Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4. Примеры решения задач
Пример 1. Максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца приходится на длину волны =0,48 мкм. Считая, что Солнце излучает как черное тело, определить: 1) температуру его поверхности; 2) мощность, излучаемую его поверхностью.
Решение
Согласно закону смещения Вина, искомая температура поверхности Солнца:
, (1)
где b= - постоянная Вина.
Мощность, излучаемая поверхностью Солнца:
, (2)
где - энергетическая светимость черного тела (Солнца), - площадь поверхности Солнца, - радиус Солнца.
Согласно закону Стефана - Больцмана:
, (3)
где = Вт/ - постоянная Стефана - Больцмана.
Подставим записанные выражения в формулу (2), найдем искомую мощность, излучаемую поверхностью Солнца:
. (4)
Вычисляя, получим: Т=6,04 кК; Р=Вт.
Пример 2. Определить длину волны , массу и импульс фотона с энергией = 1 МэВ.
Решение
Энергия фотона связана с дли- ной волны света соотношением: ,
где h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме. Отсюда .
Подставив численные значения, получим: м.
Массу фотона определим, используя формулу Эйнштейна . Масса фотона = кг.
Импульс фотона = кг м/с.
Пример 3. Натриевый катод вакуумного фотоэлемента освещается монохроматическим светом с длиной волны =40 нм. Определить задерживающее напряжение, при котором фототок прекращается. "Красная граница" фотоэффекта для натрия =584 нм.
Решение
Электрическое поле, препят- ствующее движению электронов от катода к аноду, называют обратным. Напряжение, при котором фототок полностью прекращается, называется задерживающим напряжением. При таком задерживающем напряжении ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью , не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. При этом начальная кинетическая энергия фотоэлектронов () переходит в потенциальную (, где е=Кл – элементарный заряд, а - наименьшее задерживающее напряжение). По закону сохранения энергии
= . (1)
Кинетическую энергию электронов найдем, используя уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:
. (2)
Отсюда (3)
Работа выхода электронов Ав определяется красной границей фотоэффекта:
. (4)
Подставив выражение (4) в уравнение (3), получим:
.
Тогда, из уравнения (1) .
Вычисляя, получим В.
Пример 4. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить длину волны де Бройля для протона.
Решение
Длина волны де Бройля определяется по формуле: , (1)
где h – постоянная Планка, - импульс частицы.
По условию задачи кинетическая энергия протона сравнима по величине с его энергией покоя Е0. Следовательно, импульс и кинетическая энергия связаны между собой релятивистским соотношением:
, (2)
где с – скорость света в вакууме.
Используя условие задачи, получим: . Подставив полученное выражение в формулу (1), найдем длину волны де Бройля:
.
Энергию покоя электрона найдем по формуле Эйнштейна , где m0 - масса покоя электрона, с - скорость света в вакууме.
Подставив числовые значения, получим: м.
Пример 5. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U=0,5 кВ. Принимая, что неопределенность импульса электрона равна 0,1 % от его числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Является ли в данных условиях электрон квантовой или классической частицей?
Решение
В направлении движения пучка электронов (ось X) соотношение неопределенностей имеет вид:
, (1)
где - неопределенность координаты электрона; - неопределенность его импульса; - постоянная Планка.
Пройдя ускоряющую разность потенциалов, электрон приобретает кинетическую энергию , равную работе сил электрического поля:
.
Расчет дает значение Ек=500 эВ, что много меньше энергии покоя электрона (Е0 = 0,51 Мэв). Следовательно, в данных условиях электрон является нерелятивистской частицей, имеющей импульс, связанный с кинетической энергией формулой .
Тогда: .
Согласно условию задачи, неопределенность импульса =0,001 = , т.е. <<.
Это значит, что волновые свойства в данных условиях несущественны и электрон может рассматриваться как классическая частица. Из выражения (1) следует, что искомая неопределенность координаты электрона
.
Вычислив, получим 8,51 нм.
Пример 6. В результате перехода из одного стационарного состояния в другое атомом водорода был испущен квант с частотой . Найти, как изменились радиус орбиты и скорость движения электрона, используя теорию Бора.
Решение
Излучение с частотой соответствует длине волны = =102,6 нм (с – скорость света в вакууме), лежащей в ультрафиолетовой области. Следовательно, спектральная линия принадлежит серии Лаймана, возникающей при переходе электрона на первый энергетический уровень (n=1).
Используем обобщенную формулу Бальмера, чтобы определить номер энергетического уровня (k), с которого был совершен переход: .
Выразим из этой формулы k:
.
Подставляя имеющиеся данные, получим k=3. Следовательно, излучение произошло в результате перехода электрона с третьей орбиты на первую.
Значения радиусов орбит и скоростей движения электронов на этих орбитах найдем из следующих соображений.
На электрон, находящийся на стационарной орбите в атоме водорода, со стороны ядра действует сила Кулона
,
которая сообщает ему нормальное ускорение . Следовательно, согласно основному закону динамики:
. (1)
Кроме того, согласно постулату Бора, момент импульса электрона на стационарной орбите должен быть кратен постоянной Планка, т.е.
, (2)
где n = 1, 2, 3 …. – номер стационарной орбиты.
Из уравнения (2) скорость . Подставив это выражение в уравнение (1), получим
.
Отсюда радиус стационарной орбиты электрона в атоме водорода: .
Тогда скорость электрона на этой орбите:
.
Принимая, что до излучения кванта электрон имел характеристики r3, v3, а после излучения r1, v1 несложно получить:
; ,
то есть, радиус орбиты уменьшился в 9 раз, скорость электрона увеличилась в 3 раза.
