Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа № 2
Изучение законов
равноускоренного движения
Цель работы: Изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом силы трения; оценка роли трения как источника систематической погрешности при определении ускорения на лабораторной установке.
Оборудование: установка «машина Атвуда», набор грузов, электронный секундомер.
Ускорение свободного падения g можно найти с помощью простого опыта: бросить тело с известной высоты h и измерить время падения t, а затем с помощью формулы h = gt2/2 вычислить g.
В действительности дело обстоит не так просто, если требуется определить g достаточно точно. Определим время t падения с высоты h = 1,0 м при g = 9,8 м/с2:
По нашей оценке при проведении такого эксперимента необходимо измерять время с точностью до 0,01 с. Оценим разброс для t1 = 0,44 c; t2 = 0,45 c; t3 = =0,46 c по формуле g = 2h/t2:
g1 = 2 1,0/(0,44)2 = 10,330578 10,3 (м/с2) ;
g2 = 2 1,0/(0,45)2 = 9,8765431 9,9 (м/с2) ;
g3 = 2 1,0/(0,46)2 = 9,4517956 9,4 (м/с2) ;
Понятно, что измерить время с точностью до 0,01 с не просто. Наручные часы или спортивный секундомер для такой цели непригодны.
Если увеличить высоту, то время падения тоже увеличится. Например, с высоты 20 м тело падает около 2 с. В этом случае можно ограничиться меньшей точностью при измерении времени, чем 0,01 с, но возникает ошибка другого характера. Сопротивление воздуха при больших скоростях играет заметную роль. Формула h = gt2/2 описывает равноускоренное движение с ускорением g и, конечно, не учитывает сопротивление воздуха. Таким образом, увеличивая высоту h, мы увеличиваем время падения и уменьшаем относительную погрешность измерения времени, но при этом вносим другую ошибку: сама формула h = gt2/2 становится неточной. Более того, если кирпич сбросить с высоты h 500 м, то примерно первые 200 м он будет двигаться с ускорением, а затем сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести (это будет при скорости примерно 70 м/с), и тело остальные 300 м будет падать с постоянной скоростью V 70 м/с. В этом случае формула h = gt2/2 становится неверной. Этот простой пример наглядно подчеркивает общую черту любого физического эксперимента. В любом эксперименте точность измерений какой-либо физической величины связана не только с точностью измерительных приборов, но и с тем, насколько точно принятая модель описывает данный опыт. В рассматриваемом нами опыте мы видим, что точность измерения ускорения g связана не только с точностью измерения времени t , но и с тем, можно или нет пренебречь трением о воздух. Иными словами, достаточно точно или нет, описывает формула h = gt2/2 движение тела.
Трудности опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время падения мало и его трудно точно измерить, или сама формула
h = gt2/2 не точна.
Уменьшить ускорение можно с помощью устройства, которое называют машиной Атвуда (рис. 1).
Через блок перекинута нить, на
которой закреплены грузы массой
М каждый. На один из грузов кла-
дется перегрузок массой m. Уско –
рение грузов легко найти, если а1 Т1 Т2
ввести три предположения (выбрать
модель !):
сы равны нулю (точнее, их массы
много меньше массы грузов); Mg (M+m)g
между блоком и его осью можно пренебречь; Рис. 1.
С учетом этих предположений уравнения движения грузов имеют вид:
(1)
(M + m)g – T = (M + m)a
где Т = Т1 = Т2 – сила натяжения нити, а = а1 = а2 - ускорение грузов. Из уравнений (1) получаем:
a = gm /(2M + m) = g /(1 + ) (2)
где = m/(2M).
При равноускоренном движении без начальной скорости высота h, на которую опускается груз за время t, равна:
h = at2/2
откуда (3)
Формально из выражения (3) следует, что время движения груза может быть сколь угодно большим, если уменьшать . Например, если взять грузы массами М = 5 кг каждый, перегрузок массой m = 1 г, то = 10-4, а время спуска груза с высоты h = 1 м примерно равно 45 с. Это время можно достаточно точно измерить секундомером. Однако реально такой опыт неосуществим. Мы предположили, что трение в оси блока отсутствует. Но в действительности оно есть. Весь вопрос в том, можно им пренебречь или нет.
