Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
61
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА
Цель работы: изучение колебаний струны, получение на струне стоячих волн, наблюдение картины распределения амплитуд и количественная проверка формулы для частот колебаний струны.
Оборудование: установка для изучения колебаний струны, генератор сигналов низкочастотный Г3-18, набор разновесов.
Теоретическое введение
Рассмотрим малые поперечные колебания гибкой однородной струны с закрепленными концами. Проекции силы натяжения струны Т на ось y, взятые в точках x и (x+dx) (рис.1) при малых углах a равны:
T
a(x+dx)
a(x)
x x+dx
Разность этих проекций есть сила, приводящая в движение участок dx. По второму закону Ньютона имеем:
где r погонная плотность, т.е. масса единицы длины. Разделив обе части последнего соотношения на rdx и введя обозначение:
получим:
Уравнение типа (3) называются волновыми уравнениями и допускают разделение переменных. В общем случае отклонение у зависит от переменных х и t сложным образом. В случае стоячей волны решение сильно упрощается. Стоячая волна обладает той особенностью, что все точки струны колеблются одновременно (хотя и с различными амплитудами).
Таким образом, решение уравнения (3) можно представить в виде периодической функции времени B(t), амплитуда которой А зависит только от координаты х:
Чтобы найти функции А(х) и B(t), подставим в волновое уравнение (3) и получим:
Теперь заметим, что левая часть этого равенства зависит от t, а правая - от х. Так как переменные х и t независимы, то равенство может иметь место только в том случае, если обе его части не зависят ни от х, ни от t, т.е. постоянны. Обозначим эту постоянную через (-c2k2) (выбор знака перед c2k2 будет объяснен ниже). Наше уравнение распадается на два:
Решениями этих уравнений, как нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, являются гармонические функции sin и cos . Исходя из граничных условий (см. ниже) следует выбрать в качестве решения sin, т.е.
Искомое решение волнового уравнения имеет, следовательно, вид:
где yo - некоторая постоянная, определяющая амплитуду колебаний и не имеющая для нас существенного значения.
Рассмотрим (6) несколько подробнее. Точки, в которых sin(кх) обращается в нуль, называются узлами стоячей волны. Между двумя соседними узлами все участки струны колеблются в фазе (их скорости имеют одинаковое направление), а при переходе через узел фаза колебаний меняется на 180o вследствие изменения знака sin(кх). Амплитуда колебаний меняется вдоль струны по гармоническому закону, а частота колебаний всех точек струны постоянна и равна кс.
Скажем несколько слов о знаке перед к2 . Если изменить этот знак, то решения уравнений (5) и (5') превратятся в экспоненты с действительными показателями, описывающие монотонное, а не периодическое движение, что не соответствует картине стоячей волны.
Положительные значения к2 нельзя выбирать произвольно. В самом деле, граничные условия у(0,t)=y(L,t)=0, где (L – длина струны) дают:
или
kL=p n (7)
n=1,2,3,4...
Как легко видеть, n определяет число пучностей (но не узлов!) колеблющейся струны.
Таким образом, волновому уравнению с данными граничными условиями удовлетворяют не любые функции вида (6), но лишь те из них, для которых выполняется условие (7).
Заметим теперь, что для частоты колебаний n из (6) следует:
kc=2pn (8)
Подставив это выражение в (7), получим с помощью (2) формулу для собственных частот струны, т.е. частот, при которых в струне устанавливаются стоячие волны.
(9)
Заметим, что определяемые формулой (9) собственные частоты не зависят от модуля Юнга материала струны.
С помощью формулы (9) получим вместо (6):
(10)
Из этого соотношения видно, что точки струны с координатами х=0, L/n, 2L/n,…, L являются узлами. Так как узлы все время остаются в покое, то переноса энергии по струне не происходит (энергия не может перейти через узлы). Передача энергии по струне может быть осуществлена только бегущей волной.
Отметим, что волновому уравнению удовлетворяет не только решение в форме (10), но и сумма выражений типа (10') с различными n.
(10’)
Таким образом, в струне могут одновременно существовать колебания с различными собственными частотами. Так, наряду с основным тоном (n=1) могут возбуждаться его гармоники
(n=2,3,4,...).
Выясним, при каких условиях развитая выше теория, описывающая, строго говоря, только движение идеально гибкой струны в вакууме, может быть применена для реальной струны. С этой целью сделаем следующие замечания.
