Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 10.
Моделирование слабоструктурированных, плохо формализованных и расплывчатых (нечетких) описаний задач (ситуаций)
1. Когнитивные подходы
С каждым днем возрастает число сложных и очень сложных крупномасштабных систем управления в социально-экономической, экологической, организационной, технической и других сферах. Эти задачи по своей сути являются слабоструктурированными, слабоформализуемыми, содержат многие противоречивые цели и критерии и требуют способов решения задач с нечеткими знаниями, целями и данными. При их реше нии возникают серьезные неопределенности, связанные с недостаточностью и нечеткостью наших знаний о проблеме, невозможностью учиты вать реакцию окружающей среды, других лиц на предпринятые действия, а также неопределенности из-за нечетко определенных данных, критери ев, целей и т.п.
Характерной чертой современных сложных объектов управления яв ляется также многосвязанность. На результаты функционирования боль шинства многосвязанных систем влияет одновременно множество управ ляемых величин и их взаимосвязи. Поэтому для таких систем проблема оптимизации сводится к экстремизации функционала, зависящего одно временно от множества управляемых величин в их взаимосвязи. К много связанным системам относятся энергетические системы, металлургиче ские комплексы, нефтедобывающие и нефтехимические объекты, соци ально-экономические, экологические системы и др.
При решении задач оптимизации управления сложными многосвя занными системами возникает дополнительная проблема большой раз мерности. Однако пока еще не разработаны научно обоснованные методы решения названных задач управления, а традиционные методы управле ния для таких задач малопригодны. Поэтому важнейшими проблемами в сфере управления политическими, социально-экономическими, экологи ческими, организационными и другими системами являются разработка теории и технологии принятия решений и создание информационно-управляющих систем их поддержки. Актуальность проблемы «выжива ния» сложных социально-экономических, экологических, организацион ных систем в кризисных ситуациях породила необходимость разработки методологии моделирования сложных крупномасштабных развивающих ся систем при неполных и нечетких знаниях и слабой формализации за дач.
Для выявления базисных социально-политических, экономических, экологических проблем и генерирования рекомендаций по методам управления сложными системами необходимо разработать компьютерные когнитивные модели для качественного моделирования ситуации. Качественные модели сложных и очень сложных систем достаточно эффективно строятся на основе мате матического аппарата знаковых и взвешенных графов, которые позволя ют формализовать взаимодействие основных положительных и отрица тельных обратных связей, существующих между процессами, опреде ляющими функционирование и развитие сложной социально-политичес кой, экономической или экологической системы. При построении таких моделей может быть использована неполная, нечеткая и даже противоре чивая информация.
Когнитивные модели на основе аппарата знаковых и взвешенных графов успешно применяются в США компанией Rand Corporation для анализа названных задач. В Институте проблем управления РАН (Москва) такие модели получили дальнейшее развитие и применялись для анализа влияния теневой экономики на экономику России, прогноза раз вития событий в чрезвычайных ситуациях; выживания предприятий с различными организационно-правовыми формами в условиях кризисной экономики (инфляции, скачков цен на ресурсы и энергоносители и др.), а в последнее время для разработки стратегий развития регионов и управ ления развитием потребительского рынка г. Москвы.
