Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Основные теоремы дифференциального исчисления. Лекция 14.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Понятие о производных высших порядков.
Пусть дана функция . Ее производная так же является функцией от и называется производной первого порядка. Если дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается .
Производной – го порядка (или – ой производной) функции называется производная от ее производной – го порядка, т. е.
Пример 52. Пусть . Найти производную 5 – го порядка
Решение. Найдем последовательно производные до 5 – го порядка.
Пример 53. Найти производную – го порядка функции .
Решение. Находим последовательно производные
Продолжая этот процесс дальше, замечаем следующую закономерность
Логарифмическое дифференцирование.
В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид
Пример 54. Найти производную функции
Решение. Прологарифмируем функцию
Продифференцируем обе части этого равенства
Пример 55. Найти производную функции
Решение. Прологарифмируем функцию
Продифференцируем обе части этого равенства
Дифференциалы высших порядков.
Так как дифференциал функции является так же функцией, то от него так же можно находить дифференциал.
Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции называется дифференциал от ее дифференциала. Обозначается как
Так как величина не зависит от и является при дифференцировании по постоянной, то
Таким образом, . Аналогично и т. д.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема 27 (теорема Ролля). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю, т. е. .
Доказательство. Так как непрерывна на , то она достигает на нем своего наибольшего () и наименьшего () значений. Если , то постоянна на и для любой точки из отрезка . Пусть и , . Тогда для всех верно неравенство и
Так как всегда , то при , получаем а при , получаем . Но функция дифференцирована в точке , следовательно ее пределы слева и справа должны совпадать. Это возможно лишь в случае . Аналогично доказывается и случай когда .
Замечание. Теорема Ролля означает, что на графике функции найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси (рис. 61).
Теорема 28 (теорема Коши). Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что
Доказательство. Заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка , что , что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , так как является линейной комбинацией функций и , кроме того
По теореме Ролля найдется такая точка , что . А так как
Отсюда
Теорема 29 (теорема Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка ,что
Доказательство. Пусть , тогда
Подставим эти значения в формулу теоремы Коши, получим
Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке , то функция постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Пусть и . По теореме Лагранжа существует такая точка , что . Но по условию , следовательно, или
Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке , то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Доказательство. Пусть для . Тогда получаем . Из следствия 1 следует, что
для . Но тогда .