1. При колебаниях реальной струны всегда происходят потери энергии (часть теряется вследствие трения о воздух; другая часть уходит через конец струны и т.д.). Для поддержания незатухающих колебаний служит вибратор. Если энергия потерь в точности компенсируется энергией, поступающей от вибратора, то в струне можно наблюдать стоячие волны. Но теперь по струне
должна происходить передача энергии, поэтому наряду со стоячими будут существовать бегущие волны, в результате чего узлы окажутся несколько размытыми. Если, однако, потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии в струне, то искажение стоячих волн бегущей волной не очень, существенно.
Так как энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды, то наше условие может быть переписано в виде:
где a - амплитуда бегущей волны (которую следует измерять по размытию узла), а уo- амплитуда стоячей волны (определяемая, естественно, в пучности, примыкающей к узлу).
2. При наблюдении стоячих волн на установке легко заметить, что струна не колеблется в одной плоскости, а совершает вращательное движение вокруг положения равновесия. Любое вращение может, однако, быть представлено, как сумма колебаний в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, так что все.
предыдущие выводы остаются в силе.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ.
ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: установка для изучения колебаний струны, генератор сигналов низкочастотный Г3-18, набор разновесов.
ОПИСАНИЕ ПРИБОРА: Установка состоит из струны, один конец которой прикреплен к стальной пластинке, а к другому концу, перекинутому через шкив, прикреплена чашечка для разновесов. Стальная пластинка подмагничивается с помощью ферритовых магнитов. Ее конец расположен между полюсами электромагнитов. Обмотки электромагнитов питаются синусоидальным током генератора ГЗ-18 и тем самым возникают вынужденные колебания стальной пластинки с частотой генератора. Эти вынужденные колебания передаются по струне.
На установке изучаются по очереди колебания двух струн: стальной и нитяной.
1. Ознакомиться с техническим описанием и инструкцией по эксплуатации генератора Г3-18.
2. Включить генератор Г3-18, установив тумблер включения сети в положение «сеть»; при этом должна загореться сигнальная лампочка. Для получения большей точности и стабильности частоты необходим самопрогрев прибора в течение 30 мин.
3. С помощью масштабной линейки измерить длину струны. На рычажных весах взвесить струну и определить погонную плотность р.
4. Взвесить чашку для разновесов.
5. Установить ручку регулировки выхода генератора примерно в среднее положение.
Установить на частотной шкале нулевую частоту.
Установить шкалу расстройки на нуль.
Вращением ручки «установка нуля» получить нулевые биения. Контроль нулевых биений производится по показаниям стрелочного прибора, либо по оптическому индикатору.
6. Положить на чашечку гирьку из набора разновесов. Увеличивая частоту генератора, получить стоячие волны, соответствующие n=1,2,3,... (максимальное значение следует брать не менее 8-10). Точная подстройка частоты производится ручкой «расстройка Hz». Фиксируя каждый раз показания генератора, повторить процесс измерений не менее 4-5 раз. Подсчитать средние арифметические значения частот. Результаты занести в табл.1.
|
Число пучностей n |
Частота генератора (сила натяжения Т=…) |
||||||
|
n1 |
n2 |
n3 |
n4 |
n5 |
nср |
nрасч |
|
|
1 … 10 |
7. Проделать эти измерения при различных значениях (не менее пяти) натяжения нити. С помощью формулы (9) рассчитать частоты и сравнить с экспериментальными значениями (занести в табл.1).
8. Фиксируя частоту генератора и меняя силу натяжения струны, получить стоячие волны, соответствующие различным n. Повторить эксперимент при другой фиксированной частоте генератора. Результаты занести в таблицу 2.
|
Частота … (Гц) |
Расчетное значение частоты nрасч |
|
Число пучностейn |
Сила натяжения струны (г) |
|
|
1 … 8 |
По формуле (9) подсчитать частоты и проверить, соответствуют ли они экспериментальным значениям.
9. Осторожно снять струну и поставить другую струну. Повторить со второй струной измерения, указанные в пунктах 3,5,6,7,8. Результаты также занести в таблицы.
10. При проведении экспериментов проверить справедливость условия (11). Если оно выполняется недостаточно хорошо, надо уменьшить выходную мощность генератора.
1. Докажите, что вращательное движение может быть представлено, как сумма двух колебательных.
2. Почему собственные частоты, определяемые формулой (9), не зависят от модуля Юнга материала струны.
Библиографический список
С.П.Стрелков. Механика. М.: Гостехиздат, 195б. параграфы 138,139,141-143.