Таким образом, удобным инструментом исследования слабострукту рированных, плохо формализуемых задач является когнитивная структу ризация, которая способствует углублению понимания проблем, выявле нию противоречий, качественному их анализу. Цель когнитивной струк туризации состоит в формировании и уточнении гипотезы о функциони ровании исследуемого объекта. Чтобы понять и проанализировать пове дение сложной системы с помощью когнитивного подхода, строится структурная схема причинно-следственных связей. При этом элементы системы А и В , изображаемые на схеме в виде отдельных вершин гра фа, соединяют ориентированной дугой, если элемент А связан с элемен том В причинно-следственной связью: А—>В, где А - причина, В -следствие. Рассматриваемые причинно-следственные связи разделяют на положительные и отрицательные. Связь А —> В называется положи тельной, если увеличение А ведет к увеличению (усилению) В и уменьшение А ведет к уменьшению (ослаблению) В при прочих рав ных условиях. Отрицательный знак (-) над дугой А —> В означает, что связь отрицательна, т.е. при прочих равных условиях увеличение А при водит к уменьшению (ослаблению) В. Подобные схемы причинно-следственных связей широко используются для анализа сложных систем в экономике, социологии, в политике, в технике. Такие схемы, интерпре тирующие мнение, взгляды лица, принимающего решение, называются когнитивной картой. На математическом языке когнитивная карта называется знаковым (взвешенным) ориентированным графом (орграфом). Для определения изменений параметров вершин, с учетом влияния контуров обратной связи пользуются развитием импульсного процесса в знаковых и взвешенных орграфах, который устанавливает, как отклонения одной или нескольких переменных распространяются за не которое время по структуре графа. Приобретая опыт в анализе знаковых графов, можно избавиться от целого ряда типичных ошибок, свойствен ных несистемному мышлению. Нередко исследователь ошибочно пред полагает, что каждое событие имеет только одну причину, не замечая важных обратных связей, как положительных, так и отрицательных.
Когнитивное или графовое моделирование сложных процессов позволяет дать качественные оценки протеканию процессов. Вершины графа соответствуют рассматриваемым процессам, направленные дуги графа отражают влияние процессов друг на друга, а степень такого влия ния отображается путем приписывания соответствующего веса каждой дуге. Первоначально степень влияния отображается с помощью лингвистических переменных типа «сильно», «умеренно», «слабо» и т.п. В зави симости от совокупности значений той или иной лингвистической пере менной выбирают числовую шкалу соответствующей метрики; с помо щью таких шкал качественным значениям переменных присваивают оп ределенные числовые значения по соответствующим шкалам, в результа те получаем взвешенный ориентированный граф.
Если графовая модель среды достаточно правдоподобна, то постав ленные цели можно интерпретировать в терминах моделей как подмно жество «благоприятных» ситуаций. Под допустимым решением будем понимать решение, переводящее систему в какую-либо благоприятную ситуацию и удерживающую ее в этой ситуации. Процесс такого перевода назовем управлением ситуациями, а переводимые ситуации - управляе мыми ситуациями.
Экономические, социальные, политические системы в отличие от технических систем характеризуются отсутствием детального количест венного описания происходящих в них процессов. Информация имеет в основном качественный характер. Системному аналитику доступна лишь качественная информация о текущем состоянии того или иного фактора. Для описания текущего состояния факторов и ха рактера влияния факторов друг на друга выбирается совокупность соот ветствующих лингвистических переменных типа: «влияние положи тельное» или «отрицательное». Для описания степени такого влияния используются лингвистические переменные типа: «сильно», «слабо», «больше», «меньше» и т.п. Совокупность базисных факторов вместе с описанием непосредственного влияния факторов друг на друга называет ся ситуацией.
Графовая модель ситуации строится следующим образом. Верши ны соответствуют базисным факторам Vi . Дуга (i,j), проведенная от вершины i к вершине j, отображает тот факт, что изменение значений фактора Vi влияет на изменение значений фактора Vj . Дуга (i,j) имеет знак (+), если это влияние «положительно», и знак (-) в противоположном случае. Лингвистическим переменным, описывающим степень такого нлияния, сопоставим следующие значения из интервала [0,1]: 0,1 - «очень слабое»; 0,3 - «умеренное»; 0,5 - «существенное»; 0,7 - «сильное»; 1,0 - «очень сильное». Таким образом, каждая дуга (i, j) снабжается весом . В итоге получаем модель ситуации в виде взвешенного орграфа G = (V, А), где V - множество вершин - факторов, а А - множество взвешенных дуг.