Пример 7. Электрон в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной =200 пм с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить: 1) вероятность W обнаружения электрона в средней трети "ямы"; 2) точки указанного интервала, в которых плотность вероятности обнаружения электрона максимальна и минимальна.
Решение
1. Вероятность обнаружить частицу в интервале <x< равна:
. (1)
Возбужденному состоянию (n=2) отвечает собственная волновая функция:
. (2)
Подставим (2) в (1) и учтем, что и :
.
Выразив через косинус двойного угла с использованием тригонометрического равенства , получим выражение для искомой вероятности: = == = = 0,195.
2. Плотность вероятности существования частицы в некоторой области пространства определяется квадратом модуля ее волновой функции . Используя выражение (2), получим:
. (3)
Зависимость квадрата модуля волновой функции частицы от ее координаты, определяемая выражением (3), приведена на рисунке.
Очевидно, что минимальная плотность вероятности w=0 соответствует значениям x, при которых .
То есть, ,
где k = 0, 1, 2…
Отсюда .
Максимального значения в пределах ямы плотность вероятности w достигает при условии: . Соответствующие значения .
Как видно из графика зависимости w= w(x), приведенного на рисунке, в интервал <x< попадает только значение . В пределах указанного интервала плотность вероятности w достигает максимального значения на границах интервала при или . Найдем значения w на границах указанного интервала, используя выражение (3):
Как видим, плотность вероятности обнаружить электрон на границах заданного интервала - одинакова. Следовательно, , .
Пример 8. Определить количество теплоты, необходимое для нагревания кристалла NaCl массой m=20г на от температуры Т1 = 2К. Характеристическую температуру Дебая для NaCl принять равной 320К..
Решение
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой m от температуры Т1 до температуры Т2 можно вычислить по формуле:
, (1)
где С – молярная теплоемкость вещества, М – молярная масса.
Согласно теории Дебая, при температуре молярная теплоемкость кристаллических твердых тел определяется выражением:
. (2)
Подставив выражение (2) в (1), и проинтегрировав, получим:
.
Подставив численные значения и произведя вычисления, найдем Q= 1,22 мДж.
Пример 9. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра .
Решение
Дефект массы ядра определим по формуле:
. (1)
Для ядра : Z=5; А=11.
Вычисление дефекта массы выполним во внесистемных единицах – атомных еди- ницах массы (а.е.м.). Необходимые данные возьмем из таблицы (приложение 3):
=1,00783 а.е.м., =1,00867 а.е.м., = 11,00931 а.е.м.
В результате расчета по формуле (1) получим: =0,08186 а.е.м.
Энергию связи ядра найдем также во внесистемных единицах (МэВ), воспользовавшись формулой:
. (2)
Коэффициент пропорциональности = 931,4 МэВ/а.е.м., т.е.
.
После подстановки численных значений получим:
76,24 МэВ.
Удельная энергия связи, по определению, равна:
.
Примечание. Расчет дефекта массы ядра должен проводиться с максимально возможной точностью, т.е. с учетом всех значащих цифр, указанных в табличных данных.
Пример 10. Определить период полураспада радиоактивного изотопа, если известно, что за 1 сутки из 1 млн ядер распадается 175 тысяч.
Решение
Период полураспада связан с постоянной радиоактивного распада соот- ношением:
. (1)
Постоянную радиоактивного распада найдем, используя закон радиоактивного распада:
, (2)
где N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t, - начальное число ядер.
Разделив уравнение (2) на и прологарифмировав обе части, получим:
или .
Отсюда: .
Учет того, что N=- , дает:
.
Подставив это выражение в (1), получим для периода полураспада следующее выражение:
Подстановка численных значений и расчет приводят к результату с.
Примечание. Решая задачи подобного типа, допускается использование внесистемных единиц измерения времени, таких как - час, сутки, год.
Пример 11. При соударении - частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер оказалось ядро атома водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.
Решение
Обозначим неизвестное ядро символом .
Так как - частица представляет собой ядро гелия , запись
реакции будет иметь вид:
.
Применив закон сохранения массового числа, получим:
4+10=1+А,
отсюда А=13.
Применив закон сохранения зарядового числа, получим:
2+5=1+Z,
отсюда Z=6.
По периодической системе элементов найдем, что неизвестное ядро является ядром изотопа углерода .
В окончательном виде реакцию можно записать так:
.
Определим энергию реакции (энергетический эффект) по формуле:
. (1)
Заменив массы ядер массами нейтральных атомов, получим:
,(2)
где - масса электрона.
Упростив уравнение (2), получим:
. (3)
Массы атомов найдем в таблице приложения 3 :
=10,01294 а.е.м., =4,00260 а.е.м.,
=1,00783 а.е.м., =13,00335 а.е.м.
Подставив в (3) массы атомов в а.е.м., а с учетом того, что коэффициент пропорциональности =931,4 МэВ/а.е.м., получим:
Q=4,06 МэВ.
Реакция идет с выделением тепла, т.е. является экзотермической.
Дано: СИ:
=0,48 мкм м
м
Т - ?
Р - ?
Дано: СИ:
=40 нм м
=584 нм м
- ?
Дано:
; -?
Дано: СИ:
U=0,5 кВ 500 В
=0,001
- ?
Дано:
- ?
- ?
- ?
Дано: СИ:
t=1 сут с
Т - ?
Дано:
Z - ? A - ? X - ? Q - ?
Дано:
Ек=Е0/4
Дано: СИ
m=20г 0,02кг
Т1=10К
Q - ?
Дано: СИ:
= 1МэВ Дж
- ?
m - ?
p - ?
Дано: СИ:
=200 пм м
=
=
1) W - ?
2) xmax -?
xmin -?