет собой приближенное число, точность которого определяется ошибкой.
Условимся записывать приближенные числа так, чтобы ошибка последней цифры не превышала десяти единиц соответствующего разряда. При такой записи все цифры числа, кроме последней, будут верными. Последняя цифра называется сомнительной, все цифры правее сомнительной – неверными.
При записи окончательного результата все неверные цифры отбрасываются с соблюдением правил округления. Если приближенное число входит в расчетную формулу, в нем сохраняют одну неверную цифру, запасную.
Например, если результат измерения равен 1,2763, а ошибка – 0,02, то окончательный результат – 1,28±0,02 (отброшены две неверные цифры, оставлены две верные и одна сомнительная), если же результат измерения входит в вычисления, то используется число 1,276, где цифра 6 – запасная.
В таблицах математических и физических величин приводятся числа только с верными цифрами и одной сомнительной, за максимальную (т.е. предельную) ошибку округления принимается половина единицы сомнительной цифры.
Пример 1. Из таблиц можно найти значение . Ошибка округления принимается равной 0,00005.
Пример 2. Из таблицы плотность ртути при 20 0С равна 19,5458·103 кг/м3. Ошибка округления равна 0,00005·103 кг/м3.
П.1.2. Правила округления
Хотя правила округления считаются известными, следует напомнить, что:
П.1.3. Вычисления с приближенными числами.
Точность результата математических операций с приближенными числами определяется количеством значащих цифр в этих числах.
Значащими цифрами числа называется число надежно установленных цифр в записи результата измерения. Так в записи 23,21 см мы имеем четыре значащих цифры, а в записи 0,062 см – две.
В процессе измерений или в ходе вычислений не следует сохранять в окончательном ответе больше знаков, чем имеется значащих цифр в наименее точно измеренной величине.
Результат любого арифметического действия с приближенными числами есть также приближенное число, в котором могут быть и неверные цифры, подлежащие отбрасыванию. Так как сложение и умножение верной цифры и неверной дает неверную, а верной и сомнительной – сомнительную, то результат вычисления, очевидно, не может быть точнее самого неточного числа в исходных данных. Отсюда ясно, что не только окончательные результаты, но и числа в промежуточных выкладках, а также исходные приближенные числа необходимо округлять. Округление надо производить следующим образом.
- при сложении и вычитании все слагаемые округляют до сомнительной цифры, стоящей в самом высшем разряде, а затем производят сложение.
Пример:
Рот вычитании близки по величине чисел возможно потеря относительной точности. Например, в случае разности
исходные данные имеют по 5 значащих цифр, а результат – две, причем только одну верную цифру. Увеличение точности в таких случаях возможно только путем изменения метода измерений (или вычислений) и, следовательно, использования расчетной формулы, не содержащей разности близких величин;
- при умножении и делении в полученном результате будет столько значащих цифр, сколько в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. Аналогично предыдущему следует предварительно округлять все числа, оставляя, если это может повлиять на результат, одну запасную цифру.
Пример: ;
- при возведении в степень и извлечении корня приближенного числа должно быть оставлено значащих цифр столько, сколько их в основании.
Пример: .
В числе, полученном после извлечения корня любой степени, следует оставлять столько значащих цифр, сколько их было в числе под корнем.
Пример: ;
- при логарифмировании в мантиссе приближенного числа берется столько значащих цифр, сколько их в логарифмируемом числе.
Пример:
.
Вычисление погрешности измерений производят с такой же точность, что и вычисление самой измеряемой величины, а это означает, что при записи погрешности в ней будет столько же десятичных знаков, сколько их в записи самого результат. На погрешность правило значащих цифр не распространяется.
Например:
Правильно. Неправильно.
Z= 284 Z= 284,5
Z= 52,7 Z=52.74
Z= 4,750 Z=4,75
ОТВЕТЫ
Глава 4
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Глава 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,24 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
31 |
|
|
8 |
|
|
10 |
|
|
4,25 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
56 |
|
|
|
|
|
2,33 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 6. |
||
|
6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S = -2cost |
|
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
За 30 мин |
|
|
|
1 см/с |
|
|
|
44% |
|
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
Учебное издание
Методические разработки к практическим занятиям по высшей математике и математической статистике
Учебное пособие
для студентов первого курса
медицинских вузов
Авторы- составители:
Кирко Г.Е., Кустова Я.Р., Афанасьев А.Л., Корякина А.Г., Смирнова З.А., Зернина Н.В., Сазонова Н.К., Черемных М.Р.
Редактор Н.А. Щепина
Корректор Е.М. Сторожева
Подписано в печать 2009.
Формат 60х90/16.Усл. печ. л.____________
Тираж ______________экз. Заказ № ___________
Редакционно- издательский отдел
ГОУ ВПО ПГМА им. ак. Е.А. Вагнера Росздрава
614990, г. Пермь,ул. Большевистская,85
Отпечатано в
1 Использовать формулы двойного аргумента
2 Использовать формулу EMBED Equation.3
3 Использовать формулу половинного аргумента: EMBED Equation.3
4 Решения приведенных заданий в главах 4,5,6 даны в конце настоящего пособия.
5 Таблицы измерений роста выдаются преподавателем.