Графовая модель, несмотря на числовые значения весов дуг, также является качественным (когнитивным) описанием ситуации. Для компью терного анализа происходящих в ситуации процессов с помощью графо вой модели в последнюю вводят понятие времени и сопоставляют число вую шкалу лингвистическим переменным, описывающим текущее со стояние базисных факторов. Компьютерное моделирование процессов в ситуации проводится в дискретном времени. Изменения факторов рас сматриваются на каждом интервале квантования Т, для содержатель ной предметной интерпретации последний имеет определенную размер ность (секунда, час, сутки, неделя, месяц, квартал и т.п.). Для простоты интервал квантования Т считают совпадающим с машинным тактом (т.е. Т = 1), имея в виду, что при последующей интерпретации такт имеет заранее выбранную размерность. Для факторов также используется неко торая совокупность лингвистических переменных. Так, например, фактор «инфляция» использует значения типа «высокая», «умеренная», «низкая». Для фактора «социальная напряженность» - «сильная», «слабая». Так как используются лингвистические переменные, то результаты моделирова ния являются качественными. Выбор лингвистических шкал для факторов дуг между ними осуществляют привлеченные эксперты, хорошо знающие предметную область.
Когнитивные технологии завоевывают все большее доверие у структур, занимающихся стратегическим и оперативным планированием на всех уровнях и во всех сферах управления. Применение когнитивных технологий в экономической сфере позволяет в сжатые сроки разработать и обосновать стратегию экономического развития предприятия, бан ка, региона или целого государства с учетом влияния изменений во внешней среде. В сфере финансов и фондового рынка когнитивные тех нологии позволяют учесть ожидания участников рынка. В военной облас ти и области информационной безопасности применение когнитивного анализа и моделирования позволяет противостоять стратегическому информационному оружию, распознавать конфликтные структуры, не доводя конфликт до стадии вооруженного столкновения.
В целом когнитивные технологии способствуют решению следую щего круга задач:
Одним из наиболее перспективных направлений развития и внедре ния средств когнитивного анализа и моделирования является их инте грация с традиционными средствами анализа и моделирования, что реализует возможность поддержки принятия решений практически на всех уровнях управления.
Таким образом, методы когнитивного исследования тенденций раз вития ситуаций базируются на использовании возможностей человека по описанию факторов, определяющих исследуемую ситуацию, и, особенно, по описанию взаимозависимостей этих факторов. Разрабатываемые методы ориентированы прежде всего на использование Первыми лицами (руководителями предприятий, производственных и обществен ных организаций, партий, регионов, субъектов федерации и т.д.) оценивающими и принимающими решения по наиболее ответственным пер спективным стратегическим вопросам.
2. Расплывчатое (нечеткое) описание ситуаций
Все известные измерительные шкалы (номинальная, порядковая, интервалов, отношений) основаны на справедливости отношения эквивалентности. В действительности встречаются случаи, когда тождество или различие двух состояний и/или наблюдений нельзя утверждать с полной уверенностью. Высокий молодой человек. Довольно тяжелый сверток. Почти каждое наше слово обозначает некоторое не вполне определенное множество. Неопределенность смысла языковых конструкций – одна из основных трудностей автоматизации анализа и синтеза речи. «Плоть слаба, а дух силен» «Мясо тухлое, но водка крепкая». Понятие лингвистической переменной – переменная, значение которой расплывчато по своей природе, как метки размытого, расплывчатого множества.
Роль человека в современных системах управления является определяющей: он выступает генератором целей системы и альтернативных путей её развития, определяет реальную структуру системы и формирует её поведение. Наиболее сложным и ответственным этапом деятельности человека в системах управления и главным фактором всякого руководства и управления считается принятие решений. Моделирование процессов принятия решений сегодня становится центральным направлением автоматизации деятельности лица, принимающего решение (ЛПР). Задачи принятия сложных решений ЛПР формирует и обсуждает на профессиональном языке, отражающем специфику задач. Следствием этого является использование в процессе поиска наилучшего решения качественных элементов: понятий и отношений с нечеткими границами, высказываний с многозначной шкалой истинности. Построение моделей принятия решений для задач, имеющих нечеткое словесное описание, оказалось возможным благодаря введению понятий нечеткого множества и лингвистической переменной.