Если подвесить к блоку на нитях тяжелые грузы, то в оси блока будет большая сила трения. Чем массивнее грузы, тем больше сила трения. Значит, надо брать достаточно тяжелый перегрузок, чтобы преодолеть эту силу трения и привести всю систему в движение.
Сделаем теперь количественные оценки. Пусть mo – масса такого перегрузка, который только-только страгивает блок с грузами. Это значит, что любой перегрузок меньшей массы не приводит систему в движение. В этом случае момент сил натяжения нитей равен моменту силы трения Мтр в оси блока:
(T2 – T1 )R = mo gR = Mтр (4)
где Т2 = (M+m)g и T1 = Mg – силы натяжения нитей, R – радиус блока (рис.2).
Момент силы трения в оси блока Мтр = Fтрr, где Fтр – сила трения между
блоком и осью, r – радиус оси.
Сила трения Fтр между блоком и осью пропорциональна силе давления на оси блока. Тогда:
N = T1 + T2 = (2M + mo)g
Fтр = N = (2M + mo)g
где - коэффициент трения между Fтр
блоком и осью, зависящий от свойств r R
соприкасающихся поверхностей втул-
ки блока и оси, смазки и т.п. Таким
образом, момент силы трения в оси T1 T2
блока
Mтр = (2M + mo)gr (5)
Обозначим о = mo/(2M). Подставим M mo
(5) в (4): M
o /(1 + o) = r/R (6) Рис.2.
Как видно из (6), значение о не может быть сколь угодно малым. Оно определяется конструкцией блока (например, его радиусами R и r) и коэффициентом трения между блоком и осью.
Так как в машине Атвуда mo М, то о 1 и о r/R.
Какое же значение о можно ожидать ? Типичное значение коэффициента трения ~ 10-2 10-1. Таким образом, о ~ 10-4 10-2. Мы привели лишь правдоподобные рассуждения о том, каким может быть о. Существенно то, что о можно оценить экспериментально. Например, на установке с грузами массой М = 86 г перегрузок массой 1 г не страгивает блока, а перегрузок массой 2 г приводит блок в движение. Это значит, что
610-3 o = m0 /(2M) 1,210-2
В таком случае оценить о, характеризующую установку, можно лишь по порядку величины. Как оказывается, она порядка 10-2. Интуитивно ясно, что трением можно пренебречь, если масса перегрузка m mo.
Действительно, если масса перегрузка чуть больше mo, то трение в оси блока будет решающим образом определять движение грузов. Это движение уже не будет равноускоренным. Может даже случиться, что система будет двигаться рывками, т.е. останавливаться, затем снова придет в движение и т.д.
Таким образом, при m mo , т.е. при о, формула (2) становится неверной. Можно ожидать, что при о она достаточно точно описывает реальную ситуацию. Так как о 10-2, то оптимальное значение ~ 10-1. Это значит, что экспериментировать надо с перегрузками 5 – 20 г (при М = 86 г). Если взять ~ 1, то а ~ g. Мы приходим к случаю почти свободного падения.
Можно показать (см. контрольный вопрос 2), что относительная погрешность при определении ускорения грузов, связанная с пренебрежением массой блока и трением, равна
а/аср mo /m + mбл /(2M) (7)
где mбл – масса блока.
Так как величины mo /m и mбл /(2M) одного и того же порядка 10-1, то и относительная погрешность при измерении ускорения а/аср ~ 10-1. Очевидно, что такого же порядка будет и относительная погрешность при измерении g.