Объект может принадлежать к классу, описываемому данным понятием, отношением или высказыванием, может, не относится к нему, но возможно и промежуточные градации принадлежности. Понятия и отношения, описывающие такие классы, будем называть нечеткими. Обобщение классического понятия множества для более корректного и полного использования нечетких описаний процессов принятия решений привело к понятию нечеткое множество. Теория нечетких множеств является средством формализации нечетких понятий и отношений.
Формализация нечетких понятий и отношений профессионального языка ЛПР обеспечивается введением понятий нечеткой и лингвистической переменной, нечеткого множества и отношения. Первые два обеспечивают переход от словесных описаний элементов задач принятия решений к числовым, другие два являются средством числового представления нечетких понятий и отношений.
3. Основные понятия теории нечетких множеств. Операции над нечеткими множествами
Нечеткое (расплывчатое) множество состоит из неопределенного числа элементов x: признаки включения не позволяют однозначно отделить принадлежащие множеству элементы. Некоторые элементы можно считать как относящимися к множеству, так и не входящими в него.
Важным понятием – функция принадлежности . 01 выражает степень принадлежности: =0; =1 – крайние градации (непринадлежность, полная принадлежность). Может быть частичная принадлежность.
Нечетким множеством называется совокупность упорядоченных пар A={(x, } Функция задается как отображение универсального множества x на отрезок [0,1] Форма записи (+ - знак объединение) или , если непрерывная функция от x.
Носитель нечеткого множества:
Небольшой запас деталей на складе:
Значение функции принадлежности для элемента xX будем называть степенью принадлежности. Интерпретацией степени принадлежности является субъектная мера того, насколько элемент xX соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством А.
|
Высокая скорость автомобиля: A(x) 1 0 x(км\час) 40 60 80 100 |
Нечеткое множество называется нормальным, если верхняя граница принадлежности равна 1 Если , то множество называется субнормальным. Пустое множество:. |
Непустое субнормальное множество можно привести к нормальному виду:
Множеством уровня нечеткого множества А называется четкое подмножество универсального множества Х:
[0,1]
|
А(х) 1 х
|
Операции над нечеткими множествами: Равенство множеств А и В: . Включение нечеткого множества А в множество В: (очень большие числа большие числа). |
Дополнение: A называется дополнением к
Высокие люди – невысокие люди могут являться дополнением (при соответствующем определении) (соответствует логическому отрицанию).
Пересечение : (соответствует логической связке «и»).
Объединение:(соответствует логической связке «или»).
Удобно определить составные множества, которые соответствуют конкретным арифметическим операциям над . Алгебраическое произведение множеств АВ:
.
Алгебраическая сумма :
.
Нечеткие отношения
Отношения могут быть заданы перечислением всех пар (ui,uj)UU, для которых выполняется отношение R: u1 R u2 (отношение R на множестве U).
Четкие отношения:
Нечеткое отношение R определяется как нечеткое подмножество , т. е.
R- отношение «близко к»
Нечеткое отношение – это нечеткое множество с векторной базовой переменной.
4. Понятие лингвистической переменной (ЛП)
Отличие от численной переменной – её значениями являются не числа, а слова, предложения на естественном или формальном языках. Лингвистическое описание менее точное, чем количественное, тем не менее дает возможность приближенно описывать явления довольно сложные и не поддающиеся описанию в количественных переменных.
ЛП – понятие более высокого порядка, чем нечеткая переменная. Значениями ЛП являются нечеткие переменные (НП).
Определение ЛП:
Х- наименование ЛП;
Т – множество её значений (термов), являющихся наименованиями НП; областью определения каждой из переменных является множество U;
G – синтаксическая процедура (имеющая форму грамматики), порождающая название, исходя из терм-множества (конкретное название х, порожденное G, называется термом);
М – семантическая процедура, которая ставит в соответствие каждой нечеткой переменной её смысл М(х), т.е. нечеткое подмножество М(х) универсального множества U (функция принадлежности).
Пример 1.
Пример 2. Оценка стоимости выпускаемой продукции. Пусть max стоимость 5 тыс. руб.
ЛП=
T – {малая, небольшая, средняя, высокая};
G – процедура перебора элементов множества Т;
М – процедура экспертного опроса, позволяющая дать лингвистическую оценку стоимости.
ЛП – могут быть разделены на числовые и нечисловые. Числовые ЛП – переменная, для которой областью определения Х является подмножество множества действительных чисел R1. Нечеткие переменные, соответствующие значениям числовой лингвистической переменной называются нечеткими числами. Если множество Х конечно или счётно, то нечеткие числа называются дискретными.
Пример нечисловой ЛП – переменная качества со значениями «удовлетворительное, высокое, невысокое».
К основным вопросам, возникающим при разработке и реализации моделей принятия решений при нечеткой исходной информации, можно отнести следующие:
5. Построение функций принадлежности. Прямые и косвенные методы
Во всех случаях функция принадлежности строится методами экспертного опроса. В прямых методах эксперты непосредственно указывают степень принадлежности для каждого элемента. Методы простые, но имеют высокую степень субъективизма. Для уменьшения степени субъективизма используют различные приемы, например:
Рассмотрим более подробно второй прием.
Функции принадлежности треугольного типа:
|
x1 x* x11 |
Левая и правая граница и вершина. |
Колоколообразные функции принадлежности (например «Х приближенно равен K»):
|
1 0,5 0 а k b |
|
В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформированным условиям (вычисляются по определенным правилам из информации экспертного опроса).
Метод равноделения (метод психологического шкалирования).
Пусть U – универсальное множество, а um и uM элементы с min и max степенями принадлежностями. Для определенности примем , . Алгоритм метода:
Метод попарного сравнения.
Обработка матрицы оценок, отражающих мнение эксперта об относительной принадлежности элементов множеству или степени выраженности у них свойств, формализуемого множеством. Потребуем, чтобы для всех элементов множества S выполнялось равенство
.
Степень принадлежности будем определять посредством парных сравнений. Оценка элемента xi по сравнению с xj с точки зрения свойства S - . Для обеспечения согласованности примем . Итак, мы имеем матрицу оценок . Найдем собственный вектор матрицы А, решая уравнение , где собственное значение матрицы А. Вычисленные значения принимаются за . Т.к. всегда выполняется равенство , то найденные значения тем точнее, чем ближе к n. Отклонения от n может служить мерой согласованности суждений экспертов при составлении матрицы оценок.
Нахождение собственного вектора и собственных чисел матрицы.
Иногда приходится рассматривать уравнения типа:
, (15.1)
где - неизвестный числовой вектор, высота которого равна порядку , а неизвестное число. При любом уравнение (15.1) обладает тривиальным решением , однако нас будут интересовать только такие , при которых эта система имеет нетривиальные решения, эти значения называются собственными значениями матрицы А, а решения при таких значениях - её собственными векторами. Преобразуем (15.1), используя очевидное равенство: , тогда получаем (15.2). (15.2) представляет собой систему из n однородных алгебраических уравнений с n неизвестными. Для наличия нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы . Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы , оно служит для разыскания собственных значений .
Раскрыв определитель, получим алгебраическое уравнение степени n (порядок матрицы А). Матрица прядка «n» имеет «n» собственных значений. Обычно выбирают максимальное по модулю значение.
Найдя какое либо собственное значение , мы можем соответственно собственные вектора найти из (2). Из этого уравнения вытекает, что при зафиксированной сумма решений будет снова решением, произведение решения на число будет также решением уравнения. Значит, совокупность всех собственных векторов, отвечающих заданному собственному значению, образует линейное пространство (бесконечное число ненулевых решений, система обязательно зависима, т.е. одно уравнение является следствием остальных, одно из уравнений можно отбросить и задавать произвольные значения для одной из переменных). Для нахождения единственного собственного вектора используется замена одного из уравнений условием нормировки.
Пример. Оценка освещенности предмета в зависимости от расстояния до источника: предмет в 9, 15, 21 и 28 единицах длины.