Методика измерений
В первую очередь необходимо определить минимальную массу перегрузка mo, страгивающего блок, с тем, чтобы в дальнейшем проводить измерения с грузами, в 5 – 10 раз превышающими по массе mo. Только в этом случае можно пренебречь влиянием трения на движение системы. Не следует стремиться определить mo точно, достаточно получить ее правильную оценку “сверху”, например, выяснить, что mo не превышает 1 г или 2 г. Для определения mo можно постепенно увеличивать массу перегрузка, пока блок не придет в движение. Так как блок не может быть отцентрирован идеально, то может оказаться, что в различных начальных положениях блока массы страгивающего перегрузка различны. Поэтому нужно повторить измерения mo в разных положениях блока, а затем в качестве оценки для mo взять наибольшее из найденных значений.
Следует убедиться, что движение системы при достаточно большой фиксированной массе перегрузка m mo является равноускоренным. Для этого нужно экспериментально проверить выполнение зависимости h = at2/2. Удобно переписать это соотношение в виде
из которого ясно, что в осях координат , y = t прямая , проходящая через начало координат, соответствует равноускоренному движению.
Прямая может быть построена по экспериментальным точкам: для одного перегрузка m и ряда различных значений высоты h измеряется время падения груза. Измерения времени для каждой высоты производятся несколько раз, результаты усредняются и записываются в виде
t = tср t
где tср – среднее арифметическое значение измеренного времени падения для данной высоты. В условиях эксперимента погрешность t оказывается заметно превышающей погрешность в показаниях электронного миллисекундомера (t)о, а именно: t (t)о = 10-3 с.
Поэтому было бы грубой ошибкой считать, что погрешность определения времени падения равна 10-3 с.
Для построения графика на оси ординат откладываются измеренные значения tср с указанием погрешности
где n – число измерений, ti – результат i – го измерения.
На оси абсцисс откладывается . Если полученные экспериментальные точки ложатся на прямую, то движение системы можно считать равноускоренным.
Наконец, важно выяснить, подтверждается ли на опыте зависимость времени падения от массы m перегрузка (см. (2)):
(8)
В осях координат, y = t функция является уравнением прямой. Зависимость при фиксированной высоте падения h может быть построена по экспериментальным точкам: для нескольких значениях массы перегрузка определяется время падения t = tср t.
Измерение времени падения при каждом m повторяют несколько раз, результаты усредняют и находят среднее значение tср и разброс t. Полученные экспериментальные данные откладываются на осях координат: на оси ординат – значения tср с указанием погрешности t, на оси абсцисс – соответствующие значения, затем через полученные точки проводится прямая, и по ее наклону определяется значение g.
Задание
Таблица 1.
|
h, м |
t1, с |
t2, с |
t3, с |
t4, с |
tср, с |
t, с |
h, м |
m,кг |
mo, кг |
По результатам измерений в осях координат , y = t постройте прямую
.По наклону прямой определите а.
Все значения массы m перегрузка должны лежать в диапазоне
mo m 2M = 172 г.
В нашей лабораторной установке точность m определения массы по существу совпадает со значением массы mo перегрузка (в процессе измерений возможен сход нити со шкива при торможении блока и поэтому для предотвращения падения грузов на прибор подстраховывайте рукой момент торможения !)
Таблица 2.
|
m,кг |
M/m |
t1, с |
t2, с |
t3, с |
t4, с |
tср, с |
t, с |
m = hмакс =
По результатам измерений в осях координат, y = t постройте прямую t
(рис.3).
По наклону прямой
с помощью соотноше-
ния (8) определите
ускорение свободного
падения g 0
и погрешность g. M/m
Рис.3.
9,8 м/с2? 2R
массой mo с невесомыми спицами и втул-
кой (рис. 4). Радиус обруча R, радиус
втулки r. Втулка насажена на ось. Коэф-
фициент трения между втулкой и осью .
Через блок перекинута нить, на которой m
укреплены грузы массой M и перегрузок M 2r M
массой m. Определите ускорение а системы
и относительную погрешность а/аср, свя- Рис.4.
занную с пренебрежением трением и
массой блока.