Шкала для определения матрицы суждений
|
Оценка важности |
Качественная оценка |
Примечание |
|
1 |
Одинаковая значимость |
По данному критерию альтернативы имеют одинаковый ранг |
|
3 |
Слабое превосходство |
Соображения о предпочтении одной альтернативы перед другой малоубедительны |
|
5 |
Сильное или существенное превосходство |
Имеются надежные доказательства существенного превосходства одной альтернативы |
|
7 |
Очевидное превосходство |
Существуют убедительные свидетельства в пользу одной альтернативы |
|
9 |
Абсолютное превосходство |
В высшей степени убедительное превосходство |
|
2,4,6,8 |
Промежуточные значения между соседними оценками |
Эксперимент дал матрицу . Сначала находим . Для этого составляем уравнение . Эта неоднородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен 0.
|
Следовательно |
Система имеет только нулевое решение, для нахождения собственного вектора используется замена одного из уравнений системы условием нормировки 1+2+3+4=1. Решая новую систему, получаем: 1=0,619, 2=0,235, 3=0,101, 4=0,045. (степень согласованности суждений экспертов). |
6. Арифметические операции над нечеткими числами
Под нечетким числом будем понимать нечеткое множество с областью определения в виде интервала действительной оси R1. Пусть А и В – два нечетких числа с носителями SA =(a1,a2) и SB =(b1,b2) соответственно: a2>a1 и b2>b1.
Согласно принципу обобщения нечеткое число определяется функцией принадлежности:
= +, -, , /
x=ab
aSA
bSB
Первоначально принцип обобщения был введен как некоторый эвристический прием, затем он был получен дедуктивно, а его физический смысл был объяснен в рамках вероятностной интерпретации функции принадлежности.
Носитель SD нечеткого числа D можно найти по правилам интервальной арифметики
SD={x:x= ab, aSA, bSB}.
Очевидно, что в множестве SASB для любого x SASB , где операция над носителями нечетких чисел А и В выполняется по правилам интервальной арифметики существует бесконечно много пар (а,b) таких, что x=ab.
Пусть и . Тогда получаем
В случае непрерывных нечетких чисел для вычисления результата выполнения арифметической операции разработано несколько алгоритмов (алгоритм перебора, алгоритм для кусочно-непрерывной функции принадлежности (требуется числовое решение нелинейных уравнений или ряда задач безусловной оптимизации)).
Другой способ вычисления может быть использован в случае треугольных функций принадлежности. Пусть Х - нечеткое число, определим левую, правуюграницы нечеткого числа и его вершину:
Можно доказать, что нечеткое число также определяется функцией принадлежности треугольного типа, границы и вершина которой находятся следующим образом
, , .
Связь четких и нечетких значений лингвистической переменной.
Система управления запасами сформировала решение: закупить небольшое количество деталей. Нечеткое понятие «небольшое количество» задано дискретным нечетким числом
.Но закупить можно лишь четкое количество деталей, необходимо произвести выбор четкого значения лингвистической переменной КОЛИЧЕСТВО ДЕТАЛЕЙ при наличии её нечеткого значения «НЕБОЛЬШОЕ». Аналогичных ситуаций в реальных задачах принятия решений достаточно много. Для решения данной задачи в литературе предложен ряд процедур, например:
7. Сравнение нечетких чисел
Результат расчетов в модели принятия решений в нечёткой среде (интегральная оценка альтернативы), как правило, является нечётким числом. Поэтому необходимо определить процедуру сравнения нечётких чисел. Рассмотрим два нечетких числа: и , у которых .
В разных реализациях соотношения между четкими значениями нечетких чисел (а значит, и между именами нечетких чисел) может быть различным
1: ситуация b1>a1 (A<B);
2: ситуация a2>b2 (A>B).
Таким образом, в общем случае отношения порядка типа «больше, меньше» и т.п. на множестве нечетких чисел являются нечеткими. Лишь в том случае, когда пересечение носителей нечетких чисел А и В пусто, отношение между числами будет чётким.
Все предложенные процедуры основаны на вычислении некоторой четкой функции Н (А,В) от нечетких аргументов А и В, которая называется индексом ранжирования. Значения индекса для конкретной пары чисел дает основание решить вопрос о том, какое из двух чисел больше (или с какой степенью больше). Будем использовать в дальнейшем следующий индекс ранжирования:
Индекс выделяет в качестве наибольшего нечеткое число А, у которого величина является наибольшей (т.е. число, у которого конец «пика» функции принадлежности расположен правее). При этом форма функции принадлежности не учитывается.
Возможность того, что обозначается :
Ответ на вопрос «Может ли быть больше ?» нечеткий и представляется как нечеткое подмножество множества {да, нет}:
.
Для нашего примера: =0,48 ; =1.
Больше ли , чем ? Ответ: .
Возможность для нечеткого числа быть больше k нечетких чисел :
Замечание. Используя введенную выше процедуру, можно определить так называемое «множество оптимальности альтернатив» - – интерпретируется как степень соответствия альтернативы ai понятию «наилучшая альтернатива». Ri(ri) – нечеткая оценка альтернативы ai и .
8. Многокритериальный выбор в нечеткой ситуации. Решение как слияние целей
Пусть имеется множество из m альтернатив А = {а1, а2, …аm}, а также задано n критериев (целей) С1, С2,… Сn . Каждый критерий С может быть введен как нечеткое множество , где – оценка альтернативы аi по критерию С (т.е. степень соответствия альтернативы понятию, определенному критерием С).
При такой постановке задачи решение ищется следующим образом:
1. находится множество решений ,
;
2. находится лучшее решение .
Если критерии Сi имеют различную важность, каждому из них приписывается число (чем важнее критерий, тем больше ) и правило выбора принимает вид
.
Коэффициенты относительной важности критериев могут определяться на основе процедуры парного сравнения критериев. Вначале формируется матрица суждений экспертов В, элементы которой находятся из таблицы (см. ниже) и удовлетворяют следующим условиям bii=1, bij=1/bji. Затем находится - собственный вектор матрицы B, соответствующий максимальному собственному значению (). Процедура нахождения собственного вектора описана выше в 15.3.
|
Относительная важность критериев Сi и Сj |
Элемент bij |
|
Равная важность |
1 |
|
Немного важнее |
3 |
|
Важнее |
5 |
|
Заметно важнее |
7 |
|
Намного важнее |
9 |
|
Промежуточные значения |
2, 4, 6, 8 |
8. Оценка и упорядочение альтернатив при аддитивности критериев
Второй метод ранжирования альтернатив. Метод использует аддитивную свертку, обобщенную на случай нечеткой исходной информации.
Пусть необходимо упорядочить m альтернатив а1,а2,…аm, оцениваемых по n критериям С1,С2,…,Cn. Пусть оценка альтернативы ai по критерию Cj задается нечетким числом Rij, относительная важность каждого критерия задается нечетким числом Wj, . При такой постановке задачи для нахождения решения необходимо произвести следующие действия:
1. находится взвешенная оценка i-той альтернативы
(если оценки нормированы) (15.3).
Оценки альтернатив по критериям и коэффициенты относительной важности задаются функциями принадлежности соответственно и , где . Т.к. в данном случае Rij и Wj являются нечеткими числами, Ri определяется в соответствии с (15.3) на основе принципа обобщения (см. выше 15.4.).
2. находится множество оптимальности альтернатив. После того, как взвешенные оценки Ri получены, необходимо сравнить альтернативы на их основе. Для этого вводится нечеткое множество О, заданное на множестве индексов альтернатив {1,2,…m} и значение соответствующей функции принадлежности интерпретируется как характеристика степени того, насколько альтернатива ai является лучшей.
Значение вычисляется как и равно, как нетрудно видеть, ординате точки пересечения взвешенной оценки i-той альтернативы и оценки наилучшей альтернативы (см. 15.5).
Х (возраст)
Т1 (молодой)
Т1 (средний)
Т1 (старый)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3